Lista05_Cap25e26_capacitancia_resistencia

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Lista 5 - F 328 
 
Obs1. Das questões indicadas com **, uma será sorteada para ser entregue na aula exploratória. 
Obs2. Justificar todas as passagens matemáticas e argumentações. 
 
1) Três esferas de metal carregadas, com raios diferentes, estão conectadas por um fio fino metálico, 
como mostra a Figura abaixo. O potencial elétrico e o correspondente campo elétrico na superfície 
de cada esfera são, respectivamente, V e E. Qual das seguintes alternativas é verdadeira? 
 
a) V1 = V2 = V3 e E1 = E2 = E3 
b) V1 = V2 = V3 e E1 > E2 > E3 
c) V1 > V2 > V3 e E1 = E2 = E3 
d) V1 > V2 > V3 e E1 > E2 > E3 
e) V1 < V2 < V3 e E1 = E2 = E3 
f) V1 < V2 < V3 e E1 < E2 < E3 
 
2) Qual é o conjunto de superfícies equipotenciais compatíveis com este campo elétrico? 
 
 
 
 
3) Qual dos gráficos de potencial mostrados abaixo descreve o campo elétrico representado à 
esquerda? 
 
 
 
4) ** Um capacitor esférico é formado por duas cascas esféricas metálicas concêntricas e carregadas, 
ambas com uma carga 𝑞, porém com sinais opostos, sendo o raio da esfera interna 𝑅1 e o raio da 
esfera externa 𝑅2. 
a) Calcule o campo elétrico no interior do capacitor, ou seja, para 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2. 
b) Calcule a diferença de potencial no interior do capacitor. 
c) Calcule a capacitância do capacitor. 
d) Considerando o caso limite em que o raio da camada externa vai a infinito, calcule a nova 
capacitância do capacitor e interprete esse resultado fisicamente. 
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5) A figura mostra um circuito em que a diferença de potencial da bateria é 𝑉 e as capacitâncias são 
𝐶1 e 𝐶2 = 𝐶3 = 𝐶. Primeiramente, a chave 𝑆 é fechada no lado esquerdo até que o capacitor 1 
atinja o equilíbrio. Então, a chave é movida para a direita e fechada. Quando o equilíbrio é atingido 
novamente: 
a) Calcule a expressão para a quantidade de carga no capacitor 1. 
b) Considere 𝑉 = 10 𝑉, 𝐶1 = 10 𝜇𝐹 e 𝐶2 = 𝐶3 = 20 𝜇𝐹 e calcule a quantidade de carga no 
capacitor 1 
 
 
6) ** (i) A figura abaixo mostra um capacitor de placas paralelas cuja área das placas é 𝐴 e a 
separação é 𝑑. A metade esquerda do interior do capacitor é completamente preenchida com um 
material de constante dielétrica ⲕ1 enquanto que a metade direita é preenchida com um material 
de constante dielétrica ⲕ2. Determine a capacitância desse sistema. 
 
 
 
(ii) Considere agora um capacitor de placas paralelas cuja área das placas é 𝐴 e a separação é 𝑑 
em que a metade superior (𝑑/2) do interior do capacitor é preenchida com um material de 
constante dielétrica ⲕ1 enquanto que a metade inferior (𝑑/2) é preenchida com um material de 
constante dielétrica ⲕ2, como mostrado na figura. Determine a capacitância desse sistema. 
 
 
7) 
a) Mostre que para um capacitor de placas paralelas a capacitância 𝐶 é 𝐶 = 𝜀0𝐴/𝑑, em que 𝐴 é 
a área das placas e 𝑑 a distância entre elas. 
b) Mostre que para um capacitor cilíndrico a capacitância 𝐶 é 𝐶 = 2𝜋𝜀0𝐿/ ln(𝑏/𝑎), em que 𝐿 é 
o comprimento dos dois cilindros coaxiais de raios 𝑎 e 𝑏. 
 
8) ** A figura abaixo é um circuito composto por uma fonte de tensão 𝑉0, uma chave 𝑆 e três 
capacitores 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3, inicialmente descarregados. A chave é deslocada para a direita, fechando 
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um circuito entre a fonte e 𝐶1 até que o capacitor esteja totalmente carregado. Depois a chave é 
deslocada para a direita, fechando um circuito entre os três capacitores. Qual é a carga final no: 
a) Capacitor 1; 
b) Capacitor 2; e 
c) Capacitor 3? 
 
 
 
9) A figura abaixo, ilustra um capacitor de placas paralelas de área 𝐴 e separação entre as placas 2𝑑. 
A metade esquerda do capacitor é preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica 
ⲕ1; a parte direita é preenchida por dois dielétricos, sendo o de cima de constante dielétrica ⲕ2 e 
o de baixo de constante dielétrica ⲕ3. Qual é a capacitância? 
 
 
 
10) Mostre que a energia 𝑈 armazenada em um capacitor de capacitância 𝐶 é dada por 𝑈 = 𝐶𝑉2/2. 
Considerando um capacitor de placas paralelas, mostre que a densidade de energia (energia por 
unidade de volume entre as placas) é dada por 𝑢 = 𝜀0𝐸
2/2. Obs.: Apesar de calculada para o caso 
particular de um campo elétrico uniforme, esta expressão para a energia armazenada vale em 
geral, ou seja, para qualquer campo elétrico. 
 
11) Mostre que a energia potencial elétrica armazenada em um capacitor cilíndrico de comprimento 
𝐿, raio interno 𝑎, e raio externo 𝑏 é igual a 
𝑈 =
𝑄2
4𝜋𝜀0𝐿
ln (
𝑏
𝑎
). 
Dicas: (i) Calcule o valor do campo elétrico entre os cilindros; (ii) Use a expressão obtida na 
Questão 10 para a densidade de energia armazenada no campo e integre sobre o volume entre os 
cilindros para obter a energia total: 
𝑈 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 =
𝜀0
2
∫ 𝐸2
𝑏
𝑎
𝑑𝑣. 
 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=L#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=b#0
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12) Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem mutuamente com uma força 
dada por 𝐹 = 𝑄2/(2𝜀0𝐴). Dica: Obtenha o resultado calculando o trabalho necessário para 
aumentar a separação entre as placas de 𝑥 para 𝑥 + 𝑑𝑥, com a carga 𝑞 permanecendo constante. 
 
13) Uma barra de cobre de espessura 𝑏 é colocada entre as placas de um capacitor de placas paralelas. 
A área das placas é 𝐴 e a distância entre as placas é 𝑑. Como mostra a figura abaixo, a barra é 
colocada exatamente no centro do espaço entre as placas. 
 
 
a) Qual é a capacitância após a introdução da barra? 
b) Se uma carga 𝑞 é mantida nas placas, qual é a razão entre as energias armazenadas antes e 
depois da introdução da barra? 
c) Qual é o trabalho executado quando a barra é introduzida? 
d) A barra é atraída ou repelida pelo espaço entre as placas? 
 
14) A figura abaixo mostra um capacitor variável com "dielétrico de ar” do tipo usado para sintonizar 
manualmente receptores de rádio. O capacitor é formado por dois conjuntos de placas 
intercaladas, um grupo de placas fixas, ligadas entre si, e um grupo de placas móveis, também 
ligadas entre si. Considere um capacitor com quatro placas de cada tipo, todas com uma área 𝐴; 
a distância entre placas vizinhas é 𝑑. Qual é a capacitância em função do ângulo para o conjunto? 
 
 
 
15) A figura abaixo mostra um circuito com quatro capacitores que está ligado a um circuito maior 
através dos pontos 𝐴 e 𝐵. As capacitâncias são 𝐶1 e 𝐶2 = 𝐶3 = 𝐶4 = 𝐶. A carga do capacitor 1 é 
𝑄. Qual é a diferença de potencial 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏? 
 
 
 
16) Um fusível num circuito elétrico é um fio cujo objetivo é derreter-se e, desta forma, interromper 
o circuito, caso a corrente exceda um valor predeterminado. Suponha que o material que compõe 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x%20%2B%20dx#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=q#0
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o fusível se derreta sempre que a densidade de corrente atingir 440 A/cm2. Qual o diâmetro do 
condutor cilíndrico que deverá ser usado para restringir a corrente a 0.5 A? 
 
17) Um fio de comprimento 𝐿0 e resistência igual a 𝑅0 é esticado de tal forma que seu novo 
comprimento é três vezes seu comprimento inicial (3𝐿0). Supondo que não ocorra variação na 
resistividade 𝜌 nem na densidade do material durante o processo de esticamento, calcule o valor 
𝑅 da resistência do fio esticado. 
 
18) ** Determine a corrente elétrica em um fio de raio 𝑅 se a magnitude da densidade de corrente é 
dada por: 
a) 𝐽𝑎(𝑟) = 𝐽0𝑟/𝑅, onde 𝑟 é a distância ao centro do fio. 
b) 𝐽𝑏(𝑟) = 𝐽0(1 − 𝑟/𝑅), onde 𝑟 é a distância ao centro do fio. 
c) Qual das densidades de corrente acima, 𝐽𝑎 ou 𝐽𝑏, maximiza a densidade de corrente próximo 
à superfície do fio? 
 
19) Considere dois condutores 𝐴 e 𝐵 feitos do mesmo material e que possuem o mesmo comprimento 
𝐿. O condutor 𝐴 é um fio sólido de diâmetro 𝐷. Já o condutor 𝐵 é um tubo oco de diâmetro interno 
𝐷 e diâmetroexterno 2𝐷. Determine a razão das resistências 𝑅𝐴/𝑅𝐵, onde 𝑅𝐴 é a resistência 
medida do fio 𝐴 e 𝑅𝐵 é a resistência medida do tubo 𝐵. 
 
20) ** Na figura abaixo, um nadador está na água à uma distância 𝐷 de onde caiu um relâmpago de 
corrente 𝐼. A água possui uma resistividade 𝜌 e o corpo do nadador possui resistência 𝑅 com um 
tamanho 𝛥𝑟, conforme ilustrado na figura. Supondo que a corrente do relâmpago se espalha na 
água formando um semi hemisfério de raio 𝐷 centrado no ponto 𝑂, qual é a corrente elétrica que 
passa pelo corpo do nadador? 
 
 
21) No gráfico da figura abaixo é dada a magnitude do campo elétrico 𝐸(𝑥) ao longo da resistência 
de 9 mm de comprimento. A escala vertical é dada por 𝐸𝑠 = 4.0 × 10
3 V/m. A resistência consiste 
de três seções do mesmo material, mas com diferentes valores de raio. (A figura esquemática não 
indica os diferentes raios). Dado que o raio da seção 3 é 2 mm, qual é o raio: 
a) Da seção 1, e 
b) Da seção 2? 
 
 
 
 
 
 
 
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22) Considere um certo fio cilíndrico que conduz corrente elétrica. Na figura (a) abaixo, desenhamos 
um círculo de raio 𝑟 em torno do eixo central do cilindro, a fim de determinarmos a corrente 𝑖 que 
atravessa o interior do círculo. A figura (b) abaixo mostra o comportamento da corrente 𝑖 como 
função de raio do círculo ao quadrado, 𝑟2. A escala vertical é dada em unidades de 𝑖𝑠 = 4 mA, e 
a escala horizontal em unidades de 𝑟𝑠
2 = 4 mm². Calcule a densidade de corrente. 
 
 
23) A corrente através da bateria e dos resistores 𝑅1 e 𝑅2 ilustrados na figura (a) abaixo é 𝑖 = 2 A. 
Energia carregada pela corrente é dissipada, ou seja, convertida em energia térmica (𝐸𝑡ℎ), em 
ambos os resistores. A figura (b) ilustra o comportamento da energia térmica dissipada nos 
resistores 1 e 2, respectivamente, como função do tempo. A escala vertical é dada em unidades 
de 𝐸𝑡ℎ = 40 mJ, enquanto que o eixo horizontal é dado em unidades de 𝑡𝑠 = 5 s. Determine a 
potência da bateria. 
 
 
 
24) ** A figura (a) mostra uma haste de material resistivo. A resistência por unidade de comprimento 
da haste aumenta na direção positiva do eixo 𝑥. Em qualquer posição 𝑥 ao longo da a haste, a 
resistência 𝑑𝑅 de uma seção estreita 
(diferencial) de comprimento 𝑑𝑥 é dada por 
𝑑𝑅 = 5𝑥𝑑𝑥, em que 𝑑𝑅 está em ohms e 𝑥 está 
em metros. A figura (b) mostra um exemplo de 
uma seção dessas. Você deve cortar um 
comprimento da haste entre 𝑥 = 0 e alguma 
posição 𝑥 = 𝐿 e depois conectar esse pedaço de 
resistência a uma bateria com diferença de 
potencial 𝑉 = 5 V [(figura (c)]. Queremos que a 
corrente no pedaço de haste transfira energia 
elétrica para energia térmica na taxa de 200 W. 
Em que posição 𝑥 = 𝐿 você deve cortar a haste?