Cálculo 3

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Cálculo 3
Aula 1
		1.
		Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0xdx+ydy=0
	
	
	
	x²+y²=Cx²+y²=C
	
	
	−x² + y²=C-x² + y²=C
	
	
	x²− y²=Cx²- y²=C
	
	
	x−y=Cx-y=C
	
	
	x + y=Cx + y=C
	
Explicação:
Método de separação de variáveis.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy = (sen x)dx, obtemos:
	
	
	
	sen y + cos y = C
	
	
	sen y + cos x = C
	
	
	sen x + cos y = C
	
	
	sen x - cos y = C
	
	
	sen x - cos x = C
	
Explicação:
Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo:
I - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0
II - d2ydt2+tdydt+t3y=etd2ydt2+tdydt+t3y=et
III - t3d3ydt3+tdydt+y=tt3d3ydt3+tdydt+y=t
Assinale a alternativa verdadeira.
	
	
	
	Apenas a I é linear.
	
	
	Apenas a II é linear.
	
	
	Apenas a III é linear.
	
	
	Apenas a I e II são lineares.
	
	
	Apenas a II e III são lineares.
	
Explicação:
Na EDO linear, todos os expoentes da variável que se está derivando valem 1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolvendo a equação diferencial dy/y = (cos x)dx, obtemos:
	
	
	
	y = ln x + C
	
	
	e) sen y + cos x = C
	
	
	ln y = sen x + C
	
	
	ln y = x + C
	
	
	ln y = cos x + C
	
Explicação:
Resposta: b) ln y = sen x + C Basta integrar ambos os membros
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante:
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0
	
	
	
	y5sen(x)+y5=ky5sen(x)+y5=k
	
	
	y5sen(y)+y4=ky5sen(y)+y4=k
	
	
	y5xsen(x)+y5=ky5xsen(x)+y5=k
	
	
	x5sen(x)+y5=kx5sen(x)+y5=k
	
	
	y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k
	
Explicação:
 Para chegar  a  esta solução ,y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k   coloque a ED dada na forma padrão e teremos o P(x). Aplique o método de solução realizando a integração.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		São grandezas vetoriais, exceto:
	
	
	
	O avião da Air France partindo do aeroporto de Brasília com destino a Paris.
	
	
	Maria assistindo um filme do arquivo X.
	
	
	João dirigindo o seu carro indo em direção ao bairro do Riacho Fundo.
	
	
	Maria indo se encontrar com João, na porta do cinema.
	
	
	Um corpo em queda livre.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
	
	
	
	y = e-2x + k
	
	
	y = e-3x + K
	
	
	y = (e3x/2) + k
	
	
	y = (e-3x/3) + k
	
	
	y = (e-2x/3) + k
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere as seguintes equações diferenciais:
I) 4(y′)5+y′′=14(y′)5+y″=1
II) ∂5y∂x5−∂2y∂x2=0∂5y∂x5−∂2y∂x2=0
III) (y′′)3+(y′)5=x(y″)3+(y′)5=x
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta.
	
	
	
	A primeira é de grau 5 e a segunda é de ordem 3.
	
	
	A segunda é de ordem 2 e a grau 3 e a terceira é de ordem 2 e grau 3.
	
	
	A terceira é de ordem 1 e grau 5.
	
	
	A primeira e a segunda são de graus iguais a 1.
	
	
	A segunda e a terceira são de ordens iguais.
	
Explicação:
A primeira e a segunda são de graus iguais a 1, ou seja, é o grau da mais alta derivada da ED.
	
Aula 2
		1.
		A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é
	
	
	
	y=2x-ln(x+1)+C
	
	
	y=C/x
	
	
	y=ln 2x -1
	
	
	y=ln x+C
	
	
	y=x+C
	
Explicação:
xy´+y=0 é
xdy/dx = -y
-dy/y = dx/x
-lny = lnx + c
-lny = lncx
lny + lncx = 0
lncxy = 0
cxy = 1
y = 1/cx
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28?
	
	
	
	2
	
	
	8
	
	
	10
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
1xdx+dy=01xdx+dy=0.
	
	
	
	Nenhuma alternativa anterior está correta.
	
	
	y=ex+cy=ex+c
	
	
	y=−ex+cy=−ex+c
	
	
	y=ln|x|+cy=ln⁡|x|+c
	
	
	y=−ln|x|+cy=−ln⁡|x|+c
	
Explicação:
dx/x = -dy
lnx = -y + c
-lnx + c = y
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis:
dydt=et−ydydt=et−y
	
	
	
	y=ety+ky=ety+k
	
	
	y=et−yy=et−y 
	
	
	y=ln(e)+cy=ln(e)+c
	
	
	y=t+ky=t+k
	
	
	y=ln(et+c)y=ln(et+c)
	
Explicação:
eydy = etdt
ey = et + c
y = ln(et + c)
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis separáveis:
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0
	
	
	
	y=e−3x+cy=e−3x+c
	
	
	y=e−x+cy=e−x+c
	
	
	y=e−3x/3+cy=e−3x/3+c
	
	
	y=−3e−3x+cy=−3e−3x+c
	
	
	y=−e−3x+cy=−e−3x+c
	
Explicação:
 
e-3xdx = -dy
-e-3x / 3 = -y + c
y = e-3x / 3 + c
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear:
y´+6xy=0y´+6xy=0
	
	
	
	y=ce−7xy=ce−7x
	
	
	y=ce6xy=ce6x
	
	
	y=ce7xy=ce7x
	
	
	Nenhuma alternativa está correta.
	
	
	y=ce−6xy=ce−6x
	
Explicação:
Inicie a solução usando y′=dy/dxy′=dy/dx, separe as variáveis e integre.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR:
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y
b) dx/dt = k(4-x).(1-x)
encontramos:
	
	
	
	(a)não linear (b)não linear
	
	
	(a)linear (b)linear
	
	
	(a)não linear (b)linear
	
	
	impossivel identificar
	
	
	(a)linear (b)não linear
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³).
	
	
	
	`y = (2sqrt7)/(5)x^(5/2) + C
	
	
	y=x²+Cy=x²+C
	
	
	y=7x+Cy=7x+C
	
	
	y=7x³+Cy=7x³+C
	
	
	y=− 7x³+Cy=- 7x³+C
	
Explicação:
Calcule a integral: y=√7∫x32dx=25√7x52+C
Aula 3
		1.
		Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas.
I - f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2
II - f(x,y)=xy+y2f(x,y)=xy+y2
III - f(x,y)=x+ysen(yx)f(x,y)=x+ysen(yx)
	
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Todas são homogêneas.
	
	
	Apenas a II.
	
Explicação:
Aplique o teste: f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y).
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	É homogênea de grau 3.
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	É homogênea de grau 2.
	
	
	É homogênea de grau 1.
	
	
	É homogênea de grau 4.
	
Explicação:
Aplica-se o teste descrito no texto da questão.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas.
I - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy
II - dydx=x2+y22xydydx=x2+y22xy
III - dydx=2xyx2−2y2dydx=2xyx2−2y2
	
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Nenhuma é homogênea.
	
	
	Todas são homogêneas.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	Apenas a II.
	
Explicação:
Uma EDO da forma dy/dx = f(x,y) será homogênea quando f(tx, ty) = tnf(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dadas as funções, determine quais são homogêneas.
I - f(x,y)=4x3+3y3f(x,y)=4x3+3y3
II - f(x,y)=x+xyf(x,y)=x+xy
III - f(x,y)=2x+x2f(x,y)=2x+x2
	
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Todas são homogêneas.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Todas não são homogêneas.
	
	
	Apenas a I.
	
Explicação:
EDO homogênea é da forma dy/ dx = f(x, y), onde f(tx, ty) = tn f(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial.
	
	
	
	Todas são corretas.
	
	
	Apenas I e II são corretas.
	
	
	Apenas I é correta.
	
	
	Apenas II e III são corretas.
	
	
	Apenas I e III são corretas.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Identificando a ordem e o grau daequação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente:
	
	
	
	2 e 1
	
	
	1 e 2
	
	
	3 e 1
	
	
	1 e 1
	
	
	2 e 2
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
	
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x(δMδy)=(δNδx)=5x
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0(δMδx)=(δNδy)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4(δMδx)=(δNδy)=4
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7(δMδx)=(δNδy)=7
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma função f(x,y)f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique se a função  f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	É função homogênea de grau 3.
	
	
	É função homogênea de grau 1.
	
	
	É função homogênea de grau 4.
	
	
	É função homogênea de grau 2.
	
	
	Não é função homogênea.
	
Explicação:
Fazendo a adequada substituição, verifica-se, no presente exercício que f(tx, ty) = t² f(x, y)
Aula 4
		1.
		São grandezas escalares, exceto:
	
	
	
	João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros.
	
	
	O carro parado na porta da minha casa.
	
	
	A temperatura do meu corpo
	
	
	A espessura da parede da minha sala é 10cm.
	
	
	A energia cinética nos pontos da trajetória do trenzinho da montanha russa.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas:
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1.
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	C1=√3C1=3; C2=√2C2=2
PVC
	
	
	C1=1C1=1; C2=ln2C2=ln2
PVC
	
	
	C1=−1C1=-1; C2=− 2C2=- 2
PVI
	
	
	C1=2C1=2; C2=1C2=1
PVC
	
	
	C1=1C1=1; C2=2C2=2
PVI
	
Explicação:
O chamado, problema de valor inicial - PVI, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
O chamado, problema de valor contorno - PVC, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos curvas-solução, em  dois pontos distintos, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0(x−y)dx+(x+y)dy=0
 
	
	
	
	Apenas II e II.
	
	
	Todas são exatas.
	
	
	Apenas I e II.
	
	
	Todas não são exatas.
	
	
	Apenas I e III.
	
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy = 0 será exata quando dM/ dy = dN / dx
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0
	
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	I, II e III são não exatas.
	
	
	I, II e III são exatas.
	
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma  uma equação diferencial exata é necessário que:
	
	
	
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
	
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x.
	
	
	Nenhuma da alternativas
	
	
	A derivada de N em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
	
	A derivada de M em relação à x seja igual à derivada de N em relação à x.
	
Explicação:
Essa resposta é a condição para que tenhamos uma EDO exata
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
(y")³+3y'+6y=tan(x)
	
	
	
	ordem 2 grau 3
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 3 grau 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada de 1.500t−121.500t-12 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.Qual era a população, em 1990?
	
	
	
	20000
	
	
	25000
	
	
	30000
	
	
	40000
	
	
	15000
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
y"+3y'+6y=sen(x)
	
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
Aula 5
		1.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
y"+3yy'=exp(x)
	
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para x =0, y = 4, determine a solução desta EDO.
Dado que y' = dy/dx
	
	
	
	y = (e2x + 15.e-2x)/4
	
	
	y = (-3e2x + 19.e-2x)/4
	
	
	y = (2e2x + 14.e-2x)/4
	
	
	y = (- e2x + 16.e-2x)/4
	
	
	y = (3e2x + 13.e-2x)/4
	
Explicação:
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx)
y. e2x = (1e4x)/4 + c
y = (e2x)/4 + c.e-2x
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4 + c.e-2.0
4 = 1/4 + c
c = 15/4
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.
I - y´+4xy=x4y´+4xy=x4
II - y´−2xy=xy´−2xy=x
III - y´−3y=6y´−3y=6
	
	
	
	Nenhuma alternativa anterior está correta.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a II.
	
Explicação:
Uma EDO é linear quando a variável que está sendo derivada não tem, em nenhum termo, expoente diferente de 1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear
y´−2xy=xy´−2xy=x
	
	
	
	y=−12+ce−x2y=−12+ce−x2
	
	
	y=12+ce−x3y=12+ce−x3
	
	
	y=−12+ce−x3y=−12+ce−x3
	
	
	y=−12+cex2y=−12+cex2
	
	
	y=12+cex2y=12+cex2
	
Explicação:
y=−12+cex3y=−12+cex3
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] . ∫u(x)q(x)dx∫u(x)q(x)dx onde u(x) = e^(∫p(x)dx∫p(x)dx
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o Wronskiano W(x3,x5)W(x3,x5)
	
	
	
	5x75x7
	
	
	4x74x7
	
	
	2x72x7
	
	
	3x73x7
	
	
	x7x7
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2⋅xe2⋅x  ;
                             g(x)g(x)=senxsenx     e     
                               h(x)=x²+3x+1h(x)=x²+3x+1
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00.
	
	
	
	 2      
	
	
	 1       
	
	
	 7
	
	
	 -1     
	
	
	-2     
	
Explicação:
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem.
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
	
	
	
	Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea e Exata
	
	
	Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1dydx=yx+1 ?
	
	
	
	`lny = ln| sqrt(x  1)|
	
	
	`lny = ln|x - 1|`lny = ln|x + 1|
	
	
	`lny = ln| 1 - x  |
	
	
	`lny = ln|x|
Aula 6
		1.
		Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos:
	
	
	
	16s²+1616s²+16
	
	
	4s²+164s²+16
	
	
	4s²+44s²+4
	
	
	4ss²+164ss²+16
	
	
	ss²+16ss²+16
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	{(x,y)  2|  x+y2 ≥ 2}
	
	
	 {(x,y)  2|  x+y = 2}
	
	
	{(x,y)  3|  x+y ≥ - 2}
	
	
	{(x,y)  2|  x+y ≥ 2}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo que  y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos.
	
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) =  ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, a primeira tratando das EDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é bastante fácil, resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução particular quando após a iguadade na EDO for um polinômio ?
	
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m/h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m-h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a maior ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	Nenhuma das alternativas
	
Explicação:
Esta questão trata da forma como vai ser o formato da solução particular.
O grau do polinômio da solução particular terá o grau m+h onde h é a menor ordem de derivada da equação diferencial e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0
	
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
d2ydt2+sen(t+y)=td2ydt2+sen(t+y)=t
	
	
	
	1ª ordem e não linear.
	
	
	2ª ordem e não linear.
	
	
	1ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	2ª ordem e linear.
	
Explicação:
A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação e, nesse caso, temos uma ED de segunda ordem e não linear por causa do sen(t+y)sen(t+y)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y''+16y = 0, y(0) = 0 e y'(0) = 1.
	
	
	
	senxsenx
	
	
	cosxcosx
	
	
	14sen4x14sen4x
	
	
	sen4xsen4x
	
	
	cosx2cosx2
	
Explicação:
Primeiramente se resolve a equação homogênea e encontrarás a seguinte resposta y = Acos(4t) + Bsen(4t).
Com isso, o próximo passo é calcular a primeira derivada e depois aplicar as condições iniciais fornecidas no problema.
Aula 7
		1.
		Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
	
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
	
	
	𝑦 = − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
	
	
	
	Apenas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Apenas I e IV são verdadeiras.
	
	
	Todas as afirmações são verdadeiras,
	
	
	Apenas I e II são verdadeiras.
	
	
	Apenas IV é verdadeiras
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine c1c1 e c2c2 de modo que f(x)=c1e2x+c2ex+2senxf(x)=c1e2x+c2ex+2senx satisfaça as seguintes condições iniciais: f(0)=0f(0)=0 e f'(0)=1f′(0)=1. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=1c2=1
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=−1c2=-1
	
	
	c1=e−1c1=e-1
c2=e+1c2=e+1
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=0c2=0
	
	
	c1=−1c1=-1
c2=2c2=2
	
Explicação:
O chamado, problema de condição inicial, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
	
	
	
	tende a 9
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	tende a 1
	
	
	tende a x
	
	
	tende a zero
	
	
	
	 
		
	
		5.
		 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar:
1.  É um método simples.
2. Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
3. Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas.
4. Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma equação Diferencial  , de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
5.  É um método complexo.As alternativas 1 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 2,3 e 5 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1,3 e 4 estão corretas.
	
	
	As alternativas 2 e 3 estão corretas.
	
Explicação:
As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o Wronskiano W(senx,cosx)W(senx,cosx)
	
	
	
	cos x
	
	
	0
	
	
	sen x
	
	
	senx cosx
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto P=(1,-2) tem valor de:
	
	
	
	11/2
	
	
	18/7
	
	
	13/4
	
	
	8/5
	
	
	10/3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
	
	
	
	y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x)
	
	
	y =  c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
AULA 8
		1.
		A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 .
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y)dydx=F(x,y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0  onde M=M(x,y)  e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
 
	
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(III)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)f(t),  da função: F(s)=2s2+9F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=23sen(t)f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)f(t)=sen(3t)
	
	
	f(t)=13sen(3t)f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)f(t)=23sen(4t)
	
Explicação:
Solução com o uso da tabela dada na questão.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformada de Laplace: w′′+w=t2+2w″+w=t2+2; w(0)=1;w′(0)=−1w(0)=1;w′(0)=−1.
	
	
	
	t3−cost+sentt3−cost+sent
	
	
	t−cost+sentt−cost+sent
	
	
	t−cost+sen2tt−cost+sen2t
	
	
	t2+cost−sentt2+cost−sent
	
	
	sect−cost+sentsect−cost+sent
	
Explicação:
Aplica-se o Teorema da segunda derivada:L[w′′]=s2w(s)−sw(0)−w′(0)L[w″]=s2w(s)−sw(0)−w′(0)e demais procedimentos para o cálculo da transformada inversa.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à equação.
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes.
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
 
	
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(III)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)f(t),  da função: F(s)=2s2+9F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(t)f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)f(t)=sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)f(t)=23sen(4t)
	
Explicação:
Para resolver a questão basta comparar com as equações dadas na questão.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A solução da equação diferencial é:
 
	
	
	
	x²y²+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+C=0
	
	
	x²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcule f(t)f(t) se F(s)=1(s−1)(s−2)(s−3)F(s)=1(s−1)(s−2)(s−3) e marque a única resposta correta.
	
	
	
	12et−e−t+12e3t12et−e−t+12e3t
	
	
	12et−e2t+12e−2t12et−e2t+12e−2t
	
	
	12et−e2t+12e3t12et−e2t+12e3t
	
	
	12et−23e2t+12e3t12et−23e2t+12e3t
	
	
	et−e2t+e3tet−e2t+e3t
	
Explicação:
Calcule f(t)f(t)pelo método das frações parciais e o da ocultação para calcular os coeficientes das exponenciais.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
y'=f(x,y)
	
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 2 grau 1
Aula 9
		1.
		Dada  função F(t) = 2t2 - 3t +4.  Use a transformada de Laplace para determinar F(s)
	
	
	
	4/s3 -  3/s2 + 4s-1
	
	
	4/s -3/s2 + 4/s3
	
	
	4s2 - 3s + 4
	
	
	3s2 -2s + 4
	
	
	12s + 2/s - 3/s2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
	
	
	
	10 anos
	
	
	20 anos
	
	
	2 anos
	
	
	5 anos
	
	
	1 anos
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação.
	
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/ dx2 ) - 2 x (dy/dx) + 2y = x3 , x > 0
	
	
	
	y = c1 et + c2 e2t
	
	
	y =  (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et +  (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et
	
	
	y = c1 et + c2 e2t + (1/2) e3t
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva a equação diferencial    exdydx=2xexdydx=2x  por separação de variáveis.
	
	
	
	y=12ex(x+1)+Cy=12ex(x+1)+C
	
	
	y=−12e−x(x−1)+Cy=-12e-x(x-1)+C
	
	
	y=e−x(x−1)+Cy=e-x(x-1)+C
	
	
	y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C
	
	
	y=e−x(x+1)+Cy=e-x(x+1)+C
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após 1000 anos?
	
	
	
	59,05%
	
	
	80,05%
	
	
	70,05%
	
	
	40,00%
	
	
	60,10%
	
Explicação: resolver a EDO dQ/dt=-kQ por varáveis separáveis
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y²
	
	
	
	x - y = c(1 - y)
	
	
	x + y = c(1 - y)
	
	
	y = c(1 - x)
	
	
	x = c(1 - y)
	
	
	xy = c(1 - y)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine o valor do Wronskiano do par de funções  y1 = e 2t e  y 2 = e3t/2.
	
	
	
	(- e7t/2 )/ 5
	
	
	(- e7t/2 )/ 9
	
	
	(- e7t/2 )/ 7
	
	
	(- e7t/2 )/ 2
	
	
	(- e7t/2 )/ 3
Aula 10
		1.
		Sabe-se que a população de um determinado Estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20000 habitantes, determine a população inicial.
	
	
	
	5094 habitantes.
	
	
	3047 habitantes.
	
	
	2000 habitantes.
	
	
	7062 habitantes.
	
	
	9038 habitantes.
	
Explicação:
dP/dt = kP -> lnP = kt + c -> P = cekt
P = P0ekt
t = 2; P = 2P0
2P0 = P0e2k -> e2k = 2 -> 2k = ln2 -> k = 0,5ln2
P = P0ekt -> P = P0e0,5tln2
P(3) = 20000
20000 = P0e1,5ln2
20000 / P0 = 21,5
P0 = 7071
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 180ºC. Três minutos depois, sua temperatura passa para 150ºC. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 27ºC, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 26ºC.50 minutos.
	
	
	30 minutos.
	
	
	40 minutos
	
	
	1 hora.
	
	
	1 hora e 10 minutos.
	
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = k(T-26), resolvendo, ln(T-26) = kt + c -> T = 26 + cekt . Como T(0) = 180, c = 154
T = 26+154e-kt. Fazendo T(3) = 150, achamos 124 = 154e-3k -> k = 0,072223679
Fazendo 27 = 26 + 154e-0,072223679t , achamos -0,072223679t = -5,0369526, logo t = 69,74
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se a solução geral da equação diferencial exata (3x2 - y3)dx + (2y - 3xy2)dy = 0
é x3 - y3x + y2 = C, então a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3 é:
 
	
	
	
	x3- y3 = 0
	
	
	x3- y3x + y2 = 3
	
	
	x3+ y2 = 0
	
	
	x3- y3x + y2 = 9
	
	
	x3- y3x + y2 = 0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3.
	
	
	
	y = 9e-2t - e-3t
	
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
	
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	
	y = e-2t - e-3t
	
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).exdydx=(1+y2).ex para x pertencente a o inervalo [−π2,π2][-π2,π2]
	
	
	
	y=cos(ex+C)y=cos(ex+C)
	
	
	y=sen(ex+C)y=sen(ex+C)
	
	
	y=2.tg(2ex+C)y=2.tg(2ex+C)
	
	
	y=tg(ex+C)y=tg(ex+C)
	
	
	y=2.cos(2ex+C)y=2.cos(2ex+C)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Indique qual é a solução da equação diferencial:
xdx+ydy=xy(xdy−ydx)xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
	
	
	
	1+y²=C(1−x²)1+y²=C(1-x²)
 
	
	
	1+y²=C(lnx−x²)1+y²=C(lnx-x²)
	
	
	seny²=C(1−x²)seny²=C(1-x²)
	
	
	C(1 - x²) = 1
	
	
	1+y=C(1−x²)1+y=C(1-x²)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.
	
	
	
	20 minutos.
	
	
	40 minutos.
	
	
	1 hora.
	
	
	50 minutos.
	
	
	30 minutos.
	
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = -k(T-0), resolvendo, T = 100 - ce-kt . Como T(0) = 50, c = 50
T = 100e-kt. Fazendo T(20) = 50, achamos k = -ln(0,5) / 20
Fazendo 100e-kt = 25, achamos kt = -ln0,25, logo t = 20ln0,25 / ln0,5 = 40
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem.
dy/dx = x/y + y/x +1 concluimos que ela é:
	
	
	
	separavel
	
	
	exata
	
	
	homogenea
	
	
	não é equação doiferencial
	
	
	linear