Questões de Parametrização e Equações Cartesiana

Prévia do material em texto

1. 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
 
f (t) = (t, t2) 
 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
 
 
f (t) = (t, t2 -4) 
 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
 
f (t) = (t, t -4) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 
 
 
y = 1 - √ x x 
 
x= y2 - 2y - 3 
 
 
√ x x + 1 
 
 
y =√ x x + 4 
 
√ x x - 1 
 
 
 
Explicação: 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 t = 1 - y 
x= (1-y)2 - 4 = 1 - 2y + y2 - 4 = -2y + y2 - 3 
x=y2 - 2y - 3 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
 
(sen t, cos t , 1) 
 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
 
(- sen t, cos t , 1) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('237693','7250','1','3520440','1');
javascript:duvidas('2912221','7250','2','3520440','2');
javascript:duvidas('123916','7250','3','3520440','3');
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a função σ(t)σ(t) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t))σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no R3 para cada t ∈∈ I . 
Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈∈ C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar 
sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
 
Explicação: 
Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
 
0 
 
 
( sen t, - cos t) 
 
( -sent, cos t) 
 
( - sen t, - cos t) 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('2912226','7250','4','3520440','4');
javascript:duvidas('123944','7250','5','3520440','5');
javascript:duvidas('126946','7250','6','3520440','6');
javascript:duvidas('123945','7250','7','3520440','7');
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
s(t) = ( sen q, r cos q) , q Î Â. 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r ( cos q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = (r (q -cos q), r (1 -sen q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r (1 - cos q)) , q Î Â. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
 
4xy - 34x = 0 
 
 
3y + 2x - 10 = 0 
 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('123941','7250','8','3520440','8');
 
 
 
1. 
 
 
Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z 
mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo 
que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do 
movimento em P = (0,0,0). 
 
 
 
s(t) = (r/q sen q, r/q sen q, b) , q∈∈ Â. 
 
 
s(t) = (r cos q, cos q,sen bq) , q∈∈ Â. 
 
 
s(t) = (r sen q, r cos q, bq) , q∈∈ Â. 
 
 
s(t) = (cos q, sen q, bq) , q∈∈ Â. 
 
 
s(t) = (r cos q, r sen q, bq) , q∈∈ Â. 
 
 
 
Explicação: 
s(t) = (r cos q, r sen q, bq) , q∈∈ Â. 
A componente x = r cos q e y = r sen q representa a componente da circunferência e a componente z = bq representa a altura da hélice circular. 
q representa o ângulo de rotação 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
 
4xy - 34x = 0 
 
3y + 2x - 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 
 
 
√ x x + 1 
 
 
y = 1 - √ x x 
 
 
√ x x - 1 
 
 
y =√ x x + 4 
 
 
x= y2 - 2y - 3 
 
 
 
Explicação: 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('2912215','7250','1','3520440','1');
javascript:duvidas('123941','7250','2','3520440','2');
javascript:duvidas('2912221','7250','3','3520440','3');
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 t = 1 - y 
x= (1-y)2 - 4 = 1 - 2y + y2 - 4 = -2y + y2 - 3 
x=y2 - 2y - 3 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
 
(sen t, cos t , 1) 
 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(- sen t, cos t , 1) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja a função σ(t)σ(t) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t))σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no R3 para cada t ∈∈ I . 
Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈∈ C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar 
sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
 
Explicação: 
Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
 
x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('123916','7250','4','3520440','4');
javascript:duvidas('2912226','7250','5','3520440','5');
javascript:duvidas('123944','7250','6','3520440','6');
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
 
x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
 
( sen t, - cos t) 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
( - sen t, - cos t) 
 
 
( -sent, cos t) 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r ( cos q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = (r (q -cos q), r (1 -sen q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = ( sen q, r cos q) , q Î Â. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r (1 - cos q)) , q Î Â. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
 
f (t) = (t, t2) 
 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
 
 
f (t) = (t, t2 -4) 
 
 
f (t) = (t, t -4) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 
 
 
x= y2 - 2y - 3 
 
 
√ x x - 1 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('126946','7250','7','3520440','7');javascript:duvidas('123945','7250','8','3520440','8');
javascript:duvidas('237693','7250','1','3520440','1');
javascript:duvidas('2912221','7250','2','3520440','2');
 
 
√ x x + 1 
 
 
y =√ x x + 4 
 
 
y = 1 - √ x x 
 
 
 
Explicação: 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈∈ R 
 t = 1 - y 
x= (1-y)2 - 4 = 1 - 2y + y2 - 4 = -2y + y2 - 3 
x=y2 - 2y - 3 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
 
(- sen t, cos t , 1) 
 
 
(sen t, cos t , 1) 
 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a função σ(t)σ(t) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t))σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no R3 para cada t ∈∈ I . 
Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈∈ C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar 
sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
 
Explicação: 
Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('123916','7250','3','3520440','3');
javascript:duvidas('2912226','7250','4','3520440','4');
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
 
x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
( -sent, cos t) 
 
 
( - sen t, - cos t) 
 
( sen t, - cos t) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r (1 - cos q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = (r (q -cos q), r (1 -sen q)) , q Î Â. 
 
 
s(t) = ( sen q, r cos q) , q Î Â. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
s(t) = (r (q - sen q), r ( cos q)) , q Î Â. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
 
4xy - 34x = 0 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
3y + 2x - 10 = 0 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('123944','7250','5','3520440','5');
javascript:duvidas('126946','7250','6','3520440','6');
javascript:duvidas('123945','7250','7','3520440','7');
javascript:duvidas('123941','7250','8','3520440','8');
 
 
 
 
1. 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 
4t), t ∈∈ [0,4ππ], determine o comprimento da hélice C. 
 
 
20 ππ 
 
4 √ 20 20 ππ 
 
 
20 
 
 
ππ 
 
 
4 ππ 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função s (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
 
 
(2t , cos t, 3t2) 
 
 
(2 , - sen t, t2) 
 
(t , sen t, 3t2) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 
 
(2,0, 3) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 
 
(2,cos 2, 3) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: 
 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 
 
x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 
x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
5. 
 
 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização s = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
 
2 ππ 
 
 
π2π2 
 
 
4 ππ 
 
2ππ r 
 
 
4 ππ r / 3 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade 
V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π40≤t≤π4 . 
 
 
 
√ 2 π162π16 
 
 
√ 2 π82π8 
 
 
2π2π 
 
 
√ 2 π22π2 
 
 
√ 2 π42π4 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa 
a posição de uma partícula. 
 
 
 
V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
Explicação: 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de 
uma partícula. 
σ(t)=σ(t)=(4 + cos 2t, 2 + sen 2t) 
Derivando encontramos a velocidade 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), 
velocidade escalar 
||V||=||V||=v(t)= 2 
e aceleracao 
A(t) = V ' = v'' = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de 
uma estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. 
 
e 
 
 
e-1 
 
 
(2)1/2(e3 -1) 
 
 
 2(e3 -1) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Explicação: 
σ(t)=σ(t)=(et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. 
σ′(t)=σ′(t)=(et cos t + et (- sen t) , et sen t + et cos t ) 
||σ′(t)||=√ e2tcos2t−2e2tcostsent+e2tsen2t+e2tsen2t+2e2tcostsent+e2tcos2t ||σ′(t)||=e2tcos2t−2e2tcostsent+e2tsen2t+e2tsen2t+2e2tcostsent+e2tcos2t 
||σ′(t)||=√ e2t(cos2t+sen2t+sen2t+cos2t =√ 2e2t =√ 2 et||σ′(t)||=e2t(cos2t+sen2t+sen2t+cos2t=2e2t=2et 
L=∫30√ 2 etdt=√ 2 et|30=√ 2 (e3−e0)=√ 2 (e3−1)L=∫032etdt=2et|03=2(e3−e0)=2(e3−1) 
(2)1/2(e3 -1) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o 
vetor aceleração A(t). 
 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada a função s (t) = (t2 , cos t, t3) então ovetor derivada será? 
 
 
(2 , - sen t, t2) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(2t , cos t, 3t2) 
 
 
(t , sen t, 3t2) 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,0, 3) 
 
(2,cos 2, 3) 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: 
 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 
 
x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 
 
x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização s = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
 
π2π2 
 
 
4 ππ r / 3 
 
 
2 ππ 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
4 ππ 
 
 
2ππ r 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈∈ [0,4ππ], determine o comprimento da hélice C. 
 
 
 
20 
 
 
4 ππ 
 
4 √ 20 20 ππ 
 
 
ππ 
 
20 ππ 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade 
V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva 
entre 0≤t≤π40≤t≤π4 . 
 
 
 
√ 2 π82π8 
 
 
2π2π 
 
 
√ 2 π162π16 
 
 
√ 2 π42π4 
 
 
√ 2 π22π2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa 
a posição de uma partícula. 
 
 
 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 
 
 
 
Explicação: 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa 
a posição de uma partícula. 
σ(t)=σ(t)=(4 + cos 2t, 2 + sen 2t) 
Derivando encontramos a velocidade 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), 
velocidade escalar 
||V||=||V||=v(t)= 2 
e aceleracao 
A(t) = V ' = v'' = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
 
(2,0, 3) 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 
 
(2,cos 2, 3) 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: 
 
 
 
x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 
 
x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização s = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
 
π2π2 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
2ππ r 
 
 
4 ππ r / 3 
 
 
4 ππ 
 
 
2 ππ 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈∈ [0,4ππ], determine o comprimento da hélice C. 
 
 
4 √ 20 20 ππ 
 
 
20 
 
 
20 ππ 
 
 
4 ππ 
 
ππ 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade 
V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dada a função s (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
 
(2 , - sen t, t2) 
 
 
(2t , cos t, 3t2) 
 
 
(t , sen t, 3t2) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva s(t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
x = 3t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
N(t) = -senti-costj 
 
 
N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 
N(t) = senti + costj + 1 
 
 
N(t) = -sent-cost 
 
N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t 
>= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos 
carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
O carro R2 será multado. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva s(t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
x = 3t+1 
 
 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
 
N(t) = senti + costj + 1 
 
N(t) = -senti-costj 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 
N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
 
N(t) = -sent-cost 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t 
>= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos 
carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
 
Nenhum dos dois carros será multadoO carro R2 será multado. 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva s(t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
x = 3t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
 
N(t) = senti + costj + 1 
 
 
N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 
N(t) = -senti-costj 
 
 
N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
 
N(t) = -sent-cost 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t 
>= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos 
carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
O carro R2 será multado. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus 
movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou 
igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão 
percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso 
qual deles será multado. 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
O carro R2 será multado. 
 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva s(t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
x = 3t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
N(t) = -senti-costj 
 
 
N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 
N(t) = -sent-cost 
 
 
N(t) = senti + costj + 1 
 
 
 
1. 
 
 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
É um cilindro reto 
 
 
É uma esfera 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('123961','7250','1','3520440','1');
 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
 
 
Explicação: 
A equação do plano é da forma geral ax + by + cz + d = 0 comparando a equação com a equação dada 
4y + 2z - 12 = 0 . Pode-se concluir que esta equação define um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
Como x = 0 e tomando z = 0 obtem-se y = 3 
Como x = 0 e tomando y = 0 obtem-se z = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
x + 2y + 3z - 9 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201954','7250','2','3520440','2');
javascript:duvidas('201948','7250','3','3520440','3');
javascript:duvidas('618321','7250','4','3520440','4');
 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 
 
 
3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
 
6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
 
3x - 2y - 6z = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
 
Explicação: 
Para determinar o traço no plano xy fazemos z = 0 e teremos 2x + 3y = 12 no plano xy. 
Esta reta interceopta i euxi x bi oibti (6,0,0) e o eixo y no ponto (0,4,0). 
O traço no plano yz é obtido fazendo x = 0, obtendo 3y + 4z = 12, intersepta z no (0,0,3) 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201945','7250','5','3520440','5');
javascript:duvidas('645661','7250','6','3520440','6');
O traço no plano xz é obtido fazendo y = 0, obtendo 2x + 4z = 12 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 
 
x + y + z + 3 = 0 
 
y - z + 3 = 0 
 
 
x - y + 3 = 0 
 
 
x - y + z = 0 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
 
 
 
É uma esfera 
 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
 
 
É um cilindro reto 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
 
 
Explicação: 
A equação do plano é da forma geral ax + by + cz +d = 0 comparando a equação com a equação dada 
4y + 2z - 12 = 0 . Pode-se concluir que esta equação define um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('618333','7250','7','3520440','7');
javascript:duvidas('201946','7250','8','3520440','8');
javascript:duvidas('123961','7250','1','3520440','1');
Como x = 0 e tomando z = 0 obtem-se y = 3 
Como x = 0 e tomando y = 0 obtem-se z = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
x + 2y + 3z - 9 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201954','7250','2','3520440','2');
javascript:duvidas('201948','7250','3','3520440','3');
javascript:duvidas('618321','7250','4','3520440','4');
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 
 
 
3x - 2y - 6z = 0 
 
 
6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
 
3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 
 
3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
 
Explicação: 
Para determinar o traço no plano xy fazemos z = 0 e teremos 2x + 3y = 12 no plano xy. 
Esta reta interceopta i euxi x bi oibti (6,0,0) e o eixo y no ponto (0,4,0). 
O traço no plano yz é obtido fazendo x = 0, obtendo 3y + 4z = 12, intersepta z no (0,0,3) 
O traço no plano xz é obtido fazendo y = 0, obtendo 2x + 4z = 12 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201945','7250','5','3520440','5');
javascript:duvidas('645661','7250','6','3520440','6');
javascript:duvidas('618333','7250','7','3520440','7');
 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 
 
x - y + z = 0 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
x + y + z + 3 = 0 
 
 
y - z + 3 = 0 
 
 
x - y + 3 = 0 
 
 
 
1. 
 
 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
É um cilindro reto 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
 
É uma esfera 
 
 
 
Explicação: 
A equação do plano é da forma geral ax + by + cz + d = 0 comparando a equação com a equação dada 
4y + 2z - 12 = 0 . Pode-se concluir que esta equação define um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
Como x = 0 e tomando z = 0 obtem-se y = 3 
Como x = 0 e tomando y = 0 obtem-se z = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201946','7250','8','3520440','8');
javascript:duvidas('123961','7250','1','3520440','1');
javascript:duvidas('201954','7250','2','3520440','2');
 
 
 
6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
 
x + 2y + 3z - 9 = 0 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 
 
 
3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
 
3x - 2y - 6z = 0 
 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201948','7250','3','3520440','3');
javascript:duvidas('618321','7250','4','3520440','4');
javascript:duvidas('201945','7250','5','3520440','5');
 
 
6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
 
3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. 
 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV saofalsas 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
 
Explicação: 
Para determinar o traço no plano xy fazemos z = 0 e teremos 2x + 3y = 12 no plano xy. 
Esta reta interceopta i euxi x bi oibti (6,0,0) e o eixo y no ponto (0,4,0). 
O traço no plano yz é obtido fazendo x = 0, obtendo 3y + 4z = 12, intersepta z no (0,0,3) 
O traço no plano xz é obtido fazendo y = 0, obtendo 2x + 4z = 12 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('645661','7250','6','3520440','6');
javascript:duvidas('618333','7250','7','3520440','7');
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 
 
x - y + z = 0 
 
 
y - z + 3 = 0 
 
 
x - y + 3 = 0 
 
 
x + y + z + 3 = 0 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
 
 
1. 
 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. 
 
 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
 
 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
 
I, II e III são falsas 
 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
 
 
 
parabolóide 
 
 
esfera 
 
elipsoide 
 
 
Cone 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('201946','7250','8','3520440','8');
 
 
Parabola 
 
 
 
Explicação: 
comprando com a equação geral do elipsoide x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
2 x2 + 4 y2 + z2 = 16 
(2/16) x2 + (4/16) y2 + (1/16)z2 = 1 Portanto 
2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 é um elipsoide 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
 
 
 
9x2 - 4z2 - 36y = 0 
 
 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 
 
4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 
 
x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 
 
x2 = y2 - z2 
 
 
 
Explicação: 
hiperbolóide elíptico de uma folha possui equação geral x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
ao compara com as opções podemos concluir que 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 é um hiperbolóide elíptico de uma folha 
basta dividir todos os membros a esquerda por 36 
(9/36) x2 - (4/36)y2 + (36/36)z2 = 1 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta 
 
 
 
-(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 
 
 
(x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
-(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
 
 
x2 + y2+ z2 = r2 
 
 
 
Explicação: 
Basta observar que a figura é uma hiperbole de duas folhas que possui equação geral como -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. 
 
 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
 
I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
I, II, III são falsas 
 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. 
Podemos afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em 
torno do eixo z é um cone. 
 
 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
 
I, II, III são falsas 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
 
 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
 
I, II e III são falsas 
 
 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
 
 
 
Cone 
 
 
elipsoide 
 
 
esfera 
 
 
parabolóide 
 
 
Parabola 
 
 
 
Explicação: 
comprando com a equação geral do elipsoide x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
2 x2 + 4 y2 + z2 = 16 
(2/16) x2 + (4/16) y2 + (1/16)z2 = 1 Portanto 
2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 é um elipsoide 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
 
 
x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 
 
9x2 - 4z2 - 36y = 0 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 
 
x2 = y2 - z2 
 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 
 
 
Explicação: 
hiperbolóide elíptico de uma folha possui equação geral x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
ao compara com as opções podemos concluir que 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 é um hiperbolóide elíptico de uma folha 
basta dividir todos os membros a esquerda por 36 
(9/36) x2 - (4/36)y2 + (36/36)z2 = 1 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta 
 
 
 
x2 + y2+ z2 = r2 
 
-(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
 
 
(x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 
 
 
-(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Explicação: 
Basta observar que a figura é uma hiperbole de duas folhas que possui equação geral como -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2= 1 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. 
 
 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. 
Podemos afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em 
torno do eixo z é um cone. 
 
 
 
I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
 
I, II, III são falsas 
 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
 
 
 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
 
I, II e III são falsas 
 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
3. 
 
 
Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
 
 
 
Parabola 
 
 
Cone 
 
 
esfera 
 
 
parabolóide 
 
 
elipsoide 
 
 
 
Explicação: 
comprando com a equação geral do elipsoide x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
2 x2 + 4 y2 + z2 = 16 
(2/16) x2 + (4/16) y2 + (1/16)z2 = 1 Portanto 
2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 é um elipsoide 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
 
 
 
x2 = y2 - z2 
 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 
 
4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 
 
9x2 - 4z2 - 36y = 0 
 
 
x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 
 
 
Explicação: 
hiperbolóide elíptico de uma folha possui equação geral x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 
ao compara com as opções podemos concluir que 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 é um hiperbolóide elíptico de uma folha 
basta dividir todos os membros a esquerda por 36 
(9/36) x2 - (4/36)y2 + (36/36)z2 = 1 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
(x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 
 
 
x2 + y2+ z2 = r2 
 
 
-(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
 
 
-(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Explicação: 
Basta observar que a figura é uma hiperbole de duas folhas que possui equação geral como -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. 
 
 
 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
 
O limite existe e tem valor zero 
 
 
O limite existe e tem valor 5 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
O limite existe e tem valor 4 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
O limite não existe 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
O limite nao existe pois ao tomar o limite da função por dois caminhos encontramos resultados diferentes. 
Observe: 
Limx→0f(x,0)=−1Limx→0f(x,0)=−1 
Limy→0f(0,y)=1Limy→0f(0,y)=1 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
5/6 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
3 
 
 
3/6 
 
 
7/9 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
 {(x,y) Î Â2| x+y = 2} 
 
 
{(x,y) Î Â3| x+y ≥ - 2} 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
{(x,y) Î Â2| x+y ≥ 2} 
 
 
{(x,y) Î Â2| x+y2 ≥ 2} 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
O limite será xy. 
 
 
O limite será 1. 
 
 
O limite será 14xy. 
 
O limite será 14. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
O limite será 0. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
 
tende a 1 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
tende a zero 
 
 
tende a 9 
 
 
tende a x 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
Tomando o limite da função no caminho (0,y) teremos limy→0f(0,y)=0limy→0f(0,y)=0 
Se tomarmos sobre a reta y = mx, ou seja , f(x, mx) também teremos o limite sendo zero. 
Se tomarmos sobre a parábola x= y2, f(x,y) = (y2 , y) para y diferente de zero teremos limite da função igual a zero. 
O que nos leva a pensar que o limite da função será zero. Para verificar devemos demonstrar usando a definição de limite 
| f(x,y) - 0| = |f(x,y)| = |x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2|x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2 
como x2≤x2+y2x2≤x2+y2 
temos |f(x,y)| ≤|y|≤|y| 
visto que |y|≤√ x2+y2 =||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|||y|≤x2+y2=||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|| 
|f(x,y)|≤||(x,y)|||f(x,y)|≤||(x,y)|| 
|f(x,y)|→0|f(x,y)|→0 quando ||(x,y)||→0||(x,y)||→0 
Portanto podemos afirmar que o limite da função será zero. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
 
 
 
O limite será 5x 
 
 
O limite será 8xy. 
 
 
O limite será 5. 
 
 
O limite será 8. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
8. 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
 
uma parábola passando na origem. 
 
 
 
 
 
um ponto na origem 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y)tende a (0,0). 
 
 
 
O limite não existe 
 
 
O limite existe e tem valor 4 
 
 
O limite existe e tem valor 5 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
O limite existe e tem valor zero 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
O limite nao existe pois ao tomar o limite da função por dois caminhos encontramos resultados diferentes. 
Observe: 
Limx→0f(x,0)=−1Limx→0f(x,0)=−1 
Limy→0f(0,y)=1Limy→0f(0,y)=1 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
3 
 
 
7/9 
 
 
3/6 
 
 
5/6 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
{(x,y) Î Â3| x+y ≥ - 2} 
 
{(x,y) Î Â2| x+y ≥ 2} 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
{(x,y) Î Â2| x+y2 ≥ 2} 
 
 {(x,y) Î Â2| x+y = 2} 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
O limite será 14xy. 
 
 
O limite será xy. 
 
 
O limite será 1. 
 
 
O limite será 0. 
 
O limite será 14. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
tende a zero 
 
 
tende a x 
 
 
tende a 9 
 
tende a 1 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
Tomando o limite da função no caminho (0,y) teremos limy→0f(0,y)=0limy→0f(0,y)=0 
Se tomarmos sobre a reta y = mx, ou seja , f(x, mx) também teremos o limite sendo zero. 
Se tomarmos sobre a parábola x= y2, f(x,y) = (y2 , y) para y diferente de zero teremos limite da função igual a zero. 
O que nos leva a pensar que o limite da função será zero. Para verificar devemos demonstrar usando a definição de limite 
| f(x,y) - 0| = |f(x,y)| = |x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2|x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
como x2≤x2+y2x2≤x2+y2 
temos |f(x,y)| ≤|y|≤|y| 
visto que |y|≤√ x2+y2 =||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|||y|≤x2+y2=||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|| 
|f(x,y)|≤||(x,y)|||f(x,y)|≤||(x,y)|| 
|f(x,y)|→0|f(x,y)|→0 quando ||(x,y)||→0||(x,y)||→0 
Portanto podemos afirmar que o limite da função será zero. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será 8xy. 
 
 
O limite será 8. 
 
 
O limite será 5x 
 
 
O limite será 5. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
um ponto na origem 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
uma parábola passando na origem. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
O limite existe e tem valor 4 
 
O limite não existe 
 
 
O limite existe e tem valor zero 
 
 
O limite existe e tem valor 5 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
O limite nao existe pois ao tomar o limite da função por dois caminhos encontramos resultados diferentes. 
Observe: 
Limx→0f(x,0)=−1Limx→0f(x,0)=−1 
Limy→0f(0,y)=1Limy→0f(0,y)=1 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
3 
 
 
3/6 
 
 
7/9 
 
 
5/6 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
 {(x,y) Î Â2| x+y = 2} 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
{(x,y) Î Â3| x+y ≥ - 2} 
 
{(x,y) Î Â2| x+y ≥ 2} 
 
{(x,y) Î Â2| x+y2 ≥ 2} 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
4. 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será xy. 
 
 
O limite será 1. 
 
 
O limite será 14. 
 
 
O limite será 14xy. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
 
tende a x 
 
 
tende a 1 
 
 
tende a zero 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
tende a 9 
 
 
 
Explicação: 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
Tomando o limite da função no caminho (0,y) teremos limy→0f(0,y)=0limy→0f(0,y)=0 
Se tomarmos sobre a reta y = mx, ou seja , f(x, mx) também teremos o limite sendo zero. 
Se tomarmos sobre a parábola x= y2, f(x,y) = (y2 , y) para y diferente de zero teremos limite da função igual a zero. 
O que nos leva a pensar que o limite da função será zero. Para verificar devemos demonstrar usando a definição de limite 
| f(x,y) - 0| = |f(x,y)| = |x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2|x2yx2+y2|=x2|y|x2+y2 
como x2≤x2+y2x2≤x2+y2 
temos |f(x,y)| ≤|y|≤|y| 
visto que |y|≤√ x2+y2 =||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|||y|≤x2+y2=||(x,y)−(0,0)||=||(x,y)|| 
|f(x,y)|≤||(x,y)|||f(x,y)|≤||(x,y)|| 
|f(x,y)|→0|f(x,y)|→0 quando ||(x,y)||→0||(x,y)||→0 
Portanto podemos afirmar que o limite da função será zero. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
 
 
O limite será 5. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
O limite será 5x 
 
 
O limite será 8xy. 
 
 
O limite será 8. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8Lim(x,y)→(1,1)5∗1∗1+3∗12=8 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
 
um ponto na origem 
 
 
 
 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
uma parábola passando na origem. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = 
 
 
 
fxx = ex fxy = 4e2 
 
 
 fxx = ex -1 fxy = 4e2 
 
 
fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 
 
 
fxx= 4 x 2 - 2 
fxy = 4 xy 
 
 
 
fxx = - 4xy + 
fxy = x2 + 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
Explicação: 
 
 
Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. 
fx = vezes (-2x) 
fy = vezes (-2y) 
fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) 
fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) 
fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). 
 
 
 
O limite será 3. 
 
 
O limite será 7. 
 
 
O limite será 2. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será 9. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
fx = 2y e fy = 2x 
 
 
fx = 2x e fy = 2xy 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4x 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
derivando em relacao a x a funcao f(x,y): fx = 2y 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
e 
derivando em relacao a y a funcao f(x,y) : fy = 2x - 4 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se 
f(x,y) é harmônica. 
 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
 
A função não é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se 
f(x,y) é harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dos dois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
 
o Limite será 0. 
 
 
o Limite será 1. 
 
 
o Limite será 5. 
 
 
o Limite será 9. 
 
 
o Limite será 12. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do 
trem 
 
 
 
 
v(t) =30 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
v(t) = 1 
 
 
v(t) = 50 
 
 
v(t) = 20 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
podemos afirmar que: 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
 
 
1. 
 
 
F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y) Î R2 , tais que: 
 
 
Df={ (x,y) Î R2/ x < y } 
 
Df={ (x,y) Î R2/ x ¹ y } 
 
 
Df={ (x,y) Î R2/ x = y } 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Df={ (x,y) Î R2/ x >y } 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
2. 
 
 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
 
 
 
fx = 2x e fy = 2xy 
 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4x 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4 
 
 
fx = 2y e fy = 2x 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
derivando em relacao a x a funcao f(x,y): fx = 2y 
e 
derivando em relacao a y a funcao f(x,y) : fy = 2x - 4 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do 
trem 
 
 
 
v(t) = 50 
 
 
v(t) = 20 
 
v(t) = 1 
 
 
v(t) =30 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). 
 
 
 
O limite será 7. 
 
 
O limite será 9. 
 
O limite será 2. 
 
 
O limite será 3. 
 
O limite será 0. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
5. 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
podemos afirmar que: 
 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores. 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = 
 
 
fxx = ex fxy = 4e2 
 
 
 fxx = ex -1 fxy = 4e2 
 
 
 
fxx = - 4xy + 
fxy = x2 + 
 
fxx = 4 x 2 - 2 
fxy = 4 xy 
 
 
fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
fx = vezes (-2x) 
fy = vezes (-2y) 
fxx = regra do produto= (-2x) * (-2x) + (-2) 
fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) 
fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se 
f(x,y) é harmônica. 
 
 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função não é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é 
harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dos dois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) 
tende a (-1,2). 
 
 
 
o Limite será 9. 
 
 
o Limite será 0. 
 
 
o Limite será 12. 
 
 
o Limite será 5. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
o Limite será 1. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do 
trem 
 
 
 
 
v(t) = 50 
 
 
v(t) = 1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
v(t) =30 
 
 
v(t) = 20 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). 
 
 
 
O limite será 3. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será 7. 
 
O limite será 2. 
 
O limite será 9. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
podemos afirmar que: 
 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = 
 
 
fxx = - 4xy + 
fxy = x2 + 
 
 
fxx = ex fxy = 4e2 
 
fxx = 4 x 2 - 2 
fxy = 4 xy 
 
 
fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 
 
 
 fxx = ex -1 fxy = 4e2 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. 
fx = vezes (-2x) 
fy = vezes (-2y) 
fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) 
fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) 
fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se 
f(x,y) é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função não é harmônica. 
 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se 
f(x,y) é harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dos dois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
 
 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4x 
 
 
fx = 2x e fy = 2xy 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4 
 
 
fx = 2y e fy = 2x 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a taxa de variação da função f(x,y,z) = xyz + e(2x+y) no ponto P = (-1,2,1) na direção do vetor u =(1,1, √ 2 2 ). 
 
 
√ 3 3 
 
 
√ 2 2 
 
 
2 
 
2 - √ 2 2 
 
 
2 √ 2 2 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('237731','7250','1','3520440','1');
 
 
 
Explicação: 
As derivadas parciais da função 
fx = yz + 2 e2x+y 
fy = xz + e2x+y 
fz = xy 
Aplicando o ponto (-1,2,1) nas derivadas parciais 
∇f(−1,2,1)=(4,0,−2)∇f(−1,2,1)=(4,0,−2) 
∂f∂u(−1,2,1)=∇f(−1,2,1).u||u||=(4,0,−2).(1,1,√ 2 )2=2−√ 2 ∂f∂u(−1,2,1)=∇f(−1,2,1).u||u||=(4,0,−2).(1,1,2)2=2−2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; 
 
 
y = - √ x x - 3 
 
 
√ x x - 1 
 
 
√ x x + 1 
 
 
y = 1 - √ x x 
 
 
y =√ x x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 
 
 
 
2 
 
 
√ 6 6 
 
 
√ 6 6 /12 
 
 
1/2 
 
 
√ 2 2 
 
 
 
Explicação: 
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 
fx = z(−x2+y2+1)(x2+y2+1)2z(−x2+y2+1)(x2+y2+1)2 
fy =−2xyz(x2+y2+1)2−2xyz(x2+y2+1)2 
fz = x(x2+y2+1)2x(x2+y2+1)2 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('1123686','7250','2','3520440','2');
javascript:duvidas('1123692','7250','3','3520440','3');
Como f é diferenciável em P = (1,0,-1) e ∇f(P)=(0,0,1/2)≠0∇f(P)=(0,0,1/2)≠0 
u = (0,0,1/2) e a taxa de maior variação de f em P ||∇f(P)||=12||∇f(P)||=12 
u = σ′(t)=(1,2,1)σ′(t)=(1,2,1) 
∂f∂u(P)=∇f(P)u||u||=(0,0,1/2).(1,2,1,)√ 6 =√ 6 12∂f∂u(P)=∇f(P)u||u||=(0,0,1/2).(1,2,1,)6=612 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u 
= (5, - 2) 
 
 
5/7 
 
11 / (29)(1/2) 
 
 
8 
 
 
12/3 
 
 
2/3