Introdução ao Diagrama de Bode

Prévia do material em texto

Introdução Diagrama de Bode
Aula 8 – Resposta em frequência
Parte 1
ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos
Prof. Fernando Henrique
UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá
1o semestre de 2020
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 1 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Definição
O termo resposta em frequência diz respeito à resposta em regime
permanente de um sistema a uma entrada senoidal.
Uma vantagem dos métodos baseados na resposta em frequência
é a de poder-se utilizar dados obtidos diretamente a partir das
medições feitas nos sistemas f́ısicos.
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 2 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Considere o sistema linear, estável, invariante no tempo
Para obter a resposta em frequência, vamos considerar que o
sinal de entrada é dado por
x(t) = X sinωt
Vamos considerar ainda que a função de transferência G(s)
pode ser escrita como uma relação de dois polinômios do tipo
G(s) =
P (s)
Q(s)
=
P (s)
(s+ s1)(s+ s2) · · · (s+ sn)
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 3 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
A transformada de Laplace da sáıda é então
Y (s) = G(s)X(s) = G(s)
Xω
s2 + ω2
Fazendo a expansão em frações parciais, tem-se
Y (s) = G(s)X(s) = G(s)
Xω
s2 + ω2
=
a
s+ jω
+
ā
s− jω
+
b1
s+ s1
+
b2
s+ s2
+ · · ·+ bn
s+ sn
A transformada inversa de Laplace é
y(t) = ae−jωt + āejωt + b1e
−s1t + b2e
−s2t + · · ·+ bne−snt
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 4 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Para um sistema estável, −s1,−s2, · · · ,−sn têm partes reais
negativas. Portanto, conforme t tende a infinito, os termos
e−s1t, e−s2t, · · · , e−snt tendem a zero e a resposta em regime
permanente torna-se
yss(t) = ae
−jωt + āejωt
A constante a pode ser calculada como
a = G(s)
Xω
s2 + ω2
(s+ jω)
∣∣∣∣
s=−jω
= −XG(−jω)
2j
e ā pode ser calculada como
ā = G(s)
Xω
s2 + ω2
(s− jω)
∣∣∣∣
s=jω
=
XG(jω)
2j
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 5 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Como G(jω) é uma grandeza complexa, ela pode ser escrita
como
G(jω) = |G(jω)|ejφ
em que φ = ∠G(jω).
Da mesma maneira
G(−jω) = |G(−jω)|e−jφ = |G(jω)|e−jφ
Assim:
a = −X|G(jω)|e
−jφ
2j
ā =
X|G(jω)|ejφ
2j
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 6 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
A resposta em regime permanente é então dada por
yss(t) = ae
−jωt + āejωt
yss(t) = −
X|G(jω)|e−jφ
2j
e−jωt +
X|G(jω)|ejφ
2j
ejωt
yss(t) =
X|G(jω)|
2j
(ejφejωt − e−jφe−jωt)
yss(t) = X|G(jω)|
ej(ωt+φ) − e−j(ωt+φ)
2j
yss(t) = X|G(jω)| sin(ωt+ φ)
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 7 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Se um sistema estável, linear, invariante no tempo for subme-
tido a uma entrada senoidal, terá, em regime permanente, uma
sáıda senoidal com
Mesma frequência de entrada;
Amplitude dada pelo produto da amplitude da entrada por |G(jω)|;
Ângulo de fase que difere do ângulo de fase da entrada pelo
valor φ = ∠G(jω).
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 8 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Portanto, para entradas senoidais
|G(jω)| =
∣∣∣∣Y (jω)X(jω)
∣∣∣∣ = relação de amplitude entre asáıda senoidal e a entrada senoidal
∠G(jω) = ∠
Y (jω)
X(jω)
=
defasagem da sáıda senoidal com
relação à entrada senoidal
Como consequência, a resposta em regime permanente de um
sistema a uma entrada senoidal pode ser obtida diretamente a
partir de
G(jω) =
Y (jω)
X(jω)
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 9 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um sistema cuja função de trans-
ferência é G(s) é dada por
G(jω) = G(s)|s→jω
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 10 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Introdução
Exemplo:
Considere o sistema descrito pela função de transferência
G(s) =
K
Ts+ 1
Sua resposta em frequência pode ser encontrada fazendo
G(jω) =
K
Tjω + 1
Em termos de módulo e fase:
|G(jω)| = K√
1 + T 2ω2
∠G(jω) = − tan−1(Tω)
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 11 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Um diagrama de Bode é constitúıdo de dois gráficos: um é
o gráfico do módulo em dB e o outro é o gráfico do ângulo
de fase, ambos traçados em relação à frequência em escala
logaŕıtmica.
AdB = 20 log10A
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 12 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 13 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
Considerando que um sistema tem a resposta em frequência repre-
sentada no Diagrama de Bode do slide a seguir, encontre qual é
a sáıda em regime permanente quando na entrada desse sistema é
aplicado um sinal descrito por
x(t) = 15sen(6t+ 30o) .
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 14 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 15 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O filtro com a resposta em frequência abaixo pode ser classificado como passa-
baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 16 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O filtro com a resposta em frequência abaixo pode ser classificado como passa-
baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 17 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O filtro com a resposta em frequência abaixo pode ser classificado como passa-
baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 18 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O filtro com a resposta em frequência abaixo pode ser classificado como passa-
baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 19 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O sistema com a resposta em frequência abaixo tem caracteŕıstica de avanço
ou atraso de fase?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 20 / 21
Introdução Diagrama de Bode
Exemplos
O sistema com a resposta em frequência abaixo tem caracteŕıstica de avanço
ou atraso de fase?
Prof. Fernando H. D. Guaracy ECAC01A – Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos 21 / 21
	Introdução
	Diagrama de Bode