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Teorema de Castigliano Engenharia Mecânica Segundo Teorema de Castigliano Descrito por Alberto Castigliano em livro publicado em 1879. Método para determinar o deslocamento e a inclinação em um ponto em um corpo. Aplica-se somente a corpos que tenham: • Temperatura constante • Material com comportamento linear elástico. O deslocamento em um ponto é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação no corpo em relação a uma força que age no ponto e na direção do deslocamento. A inclinação da tangente em um ponto em um corpo é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação no corpo com relação a um momento que age no ponto e na direção do ângulo da inclinação. Considere um corpo de forma arbitrária, submetido a uma série de n forças. O trabalho externo realizado por essas forças equivale à energia de deformação interna armazenada 𝑈" = 𝑈$ O trabalho externo é função das cargas externas 𝑈$ =%&𝑃𝑑𝑥 Como 𝑈$ = 𝑈", o trabalho interno também é função das cargas externas. 𝑈" = 𝑈$ = 𝑓(𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0) E, se qualquer uma das forças externas, por exemplo 𝑃2, aumentar de uma quantidade diferencial 𝑑𝑃2 , então o trabalho interno também aumentará 𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" + 𝜕𝑈" 𝜕𝑈56 𝑑𝑃2 Mas esse valor não deve depender da sequência na qual as n forças são aplicadas ao corpo. Se a carga fosse aplicada ao corpo na sequência: 𝑑𝑃2 𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0 𝑑𝑃2 provocaria um deslocamento do corpo 𝑑Δ8 na direção 𝑑𝑃2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈$ = 1 2𝑃2 Δ2 Então o incremento na energia de deformação 𝑑𝑈$ = , . 𝑑𝑃2 𝑑Δ2 Mas, essa quantidade é uma diferencial de segunda ordem e pode ser desprezada. Quando as cargas 𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0 são aplicadas, 𝑑𝑃2 se deslocará Δ> Então, a energia de deformação será: Assim sendo, 𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" + 𝜕𝑈" 𝜕𝑈56 𝑑𝑃2 = 𝑈" + 𝑑𝑃2Δ2 Δ2 = 𝜕𝑈" 𝜕𝑈56 𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" + 𝑑𝑃2Δ2 Ou seja: o deslocamento Δ2 na direção de 𝑃2 é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação em relação a 𝑃2 Teorema de Castigliano aplicado a treliças Como os elementos de uma treliça estão sujeitos a esforços axiais: 𝑈" = 𝑁.𝐿 2𝐴𝐸 Δ =%𝑁 𝜕𝑁 𝜕𝑃 𝐿 𝐴𝐸 Δ = 𝜕 𝜕𝑃% 𝑁.𝐿 2𝐴𝐸 Δ - deslocamento da articulação da treliça P - força externa de intensidade variável aplicada a uma articulação de treliça na direção de Δ. N - força axial interna em um elemento provocada por ambas, a força P e as cargas sobre a treliça L - comprimento de um elemento A - área da seção transversal de um elemento E - módulo de elasticidade do material Para determinar a derivada parcial CD C5 , será necessário tratar P como uma variável, e não como uma quantidade numérica específica. Em outras palavras, cada força axial interna N deve ser expressa em função de P. Obs: Determine o deslocamento vertical da articulação C da treliça de aço mostrada na abaixo. A área da seção transversal de cada elemento é de 400𝑚𝑚.. Considere E=210GPa. Solução 1. Aplicar uma carga P ao ponto onde se deseja calcular o deslocamento 2. As reações nos suportes da treliça em A e D são então calculadas Solução 3. Usando o método dos nós, as forças N em cada membro são calculadas. Os resultados e suas derivadas parciais são listados na tabela: Solução Teorema de Castigliano aplicado a vigas A energia de deformação interna para uma viga é provocada elos esforços de flexão e cisalhamento. Porém, se a viga for longa e esbelta, a energia de deformação decorrente do cisalhamento pode ser desprezada em comparação com a de flexão. Aplicando o segundo teorema de Castigliano: 𝑈" = & 𝑀. 2𝐸𝐼 𝑑𝑥 Teorema de Castigliano aplicado a vigas Δ = & I J 𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑃 𝑑𝑥 𝐸𝐼 Em vez de elevar a expressão ao quadrado para o momento interno M, integrar e então calcular a derivada parcial, em geral é mais fácil derivar antes da integração. Δ - deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que agem sobre a viga P - força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de Δ. M - momento interno na viga, expresso em função de x e provocado por ambas, a força P e as cargas sobre a viga E - módulo de elasticidade do material I - momento de inércia da área da seção transversal, calculado em torno do eixo neutro Caso seja necessário determinar a inclinação da tangente em um ponto sobre a linha elástica, temos que determinar a derivada parcial do momento interno M em relação a um momento externo M' que age no ponto. Finalmente, para um carregamento múltiplo, devem ser combinadas todas as componentes de energia dos esforços Determine o deslocamento no ponto B sobre a viga mostrada na Figura 14.42a. E é constante. A força vertical P é colocada sobre a viga em B A equação do momento interno em função de P e sua derivada parcial são calculados: Igualando P a zero, temos: e Aplicando o segundo teorema de Castigliano: e Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na Figura. Considere E = 200 Gpa , 𝐼 = 125 l 10mn𝑚o Uma força vertical P é aplicada no ponto C. Mais adiante, essa força será igualada ao valor fixo de 5 kN. O momento interno é calculado: Para 𝑥, Para 𝑥. Segundo Teorema de Castigliano Obrigado Leitura Recomendada: Hibbeler cap. 14 Exercícios 14.122 14.125 14.131 14.133 14.151 14.154
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