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Alex Oliveira Cremonezi RA: 058589 
Bruno de Almeida Knoedt RA: 042277 
Daniel Rodrigues de Camargo Júnior RA: 083392 
Diego Barros de Oliveira RA: 042961 
 
Teorema de Castigliano 
 
-Trabalho de uma carga (energia de deformação) 
 
Todos os corpos reais se deformam sob a ação de uma carga, podendo haver, por 
exemplo, torções, compressões, etc. 
Considere uma barra de comprimento L, onde é aplicada uma força P. O trabalho 
exercido por essa força quando a barra sofre uma deflexão, por definição, é dado por: 
dU= P.dx , 
onde dU é a energia de deformação, P é a carga axial aplicada na barra e dx é a 
deformação da barra. Assim, 
 
U = 𝑃.𝑑𝑥 = 𝑃. 𝑥
𝑥
0
 
 
Para o caso de um grande número de cargas aplicadas, o trabalho de deformação 
é medido em cada força, separadamente. Suponha uma barra com P1 e P2 aplicados 
sobre ela. As deflexões que ela sofre devido a cada força é definido da seguinte forma: 
 
- Para P1: 
 
x11 = α11.P1 e x21 = α21.P1, 
onde α é o coeficiente de influência, ou seja, representa as deflexões em cada ponto, 
característico do material. 
 
-Para P2: 
 
x12 = α12.P2 e x22 = α22.P2 
 
Pelo princípio da superposição: 
 
x1 = x11 + x12 = α11.P1 + α12.P2 
x2 = x21 + x22 = α21.P1 + α22.P2 
 
O trabalho em cada ponto referente a cada força será: 
 
U11 = 
1
2
 .𝑃1 . 𝑥11 = 
1
2
.𝑃1 . (𝛼11 .𝑃1) = 
1
2
.𝛼11 .𝑃1
2 
 
U22 = 
1
2
 .𝑃2 . 𝑥22 = 
1
2
.𝑃2 . (𝛼22 .𝑃2) = 
1
2
.𝛼22 .𝑃2
2 
 
U12 = 
1
2
 .𝑃1 . 𝑥12 = 
1
2
.𝑃1 . (𝛼12 .𝑃2) = 
1
2
.𝛼12 .𝑃1 .𝑃2 = U21 
 
U12 = U21, pois α12=α21 devido ao teorema da reciprocidade, que diz que “a deflexão 
produzida em C1 por uma força unitária aplicada em C2 é igual à deflexão produzida 
em C2 por uma força unitária aplicada em C1”. 
Portanto, o trabalho total na barra é: 
 
U = 
1
2
.( 𝛼11 .𝑃1
2 + 2𝛼12 .𝑃1 .𝑃2 + 𝛼22 .𝑃2
2) 
- Teorema de Castigliano 
 
"A derivada parcial do trabalho das forças internas em relação a uma força atuante 
fornece o deslocamento corresponde à força considerada na direção de ação da força 
em questão." 
Esse teorema é expresso da seguinte forma: 
 
𝑥 = 
𝜕𝑈
𝜕𝑃
 
 
Para provar este teorema, usemos o exemplo anterior. Assim: 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑃1
 = α11.P1 + α12.P2 = x1 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑃2
 = α12.P1 + α22.P2 = x2 
 
O Teorema de Castigliano pode ser usado na determinação das reações de apoio 
de estruturas estaticamente indeterminadas e em qualquer tipo de deformação. 
 
Exemplo: Considere uma viga AB, sobre a qual está sendo aplicada uma carga 
uniforme w e uma força P em seu extremo. Sendo O comprimento da viga de 2m, w = 
4 kN/m, P = 6 kN e E.I = 5 MN.m2, determinar a flecha (deflexão linear) no ponto A. 
 
 w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
𝛿A = 
𝜕𝑈
𝜕𝑃
 = 
𝜕𝑈
𝜕𝑀
.
𝜕𝑀
𝜕𝑃
 = 
𝑀
𝐸 .𝐼
𝐿
0
 . 
𝜕𝑀
𝜕𝑃
.dx 
 
O momento fletor M é: M = -(P.x + 
1
2
.w.x2) 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑀
= −𝑥 
 
Assim, 𝛿A = 
1
𝐸.𝐼
 . 𝑃. 𝑥2 +
1
2
.𝑤. 𝑥3 . 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
 𝛿A = 
1
𝐸.𝐼
 
𝑃.𝐿3
3
+
𝑤 .𝐿4
8
 
 
Substituindo os valores dados no exercício, temos que: 𝛿A = 4,8mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
 
Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., Resistência dos Materiais, Makron Books, 1989. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano 
 
http://www.professores.uff.br/duran/disciplinas/slides_deflexoes.pdf