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Transformações Geométricas 
no Plano
Transformação 
Translação
No plano (x, y) quantidades inteiras são 
adicionadas coordenadas. do plano
Transformação de Translação
Exemplo de Transformação de Translação
• Considere a figura do slide anterior: poder-se ia perguntar se para A = (4,5) 
e A’=(7,1), B = (7,5) pede-se calcular B’
• Tem-se que:
A = A´ + T
Tx = 7-4 = 3
Ty= 1 – 5 = -4
Portanto se B = (7,5)
B’ = (7+ 3, 5-4)
B= (10, 1)
Transformação em Escala
Transformação de escala - exemplo
• Considere a figura do slide anterior. Seja A = (4,5) e B= (7,5). Se após a 
aplicação de transformação de escala, se obtiver A’=(2,5/4, quais serão as 
coordenadas de B’?
• Tem-se que:
• 2=sx*4, portanto sx=2/4 =1/2
• 5/4 = sy*5, portanto sy = ¼
• Portanto, para B=(7,5), tem-se:
• xB’ = 7 * ½= 7/2
• yB’ = 5 * ¼ = 5/4
Transformação de Rotação
x
y
P(x,y)
Transformação de Rotação
Transformação de Rotação
Transformação de Rotação
Transformação de Rotação exemplo: 450
Exemplo: rotação de 450
• Para P = (5,2) tem-se:
• X’ = x*cos- ysen
• X’ = 5*0,705-2*0,705 =3*0,705= 2,1
• Y’= x*sem  + y*cos 
• Y’ = 5*0,705 + 2 * 0,705 = 4,9
Rotação em torno de um ponto diferente da 
origem
• Considere o ponto P = (5,2) e o ponto A = (9,2). Deseja-se de fazer a 
rotação do ponto P em torno de A, em vez da origem. Tem-se:
• Tornar A, origem, ou seja A deve sofrer uma transformação de 
translação para o ponto A’ = (0,0). 
• Para tanto, a figura deve fazer um movimento de translação, com Tx e 
Ty , conforme se segue:
• Tx = 0-9=-9
• Ty= 0-2=-2
Rotação torno de um ponto diferente da 
origem
• P também sofre o movimento de translação; Tem-se:
• Cálculo de P’ = (5,2) +(-9, -2) = (-4,0)
• Deve-se aplicar sobre P’ a transformação de rotação. Calcula-se, P’’
• Para P’ = (-4,0), tem-se os seguintes valores após a rotação de 450
• xP’’ = x*cos- ysen
• xP’’ = -4*0,705-0*0,705 =-2,82
• YP’’ = x*sen  + y*cos 
• YP’’ = -4*0,705 + 0 * 0,705 = -2,82
Translação Corretiva, após a rotação:
• Como antes da rotação, houve uma translação, agora deve-se aplicar 
uma translação corretiva.
• xP’’’= -2,82 + 9 =8,18
• Yp’’’ = -2,82 + 2 =-0,82
• P’’’ = (8,18; -0,82).
• Naturalmente, as coordenadas do pixel , deverão ser arredondadas:
• P’’’=(8,0).
Referência
• Traina, A. J. M.; Oliveira, M. C,. F. Apostila de Computação Gráfica
ICMC-USP, 2006.