ATIVIDADE 4 (A4) GRA1583 LABORATORIO DE MATEMATICA E FISICA

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Usuário MATEUS DE MACEDO LIMA
Curso GRA1583 LABORATORIO DE MATEMATICA E FISICA ENGCI201 - 202010.ead-1956.04
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 27/05/20 22:36
Enviado 28/05/20 22:18
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 23 horas, 42 minutos
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Pergunta 1
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resposta:
Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto  está relacionado ao volume
do paralelepípedo de�nido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um
espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles de�nem os vetores  = (1, -1, 1),
  = (1, -3, -1),  = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
Resposta correta. Justi�cativa: Pelo cálculo do produto misto  X = 0.
Então, o volume do paralelepípedo de�nido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os
vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer
vetores de�nidos por eles também serão coplanares.
Pergunta 2
Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da velocidade seja constante). O
deslocamento ocorre em torno da origem O de um sistema de coordenadas cartesiano. O vetor   = (r x , r y )
indica a posição de P, e A, B, C e D são quatro pontos da trajetória que coincidem com os eixos x ou y. O
ponto E da trajetória coincide com a bissetriz do quarto quadrante).
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Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem os maiores módulos.
II. (  ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade possuem os menores
módulos.
III. (  ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y 
do vetor posição possuem o mesmo  módulo.
IV. (  ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo módulo. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: Sendo , , a componente
vertical possui valor máximo para  ou  que coincide com
B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui componente vertical e a componente horizontal
é zero. Na posição E, as projeções do vetor posição são as mesmas nas direções horizontal e
vertical, porque . E, em um MCU, a aceleração possui módulo constante com o vetor
sempre orientado para o centro.
Pergunta 3
Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é
origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo  = 1 m/s,
inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m
de , horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1.
 
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Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) A posição da partícula 1 pode ser de�nida por: 
II. (  ) A posição da partícula 2 pode ser de�nida por: 
III. (  ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si.
IV. (  ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. Justi�cativa: Para a partícula 1,  com  .
Logo, . Para a partícula 2,  e
. Como não existe um momento t no qual
 as partículas nunca se chocam. Para   
 s. Para ⇒ s. Ou seja, a passagem da
partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma
coordenada.
Pergunta 4
Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço e é
uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que identi�cam uma mesma medida de
temperatura. Considere o mapa do Rio Grande do Sul que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de
previsão do tempo. Ele registra as isotermas, em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia.
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Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identi�cados de I a V, apresenta o maior gradiente de temperatura naquele
momento? Assinale a alternativa correta.
I.
I.
Resposta correta. Justi�cativa: No trajeto I do território, a variação da temperatura é maior em
uma distância linear relativamente pequena quando comparada aos demais trechos. Então, o
gradiente de temperatura é o mais alto.  No trajeto II, por exemplo, a variação de temperatura é
a mesma que em I, mas a distância territorial é maior. Portanto, o gradiente em II é menor do
que em I.
Pergunta 5
Resposta
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No cálculo vetorial, a função gradiente é de�nida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por
unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é de�nido por
 , em que ,  e  são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo
unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identi�cados com as direções dos eixos cartesianos x,
y e z.
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
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Resposta correta. Justi�cativa: Esta é a própria de�nição de uma grandeza vetorial. A função
 identi�ca o módulo, a direção e o sentido em que a função
escalar  apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em um dado
ponto de coordenadas .
Pergunta 6
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resposta:
Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar rotações é denominada
torque. Matematicamente, é de�nida  em que  é a posição de aplicação da força  em
relação ao eixo de rotação. Suponha a situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do
eixo x, é aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e a assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsas. 
I. Nessa situação, o módulo do torque é .
II. Uma dasunidades de medida do vetor  é m.N.
III. O vetor  é ortogonal, simultaneamente, a  e a .
IV. A orientação de  coincide com a do vetor  no eixo z.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: , porque X. Em relação às
unidades de medidas, [ ] = [ ] ⇒  [ ] =  = = [L] [F], que é o produto de um
comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x Newton ou m.N. O vetor resultado de
um produto vetorial é ortogonal aos dois vetores multiplicadores. Pelos cálculos anteriores,
, a direção do vetor torque é na direção do eixo z, mas com sentido oposto ao do
vetor .
Pergunta 7
Suponha que o vetor posição de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função do
1 em 1 pontos
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tempo, pela expressão . Os vetores ,  e  possuem módulo
unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é .
III. A posição inicial da partícula é  .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: .
 ⇒
. . Na direção z, o
movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou
senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano
XY.
Pergunta 8
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Em um plano, a posição de um ponto P pode ser de�nida por meio de um par ordenado de valores do tipo (x,
y) em um sistema de coordenadas cartesianas. Outra possibilidade é determinar a posição do ponto P pela
distância r em relação à origem O e pelo ângulo  que a reta que une a origem O ao ponto P de�ne com um
dos eixos cartesianos. Essa representação, expressa ( , ), é denominada coordenadas polares.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir das descrições apresentadas, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F
para a(s) falsa(s).
I. (  ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) .
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: Todas as relações de conversão entre os dois sistemas de
coordenadas podem ser deduzidas a partir de relações trigonométricas no triângulo OxP:
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resposta: , ,  e
.
Pergunta 9
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resposta:
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa �gura, há um losango de vértices E, F, G e H,
sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das
diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por
 .
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  )    .
II. (  )   // 
III. (  )  .  
IV. (  )   .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. Justi�cativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si, necessitam
possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetores   e  possuem sentidos
opostos, então são vetores distintos e a equivalência  está incorreta.
Pergunta 10
Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de coordenadas (x,
y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de
forças F:  de�nido por .
 
Considere as �guras a seguir:
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Quinta-feira, 28 de Maio de 2020 22h18min19s BRT
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Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
IV.
IV.
Resposta correta. Justi�cativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da
distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja,  pois  =
, em que d é o valor da distância do ponto (x, y),
em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para qualquer coordenada (x, y), a
orientação do campo de forças F é anti-horário.
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