Centro de Gravidade e Centróide

Prévia do material em texto

Professora: Priscila Mayana
priscilamayana@hotmail.com
Centro de gravidade e Centróide
Aula 6
Centro de gravidade e centro de massa de um sistema de pontos 
materiais:
• Centro de gravidade
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais. A soma dos momentos dos pesos de todos os 
pontos materiais em relação aos eixos x,y,z é igual ao momento do peso 
resultante em relação a esses eixos. Para determinar a coordenada 𝑥 de G, podemos somar os 
momentos em relação ao eixo y:
Efetuando o somatório dos momentos em relação ao eixo
x obtemos a coordenada 𝑦, é:
Podemos obter a coordenada 𝑧, fazendo um giro de 90° em 
torno do eixo x (ou y). Efetuando o somatório dos momentos 
em relação ao eixo x, temos:
Generalizando essas fórmulas, podemos escrever:
𝑊 = 𝑚.𝑔
• Centro de massa: Para o estudo de problemas que dizem respeito ao 
movimento da matéria sob a influência de forças, isto é, problemas de 
dinâmicas, é necessário localizar um ponto denominado centro de massa.
• Como a aceleração da gravidade 𝑔 para cada ponto material é constante, 
então . Substituindo nas equações anteriores e cancelando 𝑔 no 
numerador e no denominador, obtemos:
Comparando, percebe-se que a localização do centro de gravidade coincide com 
a localização do centro de massa. Lembre-se: pontos materiais têm peso apenas 
quando estão sob a influência da atração gravitacional, enquanto o centro de 
massa é independente da gravidade.
𝑊 = 𝑚.𝑔
Centro de gravidade, centro de massa e Centróide de um 
corpo:
• Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas. Assim, 
torna-se necessário usar a operação de integração, em vez de somatórios de 
termos (natureza discreta). 
• Considerando a partícula arbitrária localizada em ( 𝑥, 𝑦, 𝑧), com peso 𝑑𝑊, as 
equações resultantes são:
• O peso infinitesimal 𝑑𝑊 deve ser expresso em função do volume 
associado 𝑑𝑉. 
• Se 𝛾 representa o peso específico do corpo, medido como o peso por 
unidade de volume, então: 𝒅𝑾 = 𝜸𝒅𝑽.
Portanto:
• Centro de massa:
A densidade 𝜌 ou massa por unidade de volume, se relaciona com 𝛾 pela 
equação 𝜸 = 𝝆𝒈, onde 𝑔 é a aceleração gravitacional. Dessa forma, podemos 
utilizar a equação anterior em função da densidade, com 𝝆 no lugar do 𝜸 para 
determinar o centro de massa do corpo.
• Centróide:
O centroide C é um ponto que define o centro geométrico de um objeto. Sua 
localização pode ser determinada a partir de fórmulas semelhantes àquelas 
utilizadas para obter o centro de gravidade ou o centro de massa de um corpo. 
Material uniforme (homogêneo): densidade ou peso específico constante -> 
este termo sai da integração e será cancelado nos numeradores e 
denominadores das equações. 
Assim, as fórmulas resultantes definem o centroide de um corpo, pois são 
independentes do peso dele, dependendo apenas da sua geometria.
Três casos específicos serão considerados para Centróides:
1. Volume
Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV, a 
localização do centroide 𝐶( 𝑥, 𝑦, 𝑧) para o volume do objeto pode ser 
determinado pelo cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais em 
relação a cada eixo de coordenadas.
2. Área
O centroide para a área da superfície de um objeto, como uma placa ou uma 
concha, pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em elementos de 
áreas infinitesimais dA e calculando-se os momentos dessas áreas 
elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é:
3. Linha
Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de 
um fio, o cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a 
cada um dos eixos de coordenadas fornece
Simetria
• Os centroides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou 
completamente especificados por meio das condições de simetria. Nos casos 
em que a forma geométrica tem um eixo de simetria, o centroide dela ficará 
sobre esse eixo.
• Exemplo: o centroide C para a linha mostrada na figura abaixo deve ser 
escolhido sobre o eixo y, uma vez que para cada elemento infinitesimal de 
comprimento dL à distância + 𝑥 à direita do eixo de simetria y existe um 
elemento idêntico à distância - 𝑥 à esquerda. O momento total para todos os 
elementos em relação ao eixo de simetria será nulo, isto é, 𝑥𝑑𝐿 = 0, logo 
 𝑥 = 0.
Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o 
centroide se localizará na interseção desses eixos: