AVALIAÇÃO FINAL_Objetiva e Discursiva_Cálculo Numérico_Uniasselvi_30_05_2020

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AVALIAÇÃO FINAL – OBJETIVA E DISCURSSIVA – FLEX UNIASSELVI – 
30/05/2020 
 
OBJETIVA 
01) – Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução 
aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, 
e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma 
solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o 
método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser 
implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Com 
base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um 
arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 
2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton: 
 
 
 
 
a) x = 0,505 e y = 0,125 
b) x = 0,492 e y = 0,121 
c) x = 0,5 e y = 0,1 
d) x = 0,495 e y = 0,124 
 
02) – A linguagem computacional é uma das principais aplicações dos números binários, 
como no conjunto dos números decimais podemos definir operações de soma, subtração, 
multiplicação e divisão no conjunto dos números binários. Lembre-se de que os números 
binários têm base 2, portanto dois algarismos 0 e 1 e, logo temos as seguintes igualdades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) F - V - V - F. 
b) V - F - F - F. 
c) F - V - V - V. 
d) F - F - V - F. 
 
03) – Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-
comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é 
que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o 
polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E, ainda, se todos os coeficientes 
do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz 
também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio: 
 
 
 
 
 
a) a = - 1 
b) a = 0 
c) a = - 2 
d) a = 2 
 
04) – Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para 
determinar o prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um 
método numérico. O professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que um 
financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma taxa de 2% 
ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse 
financiamento. Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu usar o 
Método da Bissecção para encontrar o prazo. Luiz fez as seguintes anotações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 53,75 e 54,375. 
b) 52,5 e 53,75. 
c) 55 e 52,5. 
d) 53,75 e 54,0625. 
 
05) – Quando se torna inviável resolver uma equação diferencial ordinária, lançamos mão 
dos métodos numéricos para encontrar uma aproximação f a esta solução y. O método de 
Euler é um destes métodos numéricos. Neste contexto, considere a EDO dada por y' = - 
y + x definida no intervalo [0; 1,2] tal que y(0) = 1,5. Tomando h = 0,3, a equação de 
iteração é: 
 
 
 
 
 
a) Somente a opção II está correta. 
b) Somente a opção III está correta. 
c) Somente a opção IV está correta. 
d) Somente a opção I está correta. 
 
06) – Usando a segunda lei do movimento de Newton, podemos determinar a velocidade 
de uma partícula de massa m (m é constante) que foi projetada verticalmente através da 
equação diferencial y' = - g - ky, onde y = y(t) é a velocidade da partícula que depende do 
tempo t, g é a gravidade (constante) e k é uma constante que depende da resistência do 
ar, vamos assumir que k = 1. Usando o Método de Euler Modificado, podemos encontrar 
a solução numérica do PVI: 
 
 
 
 
a) 10,237. 
b) - 9,8. 
c) 2,406. 
d) 20. 
 
07) – Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema 
linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, 
igualmente finito, de variáveis. Sobre sistemas lineares, estudamos em Álgebra Linear 
um método de resolução, e agora aprendemos mais algumas formas de encontrar sua 
solução. Com relação a este assunto, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Método Iterativo. 
II- Método Direto. 
 
( ) Fatoração LU. 
( ) Método de Jordan. 
( ) Método de Gauss-Siedel. 
( ) Método de Cramer. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) II - II - I - II. 
b) II - I - II - I. 
c) I - II - I - I. 
d) I - II - II - I. 
 
08) – É sabido que à medida que o material radioativo emite partícula sua massa diminui. 
Em um laboratório, os cientistas estão medindo essa variação da massa do material 
radioativo com relação ao tempo. Supondo que os dados obtidos são os da Tabela 1, qual 
a função que melhor aproxima os pontos da tabela se usarmos o método da regressão 
linear? 
 
 
 
 
 
a) f(x) = - 0,61 x + 4,15 
b) f(x) = 0,61 x + 1,1 
c) f(x) = 0,61 + 1,1 x 
d) f(x) = - 0,61 + 4,15 x 
 
09) – A fórmula Taylor é um recurso matemático usado para aproximar localmente uma 
função por um polinômio. Como os polinômios são funções bem-comportadas e com 
muitas propriedades, o erro ocorrido na aproximação é muitas vezes superado com todos 
os benefícios que temos ao trabalhar com polinômios. Por isso, é muito comum usarmos 
o polinômio de Taylor para resolvermos equações diferenciais e outros problemas 
numéricos. Um dos Métodos que usam fórmula de Taylor é o método de Runge-Kutta 
para EDO. Sobre a solução numérica (usando o método de Runge-Kutta) para o problema 
de valor inicial, analise as opções na imagem a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Somente a opção III está correta. 
b) Somente a opção I está correta. 
c) Somente a opção IV está correta. 
d) Somente a opção II está correta. 
 
10) – Quando efetuamos a análise de um Sistema de Equações Lineares, deparamos com 
situações diversas, as quais se classificam em: possível e determinado, possível e 
indeterminado, indeterminado, convergente ou divergente. Para verificar se um Sistema 
de Equações Lineares é Convergente ou Divergente, existem dois critérios. O primeiro se 
chama Critério de Linhas, que diz o seguinte: para cada linha k da matriz de coeficientes 
de um sistema, considere a soma dos elementos desta linha em seus valores absolutos 
com exceção do valor que pertence à diagonal principal, tendo em vista que esse valor irá 
dividir a soma. Realizando este processo para todas as linhas, é necessário verificar se o 
maior deles é menor do que a unidade. Se for, a sequência de elementos que 
encontraremos no processo de iteração converge para a solução do sistema. O segundo 
critério recebe o nome Sassenfeld, ou seja, Gauss-Seidel, que também gera uma sequência 
(x^k) convergente para a solução do sistema, independentemente da escolha da 
aproximação inicial xº. Além disso, quanto menor for o valor adotado para B, mais rápida 
será a convergência. Considerando o critério de linhas, método de Jacobi e ao mesmo 
tempo, o método de Gauss-Seidel, critério de Sassenfeld, verifique se a solução do 
sistema linear dado pelas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida. 
b) O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo. 
c) O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
d) O sistema não satisfaz o critério das linhas, mas, no entanto, satisfaz o critério de 
Sassenfeld; portanto, a convergência está garantida. 
 
 
11) – (ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui 
para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e 
caráter instrumental - pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento -, mas deve 
ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas.OCNEM 
(com adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve 
observar que: 
a) o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de 
equações algébricas. 
b) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções. 
c) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto. 
d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento 
populacional. 
 
12) – (ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e 
borracha, de um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro 
comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu 
duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, 
quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem 
verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir 
das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da 
caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares 
cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é: 
a) possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do 
lápis e da borracha. 
b) possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis 
e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00. 
c) impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução. 
d) possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUBJETIVA 
01) – Um método de resolução direto em Análise Numérica é um método que, após finitas 
operações aritméticas, fornece uma solução exata do problema. Um desses métodos 
diretos é a Regra de Cramer, usada para resolver sistema lineares. Esse método é muito 
eficiente para resolver sistemas lineares possíveis e determinados, ou seja que tenham 
apenas uma solução, já que usa determinante para encontrá-la. Usando o Método de 
Cramer, resolva o sistema linear abaixo, apresentando todos os cálculos para justificar 
sua resposta. ( * Máximo 1000 caracteres ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
det 𝐴 = |
1 1 1
1
2
1 −2
3 −2
| |
1 1
1
2
1
3
| → det 𝐴 = 3 
 
det 𝐷𝑥 = |
6 1 1
−3
0
1 −2
3 −2
| |
6 1
−3
−0
1
3
| → det 𝐷𝑥 = 9 
 
det 𝐷𝑦 = |
1 6 1
1
2
−3 −2
0 −2
| |
6 1
−3
−0
1
3
| → det 𝐷𝑦 = 0 
 
det 𝐷𝑧 = |
1 1 6
1
2
1 −3
3 0
| |
1 1
1
2
1
3
| → det 𝐷𝑧 = 9 
 
𝑥 =
det 𝐷𝑥
det 𝐴
= 
9
3
= 3 
 
𝑦 =
det 𝐷𝑦
det 𝐴
= 
0
3
= 0 
 
𝑧 =
det 𝐷𝑧
det 𝐴
= 
9
3
= 3 
 
Conjunto Solução: (3, 0, 3) 
 
02) – Existem vários métodos de integração numérica, entre eles a Regra 1/3 de Simpson. 
Supondo n = 6, utilize este método para calcular ( * Máximo 1000 caracteres ) 
 
 
 
 
Sendo n = 6, temos que h=3-0/6, logo h=0,5. 
Então temos que calcular f para os pontos ( 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 e 3,0) 
f(x) = (x+1)^3 → f(0) = 1; f(0,5) = 3,375; f(1,0) = 8; f(1,5) = 15,625; f(2,0) = 27; f(2,5) = 42,875; 
f(3,0) = 64 
 
Aplicando na fórmula da integral dada o método 1/3 de Simpson, 
∫ (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
3
0
 = 0,5/3 * (f(0) +4*f(0,5) + 2* f(1,0)+ 4*f(1,5)+ 2* f(2,0)+ 4*f(2,5) + f(3,0) ) = 
 = 0,5/3*(1+13,5+16+62,5+54+171,5+64) 
 = 63,75