Lista regressão linear simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
INSTITUTO DE CIÊNCIA DA SOCIEDADE E DESENVOLVIMENTO REGIONAL 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS 
 
ECONOMETRIA – O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
 
Questão 1 – De uma amostra de 200 pares de observações, foram calculadas as 
seguintes quantidades: 
∑ 𝑋 = 11,34 ∑ 𝑌 = 20,72 ∑ 𝑋2 = 12,16 ∑ 𝑌2 = 84,96 ∑ 𝑋𝑌 = 22,13 
Estime a regressão �̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑋 
 
 
Solução: 
 
𝛽2̂ =
𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 . ∑ 𝑌
𝑛. ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑋)2
= 
200(22,13) − (11,43). (20,72)
200(12,16) − (11,34)2
= 
= 
4.426 − 234,9648
2.432 − 128,5956
= 
4.191,0352
2.303, 4044
= 1,8195 
 
 𝛽1̂ = �̅� − 𝛽2̂�̅�  𝛽1̂ = 0,1036 − (1,819496). (0,0567) ≅ 0,0004 
 
�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑋 → �̂� = 0,0004 + 1,819496 
 
 
 
 
 
2 
 
Questão 2 – A seguir são fornecidos os dados para o PIB do país ABC. Monte o 
modelo de crescimento (constante) do PIB entre os anos de 1991 (X=1) a 2000 (X=10). 
a) Calcule o coeficiente de determinação; 
Obs Y X XY X2 y2 
1 32 1 32 1 1024 
2 44 2 88 4 1936 
3 53 3 159 9 2809 
4 68 4 272 16 4624 
5 73 5 365 25 5329 
6 89 6 534 36 7921 
7 102 7 714 49 10404 
8 115 8 920 64 13225 
9 127 9 1143 81 16129 
10 134 10 1340 100 17956 
TOTAL 837 55 5567 385 81357 
 
 
O coeficiente de determinação, r
2
, pode ser calculado utilizando umas das duas fórmulas 
que seguem: 
 
1º CÁLCULO 
𝑟2 = [
𝑐𝑜𝑣(𝑋𝑌)
𝐷𝑃(𝑋). 𝐷𝑃(𝑌)
]
2
= [
𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 . ∑ 𝑌
√𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑋)2 . √𝑛 ∑ 𝑌2 − (∑ 𝑌)2 
]
2
= [
10(5.567) − (55). (837)
√10(385) − (55)2 . √10(81.357) − (837)2 
]
2
= [
55.670 − 46.035
√3.850 − 3.025 . √813.570 − 700.569
]
2
= [
9.635
(28,7228). (336,1562)
]
2
= (
9.635
9.655,3477
)
2
= (0,9979)2
= 0,9958 
 
3 
 
2ª CÁLCULO: 
Obs Y X Y^ SQT = (y-Yme)2 SQE = (Y^-Yme)2 SQR = (Y-Y^)2 
1 32 1 31,1488 2.672,8900 2.761,6299 0,7246 
2 44 2 42,8276 1.576,0900 1.670,5551 1,3746 
3 53 3 54,5064 942,4900 852,2684 2,2691 
4 68 4 66,1852 246,4900 306,7699 3,2937 
5 73 5 77,8639 114,4900 34,0596 23,6579 
6 89 6 89,5427 28,0900 34,1375 0,2946 
7 102 7 101,2215 334,8900 307,0035 0,6060 
8 115 8 112,9003 979,6900 852,6577 4,4087 
9 127 9 124,5791 1.874,8900 1.671,1001 5,8608 
10 134 10 136,2579 2.530,0900 2.762,3306 5,0980 
TOTAL 837 55 11.300,1000 11.252,5122 47,5880 
 
𝑟2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
= 
11.252,5122
11.300,1000
= 0,9958 
 
𝑂𝑈 𝑟2 = 1 − (𝑆𝑄𝑅/𝑆𝑄𝑇) = 1 − (
47,5880
11.300,1000
) = 0,9558 
 
b) Calcule os valores dos coeficientes, seus valores t e o intervalo de confiança 
das estimativas (95%); [Use t(0,025;8) = 2,306]. 
Obs Y X XY X
2
 Y
2
 
1 32 1 32 1 1024 
2 44 2 88 4 1936 
3 53 3 159 9 2809 
4 68 4 272 16 4624 
5 73 5 365 25 5329 
6 89 6 534 36 7921 
7 102 7 714 49 10404 
8 115 8 920 64 13225 
9 127 9 1143 81 16129 
10 134 10 1340 100 17956 
TOTAL 837 55 5567 385 81357 
 
4 
 
Solução: 
 
𝛽2̂ =
𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 . ∑ 𝑌
𝑛. ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑋)2
= 
10(5.567) − (55). (837)
10(385) − (55)2
= 
= 
55.670 − 46.035
3.850 − 3.025
= 
9.635
825
= 11,6788 
 
 
 𝛽1̂ = �̅� − 𝛽2̂�̅�  𝛽1̂ = 83,70 − (11,6788). (5,5) ≅ 19,47 
 
�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑋 → �̂� = 19,47 + 11,6788 
 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
�̂�
𝑒𝑝(�̂�)
 
 
Para o cálculo do teste t, torna-se necessário calcular os erros padrão das estimativas. 
 
�̂�2 =
∑ 𝑢𝑖2
𝑛−2
= 
∑(𝑌𝑖−�̂�1− �̂�2𝑋𝑖 )
2
𝑛−2
 �̂�2 =
47,588
10−2
= 5,9485 
 
𝑒𝑝(�̂�) = √𝑣𝑎𝑟(�̂�) 
 
𝑒𝑝(𝛽1̂) = √𝑣𝑎𝑟(𝛽1̂) = 
�̂�2. ∑ 𝑋𝑖2
𝑛 ∑(𝑋𝑖 − �̅�)2
 → 𝑒𝑝(𝛽1̂) = √2,77596 = 1,6661 
 
𝑒𝑝(𝛽2̂) = √𝑣𝑎𝑟(𝛽2̂) = 
�̂�2
∑(𝑋𝑖 − �̅�)2
 → 𝑒𝑝(𝛽2̂) = √0,0727 = 0,2685197 
 
5 
 
𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑡 = 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
�̂�
𝑒𝑝(�̂�)
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 �̂�1 → 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
19,46667
1,6661272
= 11,6838 
Na tabela t-student o valor crítico é t = 2,306. Como tcalc = 11,6838 > t = 2,306, rejeita-
se 𝐻0: �̂�1 = 0, em que o stat t mostra-se estatisticamente significativo. 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 �̂�2 → 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
11,678787879
1,66612720,2685197
= 43,49322032 
Na tabela t-student o valor crítico é t = 2,306. Como tcalc = 43,49322032 > t = 2,306, 
rejeita-se 𝐻0: �̂�2 = 0, em que o stat t mostra-se estatisticamente significativo. 
 
𝐼𝐶 = [�̂�1 − 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�1) < 𝛽1 < �̂�1 + 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�1)] = 1 − 𝛼% 
𝐼𝐶 = [19,46667 − (2,306 ). (1,6661212)] = 0,95 
 𝐼𝐶 = [15,62458447; 23,30874887]0,95 
 
 
𝐼𝐶 = [�̂�2 − 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�2) < 𝛽2 < �̂�2 + 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�2)] = 1 − 𝛼% 
𝐼𝐶 = [11,679 − (2,306 ). (0,2685)] = 0,95 
 𝐼𝐶 = [11,0595; 12,29799]0,95 
 
Conclusão: 
Estima-se que a estimativa do coeficiente angular, 
�̂�1 ∈ 𝐼𝐶 = [15,62458447; 23,30874887] , com 5% de significância. Como o intervalo 
não inclui o zero pode-se rejeitar H0, com evidências de que há relação significativa 
entre as variáveis. 
De forma análoga para �̂�2. 
 
6 
 
Questão 3 – Complete a saída do Excel apresentada a seguir: 
Estatística da regressão 
R múltiplo 0,02191 
R-Quadrado 
R-quad ajusta -0,12446 
Erro padrão 2,26054 
Observações 10 
ANOVA 
 Gl SQ MQ F 
Regressão 1 0,01963 
Resíduos 8 5,11005 
Total 9 ------------ 
 
 Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% infs 95% 
sups 
Interseção 3,3773 0,74544 0,47733 -7,0703 13,82491 
X -0,01227 0,19796 0,9521 -0,46876 0,44422 
a) Preencha as lacunas de todas as tabelas de resultados; 
b) Comente os resultados obtidos. 
 
Questões 4, 5 e 6 – Completando as saídas do Excel: 
 
 
ANOVA 
 gl SQ MQ F 
Regressão 
Resíduos 
Total ------------ 
 
 Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% infs 95% 
sups 
Interseção 
X 
 
 
 
Estatística da regressão 
R múltiplo 
R-Quadrado 
R-quad ajusta 
Erro padrão 
Observações 
7 
 
Questão 4 – Complete a saída do Excel apresentada a seguir: 
 
 
ANOVA 
 gl SQ MQ F 
Regressão 1693,56055 96,9801 
Resíduos 9 17,46297 
Total ------------ 
 
 Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% infs 95% 
sups 
Interseção 18,62104 5,50338 0,00038 10,96688 26,27521 
X 0,06338 9,84785 0,00000 0,48081 0,76758 
 
a) Preencha as lacunas de todas as tabelas de resultados; 
b) Comente os resultados obtidos. 
 
Questão 5 – Um economista montou um modelo explicativo linear simples em que a 
despesa é função da renda. Rodada a regressão com dados amostrais, foram obtidos os 
seguintes resultados: 
Estatística da regressão 
R múltiplo 0,965510599 
R-Quadrado 0,932210716 
R-quad ajusta 0,929603436 
Erro padrão 0,396010323 
Observações 28 
ANOVA 
 gl SQ MQ F F signif 
Regressão 1 56,071143 357,54145 1,022E-16 
Resíduos 26 0,1568242 
Total 27 60,14857143 ------------ 
 Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% infs 95% 
sups 
Interseção 0,792857143 0,183317158 0,0001995 
Renda 0,253142857 0,013387592 1,022E-16 
 
Estatística da regressão 
R múltiplo 0,95660 
R-Quadrado 
R-quad ajusta 0,90564 
Erro padrão 4,17887 
Observações 11 
8 
 
Sabendo que o tcrítico = 2,055530826, pede-se: 
c) Preencha as lacunas de todas as tabelas de resultados; 
d) Comente os resultados obtidos. 
 
Questão 6 - Suponha que um automóvel, para analisar o seu consumo de combustível, 
efetuou 7 viagens, tendo-se registrado a distância percorrida (km) e o consumo (l), 
obtendo-se, então, os 7 pares de valores seguintes: 
 
 
a) Escreva a equação da reta de regressão estimada que relacione distância em relação 
ao consumo. 
b) Com 16 litros de combustível qual das duas distâncias lhe parece mais provável de 
ser percorrida: 190 km ou 205 km? 
c) Sendo o valor do litro de gasolina R$ 2,52, qual o valor gasto (estimado) em um 
trajeto de 820 km? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Estatística de regressão: 
𝑹 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐: 
𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑌)
𝐷𝑃(𝑋). 𝐷𝑃(𝑌)
 
𝑹 − 𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐: 𝑅2 = [
𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑌)
𝐷𝑃(𝑋). 𝐷𝑃(𝑌)
]
2
 𝑜𝑢 𝑅2=
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 𝑜𝑢 𝑅2 = 1 −
𝑆𝑄𝑅
𝑆𝑄𝑇
 
𝑹 − 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 = 1 (1 − 𝑅2). (
𝑛 − 𝑔𝑙𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑔𝑙 𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜𝑠
) 
𝑬𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐: √𝑀𝑄𝑅 , em que MQR: média quadrática dos resíduos. 
Observações: n 
 
ANOVA: 
Graus de liberdade: 
Regressão: 1 Resíduos: n-2 Total: n-1 
Soma quadrática: SQT = SQE+SQR 
Média quadrática: 
Regressão: SQE/1 Resíduos: SQR/(n-2) 
Teste F: MQE/MQR 
Coeficientes: ’s 
Erros padrão: 
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑺𝒕𝒂𝒕 𝒕
 Stat t: 
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑬𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐
 
95% inf e 95% sup: Intervalos de confiança, no caso de 95%. 
𝐼𝐶 = [�̂�1 − 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�1) < 𝛽1 < �̂�1 + 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�1)] = 1 − 𝛼% 
 
𝐼𝐶 = [�̂�2 − 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�2) < 𝛽2 < �̂�2 + 𝑡(𝛼
2
;𝑛−2)
. 𝑒𝑝(�̂�2)] = 1 − 𝛼% 
 
 
 
 
 
10 
 
GABARITO: 
Questão 1 
 𝛽2̂=1,8195 𝛽1̂ = 0,0004  �̂� = 0,0004 + 1,8195𝑋 
 
Questão 2 
 𝑎) 𝑟2 = 0,99578 
𝑏) 𝛽2̂=19, 475 𝛽1̂ = 11,678787879 
 𝑒𝑝(𝛽1̂) = 1,6661212 ep (𝛽2̂ = 0,2685197 
 Stat-t = tcalc 
Para 𝛽1̂: tcalc=11,68382442 𝐼𝐶 = [15,62458447 ; 23,30874887] 
 
Para 𝛽2̂: tcalc=43,49322032 𝐼𝐶 = [11,0595 ; 12,29799] 
 
Questão 3 
𝑟2 = 0,0004800481 
𝑆𝑄𝑅 = 40,8804 𝑆𝑄𝑇 = 40,90003 𝑀𝑄𝐸 = 0,01963 𝐹 = 0,0038414497 
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑒𝑝
 𝑒𝑝 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡
 
𝑒𝑝(𝛽1)̂ = 4,5306127924 𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡 (𝑋) = −0,0619822186 
 
Questão 4 
𝑟2 = 0,91508 
 𝑔𝑙: 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 1 𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜𝑠 = 9 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10 
𝑆𝑄𝑅 = 157,16673 𝑆𝑄𝑇 = 1850,72728 𝑀𝑄𝐸 = 1693,56055 
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑒𝑝
 𝑒𝑝 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡
 
𝑒𝑝(𝛽1)̂ = 3,3835642823 𝛽2̂ = 0,62416 
11 
 
Questão 5 
𝑆𝑄𝐸 = 56,071143 𝑆𝑄𝑅 = 4,0774292 
𝑀𝑄𝐸 = 56,071143 𝑀𝑄𝑅 = 0,1568242 𝐹 = 357,54145 
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑒𝑝
 𝑒𝑝 = 
𝑐𝑜𝑒𝑓
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡
 
𝑆𝑡𝑎𝑡 𝑡: 𝛽1̂ = 4,3250569213 𝛽2̂ = 18,908766939 
𝛽1̂: IC = [0,4170569691 ; 1,1686573169] 
𝛽2̂: 𝐼𝐶 = [0,2256982934 ; 0,2805874206] 
 
Questão 6 
a) A equação da reta de regressão é: Y= - 1,96428571 + 14,0277778X 
b) R: Y= - 1,96428571 + 14,0277778X 
Y= - 1,96428571 + 14,0277778 x (16)  Y= 226,4087302 
Logo a distância de 205Km é a mais provável a ser percorrida 
 
c) Sendo o valor do litro de gasolina R$ 2,52, qual o valor gasto (estimado) em um 
trajeto de 820 km? 
Y= 14,0277778X - 1,96428571 
820= 14,0277778X - 1,96428571 
820+1,96428571= 14,0277778X 
X= 58,59547383 KM 
Gasto= 58,59547383 xR$ 2,52= R$ 147,66 
 
A correlação r para este caso é = 0,9968708 ou 99,68707999%, este coeficiente de 
correlação é praticamente perfeito, pois a cada 1% de variação no consumo ocorre uma 
variação de 99,68707999% na distância. 
 
 
12