4 Medidas de dispersão ou variabilidade (1)

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ANÁLISE DESCRITIVA
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
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VARIABILIDADE
	Para descrever adequadamente uma variável quantitativa, além da tendência central, é necessário dizer também o quanto estes valores variam, ou seja, o quão dispersos eles são.
	Somente a informação sobre a tendência central de um conjunto de dados não consegue representá-lo adequadamente. 
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VARIABILIDADE
 Diagrama de pontos para tempo de espera (minutos) em filas única e múltipla.
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VARIABILIDADE - EXEMPLO
	Várias medições – valores diferentes;
	Quanto menor a variabilidade, mais precisa é a balança;
	Balança A: oscilação entre 950g e 1050g (imprecisão de 50g)
	Balança B: oscilação entre 900g e 1100g (imprecisão de 100g)
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MEDIDA DE VARIABILIDADE
1. AMPLITUDE TOTAL
	É a medida de dispersão mais simples. 
	Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo de um conjunto de dados. 
	AT = X maior – X menor 
	Apesar de simples, é uma medida grosseira, pois depende somente de dois valores do conjunto de dados (máximo e mínimo), não captando o que ocorre com os outros valores. 
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MEDIDA DE VARIABILIDADE
AMPLITUDE TOTAL
Exemplo:
	Dados I: {2, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 100}, AT1 = 100 – 2 = 98
	Dados II: {2, 6, 10, 20, 35, 50, 80, 100}, AT2 = 100 – 2 = 98
	As variabilidades desses dois conjuntos de dados são claramente diferentes. No entanto, apenas usando a amplitude total para medi-las, concluiríamos que os dois conjuntos de dados são igualmente dispersos. 
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
2. DESVIO-PADRÃO
 Medida de variabilidade que resume o grau de dispersão desses valores em torno da média. 
 X1 = valor observado; μ = média. 
 Exemplo: {2,3,3,3,4,7,8,10}
 Média: 40/8 = 5 
 X1 - μ 
	X1	X1 - μ
	2	-3
	3	-2
	3	-2
	3	-2
	4	-1
	7	2
	8	3
	10	5
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
DESVIO-PADRÃO
 A soma dos desvios = 0 (desvios - compensam os +).
 Como os sinais não são importantes 
para as medidas de dispersão, eles são
eliminados elevando-se os desvios 
ao quadrado. 
 (X1 – μ)2 
Após elevar ao quadrado, soma-se 
os valores obtidos (Σ)
	X1	X1 - μ	(X1 – μ)2
	2	-3	9
	3	-2	4
	3	-2	4
	3	-2	4
	4	-1	1
	7	2	4
	8	3	9
	10	5	25
	Σ	60
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
DESVIO-PADRÃO
 A soma dos desvios ao quadrado é dividida pelo nº de participantes.
 Por razões teóricas, a soma dos desvios ao quadrado é dividida pelo nº de participantes menos 1.
 Σ (x1 – μ)2
	 n - 1 
 60 = 8,57 
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VARIÂNCIA
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
DESVIO-PADRÃO
 A variância ainda não pode ser a medida de variabilidade porque ao se elevar ao quadrado, eleva-se também as unidades de medida em que os dados estão expressos (filhos ao quadrado).
	A solução é extrair a raiz quadrada.
	DP = √ Σ (x1 – μ)2
	 	 n - 1 
√ 8,57 = 2,92
 
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	EXEMPLO: Os agentes de fiscalização realizam, periodicamente, uma vistoria nos restaurantes para apurar possíveis irregularidades na venda de seus produtos.
 A seguir, são apresentados dados de uma vistoria sobre os pesos (em gramas) de uma amostra de 10 bifes, constantes de um cardápio de um restaurante como “bife de 200 gramas ” .
170 175 180 185 190 195 200 200 200 205
MEDIDA DE VARIABILIDADE: 
DESVIO-PADRÃO
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	PASSO A PASSO:
	1. Calcule a média (soma dos valores observados / nº de observações)
	2. Valor observado – média
	3. Eleve cada resultado ao quadrado
	4. Some todos os resultados que foram elevados ao quadrado
	5. Divida o valor da soma pelo nº de observações -1(variância)
	6. Calcule a raiz quadrada do valor obtido (desvio padrão)
MEDIDA DE VARIABILIDADE: 
DESVIO-PADRÃO
MEDIDA DE VARIABILIDADE: 
DESVIO-PADRÃO
	Exemplo: bifes de 200g
	μ = 1900 / 10 = 190
	DP = √ Σ (x1 – μ)2 
		 (n-1)
	DP = 1300 / 9 = 144,44
	√144,44 = 12,01
	DP = 12,01 gramas
	Nº	X1	X1 - μ	(X1- μ)2
	1	170	170-190 = -20	400
	2	175	175-190 = -15	225
	3	180	180-190 = -10	100
	4	185	185-190 = -5	25
	5	190	190-190 = 0	0
	6	195	195-190 = 5	25
	7	200	200-190 = 10	100
	8	200	200-190 = 10	100
	9	200	200-190 = 10	100
	10	205	205-190 = 15	225
	Σ	1900	0	1300
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MEDIDA DE VARIABILIDADE: 
DESVIO-PADRÃO
	Os bifes desse restaurante pesam, em média, 
190 gramas, com um desvio-padrão de 12g, ou 
seja, variam tipicamente entre 178 e 202g.
	Analisando esses valores, concluímos que esse
 restaurante pode estar lesando a maior parte de
 seus clientes.
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
3. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
 Ao analisarmos o grau de dispersão de um conjunto de dados, poderemos nos deparar com uma questão do tipo: “Um desvio-padrão de 10 unidades é pequeno ou grande?”
 Se a média dos dados analisados for 10.000, um desvio de 10 unidades em torno dessa média significa pouca dispersão (0,1% da média) – (10/10.000)
 Mas, se a média for 100, um desvio de10 unidades em torno dessa média significa muita dispersão (10% da média) – (10/100)
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
 A razão entre o desvio-padrão e a média damos o nome de Coeficiente de Variação:
 CV = DP / μ
 Quanto menor o CV menor é a sua variabilidade. 
 VANTAGEM: O CV não depende da unidade de medida, permitindo comparar a variabilidade de conjuntos de dados medidos em unidades diferentes, o que seria impossível usando o DP.
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
	Comparação da homogeneidade entre variáveis diferentes em um mesmo grupo
Tabela: Estatísticas descritivas para idade, tempo de profissão e salário de motoristas.
	VARIÁVEL	μ	DP	CV
	IDADE	35,6 anos	5,08 anos	0,143 (14,3%)
	TEMPO DE PROFISSÃO	6,5 anos	2,98 anos	0,458 (45,8%)
	SALÁRIO	537,52 reais	25,34 reais	0,047 (4,7%)
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MEDIDA DE VARIABILIDADE 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
 Em qual das variáveis os motoristas são mais parecidos entre si?
 Essa informação é conseguida através da análise da variabilidade, procurando-se a variável mais homogênea.
 Se usarmos o DP, estaremos comparando anos com reais. 
 O CV é a única opção nesse caso, pois ele é adimensional. 
 Ao analisarmos os CVs das três variáveis, concluímos que os motoristas são mais homogêneos quanto ao salário, heterogêneos quanto ao tempo de profissão.
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EXERCÍCIO 1
O setor de RH de uma grande empresa pensou em presentear no Natal todos os filhos de suas funcionárias e, para estimar o custo, perguntou para as dez funcionárias de um setor, quantos filhos cada uma delas tinha.
À partir dos dados acima, determine as três medidas de variabilidade desta variável.
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	2	3	4	4	5	6	7	7
	FUNCIONÁRIA
	Nº DE FILHOS
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EXERCÍCIO 2
	O professor perguntou a 10 alunos o número de horas por dia em que utilizavam o celular e o número de páginas de livros lidas por dia, e obteve as seguintes informações:
2.1. Á partir da tabela acima, calcule as três medidas de dispersão para o número de horas no celular e número de páginas lidas. 
2.2. Qual variável é mais heterogênea?
	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	3	4	2	4	4	2	6	5	4	2
	5	5	3	4	4	5	0	2	4	10
	ALUNO
	CELULAR
	PÁGINAS
	Uma agência bancária verificou o período de permanência dos dez primeiros clientes nas filas do caixa: 5, 7, 9, 15, 5, 15, 5, 18, 15, 5 (em resultando minutos). Calcule as medidas de dispersão (amplitude total, desvio padrão e coeficiente de variação). 
EXERCÍCIO 3
	Numa classe com 12 alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2 e 4. 
	Obtenha as três medidas de variabilidade ou dispersão (amplitude total, desvio padrão e coeficiente de variação).
EXERCÍCIO 4
	Numa empresa o salário médio dos homens é de R$ 6000,00 com um desvio padrão de R$450,00, e o das mulheres é na média de R$5000,00 com desvio padrão de R$500,00. Qual dos sexos é mais heterogêneo? 
EXERCÍCIO 5
	Em um exame final de anatomia, a nota média de um grupo de 150 alunos foi 6,7 e o desvio padrão foi 0,32. Em semiologia, entretanto, anota média final foi 8,5 e o desvio padrão foi 0,40. Em qual disciplina a nota foi mais homogênea? 
EXERCÍCIO 6