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Disciplina: Análise Matemática para Engenharia I Aula 07: Integral De�nida – Parte I Apresentação Nesta sétima aula, iniciaremos o estudo das integrais. Certamente, já estamos familiarizados com as operações inversas. Adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação já fazem parte do nosso universo de conhecimento. Agora, começaremos a desenvolver a operação inversa da diferenciação, chamada de antidiferenciação. Para tanto, começaremos com o conceito de antiderivada ou integral inde�nida. Objetivos De�nir integral; Aplicar as propriedades da integral; Empregar o teorema do valor médio para integrais. Antidiferenciação Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula7/pdf/aula7.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte. Uma função será chamada antiderivada de uma função em um intervalo , se para todo em .F f I F ’(x) = f(x) x I Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 1, 2, 3 e 4 no documento. Atenção http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/galeria/aula7/pdf/aula7.pdf Os teoremas para as antiderivadas ou integrais inde�nidas das funções trigonométricas seguem imediatamente os teoremas correspondentes para a diferenciação. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C ∫ se x ⋅ dx = tgx + Cc2 ∫ cose x ⋅ dx = −cotgx + Cc2 ∫ secx ⋅ tgx ⋅ dx = secx + C ∫ cos ec x ⋅ cotgx ⋅ dx = − cos ec x + C Agora, observe o exemplo 5 no documento. Dica É fundamental, quando você lidar com problemas que envolvem a determinação de antiderivadas de funções trigonométricas, que você reconheça oito identidades trigonométricas cruciais: sin x ⋅ cos ec x = 1 cos x ⋅ secx = 1 tgx ⋅ cotgx = 1 tgx = sin x cos x/ cotgx = cos x sin x / si x + co x = 1n2 s2 t x + 1 = se xg2 c2 cot x + 1 = cose xg2 c2 Agora, veja os exemplos 6, 7 e 8 no documento. Equações diferenciais e movimento retilíneo Agora estudaremos uma aplicação importante da antiderivação. De�ne-se como equação diferencial uma equação contendo derivadas. Alguns exemplos simples são: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Assim e , são equações diferenciais de primeira ordem. Por sua vez, é uma equação diferencial de segunda ordem. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação diferencial de primeira ordem da forma: Outro tipo de equação diferencial de primeira ordem é da forma: Em ambos os casos, dizemos que as equações são equação diferenciais com variáveis separáveis, ou seja, o primeiro membro envolve apenas a variável , enquanto o segundo membro somente envolve a variável . A solução completa de tais equações diferenciais são: = 2x; = ; = 4x + 3 dy dx dy dx 2x3 3y2 yd2 dx2 = 2x dy dx = dy dx 2x3 3y2 = 4x + 3 yd2 dx2 ou = f(x)dy dx dy = f(x) ⋅ dx ou = dy dx g(x) h(y) h(y) ⋅ dy = g(x) ⋅ dx y x ; ouy = F(x) + C H(y) = G(x) + C Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 9 e 10 no documento. Comentário Você viu em aula anterior a equação de movimento de uma partícula em linha reta. Assim, deve lembrar de que: Consequentemente, com o conceito de antiderivada apresentado, você deve ser capaz de resolver problemas como o do Exemplo 11. , onde 𝑣 é a velocidade instantânea , onde 𝑎 é a aceleração instantânea s = f(t) v = ds dt/ a = sd2 dt2/ Observe o exemplo 11 no documento. A regra da cadeia para a antidiferenciação Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente. É necessário, então, que você aprenda certas técnicas que podem ser usadas no cálculo de tais antiderivadas. Observe o teorema abaixo: “Seja uma função diferenciável e seja o intervalo a imagem de . Suponha que seja uma função de�nida em e que seja uma antiderivada de em . Então: O teorema acima é chamado regra da cadeia para a antidiferenciação. Um caso particular do teorema é: Se for uma função diferenciável e se n for um número racional, g I g f I F f I ∫ f(g(x))[ (x)dx] = F(g(x)) + Cg′ g ∫ [g(x) [ (x)dx] = + C n ≠ −1] n g′ [g(x)]n+1 n+1 Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 12, 13, 14, 15 e 16 no documento. Área É bem provável que você já tenha uma ideia intuitiva sobre a área de certas �guras geométricas. A área do retângulo, a área do triângulo e de outras regiões encerradas por �guras simples já devem ser de seu domínio. Figura 3: A área do polígono pode ser encontrada através da soma das áreas dos triângulos que foram usados para decompô-lo. Fonte: Google Imagens. Contudo, como encontrar a área de uma região plana se esta for limitada por uma curva? A resposta para essa pergunta será dada no penúltimo tópico desta aula. O importante aqui será você compreender o conceito de somatória ( , letra sigma maiúscula do alfabeto grego) e a motivação que resultará no conceito de integral de�nida, que será apresentado na aula 8. ∑ Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 17, 18 e 19 no documento. Estimativa da área de uma região plana Considere uma região no plano. A região é limitada pelo eixo dos , pelas retas e e pela curva tendo equação , onde é uma função contínua no intervalo fechado . A �m de tornar a análise mais simples, considere para todo em . S S x x = a x = b y = f(x) f [a, b] f(x) ≥ 0 x [a, b] Figura 4: Área S compreendida entre o eixo x e a função f(x) é delimitada pelas retas x=a e x=b. Fonte: Google Imagens. Para calcular a área a ideia é dividir o intervalo fechado em subintervalos. Cada subintervalo terá o mesmo comprimento, ou seja, . Logo, Denotando os extremos desses subintervalos, temos: Seja o i-ésimo intervalo. Como é contínua no intervalo , ela é contínua em cada um dos subintervalos. Pelo teorema do valor extremo, existe um número em cada subintervalo para o qual tem um valor mínimo absoluto. No i-ésimo subintervalo, seja esse número, assim será o valor mínimo absoluto de no subintervalo . Se você considerar retângulos, cada um com um comprimento ∆x unidades e uma altura unidades, a soma das áreas desses retângulos será: Ou, com somatória, S [a, b] n ∆x ∆x = b−a n = a, = a + ∆x, … , = a + i ∆ x, … , = a +xo x1 xi xn−1 [ , ]xi−1 xi f [a, b] f ci f( )ci f [ , ]xi−1 xi n f( )ci n = f( ) ∆ x + f( ) ∆ x + ⋯ + f( ) ∆ x + ⋯ + f(Sn c1 c2 ci c = f( ) ∆ xSn ∑ n i=1 ci Dica Você também poderia ter utilizado retângulos circunscritos ao invés de retângulos inscritos. Neste caso, seria necessário tomar como medida das alturas dos retângulos, o valor máximo absoluto de em cada subintervalo. A existência desse valor máximo absoluto de em cada subintervalo é garantida pelo teorema do valor extremo. As somas correspondentes das medidas das áreas dos retângulos circunscritos são, no mínimo, tão grandes quanto a medida da área da região e pode ser mostrado que o limite dessas somas quando cresce inde�nidamente é exatamente igual ao limite da soma das medidas das áreas dos retângulos inscritos. Resumidamente, usando-se retângulos inscritos, a área da região será dada por: f f S n Figura 5: Determinação da área S através da somatória da área de n retângulos inscritos. À medida que o número de retângulos inscritos aumenta, a somatória da área aproxima-se cada vez mais da área da região S procurada. Fonte: Google Imagens. S A = f( ) ∆ xlim n → +∞ ∑ni=1 ci Para compreender a de�nição acima, observe o exemplos 20 no documento. Comentário Torna-se evidente que tal processo para a estimativa de áreas é árduo e cansativo. No entanto, na aula 8 introduziremos o conceito de integral de�nida e a resolução deste tipo de problema será mais rápida e intuitiva. O teorema do valor médio para integrais Vamos primeiro analisar o teorema do ponto de vista geométrico. Considere para todos os valores em . Então, dá a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é , pelo eixo e pelas retas e . O teorema do valormédio para integrais estabelece que existe um número (qui, no alfabeto grego) em tal que a área do retângulo AEFB com altura unidades e comprimento unidades seja igual à área da região ADCB. Teorema: Se a função for contínua no intervalo fechado , existe um número em tal que f(x) ≥ 0 x [a, b] f(x)dx∫ b a y = f(x) x x = a x = b x [a, b] f(x) (b − a) Figura 7: Representação geométrica do Teorema do Valor Médio para integrais. Fonte: Google Imagens. f [a, b] x [a, b] f(x)dx = f(x) ⋅ (b − a)∫ b a Para compreender a de�nição acima e �nalizarmos a leitura do conteúdo, observe os exemplos 21 e 22 no documento. Atividades 1. A antiderivada da função , ou seja, pode ser corretamente representada por:f(x) = 1−2x3 x3 ∫ dx1−2x 3 x3 a) − − 2x + C1 x2 b) − − 2x + C1 2x2 c) − 2x + C1 2x2 d) + 2x + C1 2x2 e) − − 2x + C1 2x2 2. Considere . A antiderivada é corretamente representada por:∫ ⋅ (2 − x ⋅ dxx 1 3/ ) 2 a) 3 − + + Cx 4 3/ 127 x 7 3/ 3 10x 10 3/ b) 3 − − − Cx 4 3/ 127 x 7 3/ 3 10x 10 3/ c) 3 + − + Cx 4 3/ 127 x 7 3/ 3 10x 10 3/ d) 3 + + + Cx 4 3/ 127 x 7 3/ 3 10x 10 3/ e) −13 − + + Cx 4 3/ 127 x 7 3/ 3 10x 10 3/ 3. Suponha que um ponto se mova ao longo de uma curva no plano , de tal forma que, em cada ponto da curva, a reta tangente tenha inclinação . Qual a equação da curva, sabendo que ela passa pelo ponto (-2,8)? y = f(x) xy (x, y) (1 + x)2 a) F(x) = [(1 + x + 25])3 b) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x + 25])3 c) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x + ])3 253 d) F(x) = [(1 + x + 2])2 e) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x − 25])2 4. Qual a integral inde�nida para uma função cuja derivada segunda é ?x√ a) + + xx3 C1x2 C2 b) + xx 5 2/ C1 c) + x +4 15x 5 2/ C1 C2 d) F(x) = [(1 + x + 2])2 e) + +315x 5 2/ C1 x 2 C2 5. A integral inde�nida dada por apresenta como solução a função igual a:∫ si x ⋅ cosx ⋅ dxn2 F(x) a) F(x) = + Cxsin2 3 b) F(x) = + Csin x 3 c) F(x) = + Ccos x 3 d) F(x) = + Cxsin3 3 e) F(x) = + Csi c x 3 6. Utilizando as identidades trigonométricas veri�cadas ao longo desta aula, encontre uma fórmula geral para a integral inde�nida , onde é uma constante.∫ dx +a2 x2 a ≠ 0 7. Encontre a integral inde�nida representada por ∫ dx5x 2 (1+x) 1 3 / Notas Teorema do Valor Médio 1 Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto em , tal que: f [a, b] (a, b) c (a, b) (c) =f ′ f(b)−f(a) b−a Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007). Referências ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007. BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015. FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001. PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017. Próxima aula Teorema fundamental do cálculo; Integração por partes; Integração por substituição simples. Explore mais Nossa discussão sobre integrais apenas começou. A �m de revisar os tópicos aqui veri�cados e despertar o seu interesse no assunto, seguem sugestões de vídeos para você assistir: “Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 36 - Integração / Motivação Geométrica: Área - parte 1” <https://youtu.be/p-HMNfGRgvE> ; “Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 37 - Motivação Geométrica: área - parte 2” <https://youtu.be/x60T7SmOCDg> ; https://youtu.be/p-HMNfGRgvE https://youtu.be/x60T7SmOCDg “Somatório – Explicação” <https://youtu.be/ValQ4awhJUY> ; Acesse também a Calculadora de integrais inde�nidas – Symbolab <http://pt.symbolab.com/solver/inde�nite-integral-calculator> . https://youtu.be/ValQ4awhJUY http://pt.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator
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