Exercicio Carro e Moto

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Enunciado: Um vídeo muito popular na internet mostra um carro esportivo e uma motocicleta apostando corrida em uma pista. Considerando que a moto apresenta aceleração constante de 8,40 m/s2 e velocidade máxima de 58,8 m/s, e o carro aceleração de 5,60 m/s2 e velocidade máxima de 106 m/s. a) Determine quanto tempo o carro leva para alcançar a moto após a largada? b) Determine a distância percorrida pelo carro até emparelhar novamente com a moto e a sua velocidade nesse instante. c) Determine a distância percorrida pela moto após atingir a velocidade máxima e o tempo gasto nessa distância.
Letra a)
O encontro acontecerá 16,56 segundos após a largada.
Considerando que ambos partiram da mesma localização inicial e do repouso calculamos a equação horária de ambos:
Equação Horária da Moto sendo nomeada S1:
S1 = 0 + 0 + 4,2t²
S1 = 4,2t²
Agora vamos encontrar qual o tempo que a moto vai levar para chegar a sua velocidade máxima:
V = Vo + at
58,8 = 0 + 8,4t
t1 = 7 segundos
Equação Horária do Carro sendo nomeada S2:
A sua equação horária será:
S2 = 0 + 0 + 2,8t²
S2 = 2,8t²
E o tempo que ele gasta para chegar na velocidade máxima é:
106 = 0 + 5,6t
t2 = 18,92 segundos
O Encontro do carro com a moto será quando S1 for igual à S2. Sendo:
S1 = S2
4,2t² = 2,8t²
Como essa equação não possui solução, calcularemos a distância entre os dois ao atingirem a velocidade máxima:
A distância que a moto percorre para atingir a velocidade máxima será:
S1 = 4,2*7²
S1 = 205,8 m
A distância percorrida pelo carro ao atingir a velocidade máxima será:
S2 = 2,8*18,92²
S2 = 1002,3 m
Agora, calculamos em que posição está o carro no instante tempo igual à 7 segundos:
S2 = 2,8*7²
S2 = 137,2 m
Assim, quando a moto atingir a velocidade máxima de 58,8 m/s no tempo de 7 segundos, ela terá percorrido 205,8 metros. Após esse tempo, a moto estará em movimento uniforme, pois a aceleração será constante.
No tempo de 7 segundos o carro está na posição de 137,2 metros e continua com a aceleração em ascensão.
Desse modo, calcula-se as equações horarias para o momento t>7.
A velocidade do carro após esses 7 segundos é de V = 0 + 5,6*7 = 39,2 m/s. E a equação horária dele será:
S2 = 137,2 + 39,2t + 2,8t²
A equação horária da moto será:
S1 = 205,8 + 58,8t
Igualando as equações novamente temos:
205,8 + 58,8t = 137,2 + 39,2t + 2,8t²
2,8t² - 19,6t - 68,6 = 0
Aplicando Bháskara temos:
Δ = 384,16 + 768,32 = 1152,48
t = (19,6 ± 33,95)/5,6
t' = 9,56 s
t'' = - 2,56 s
Pegamos apenas o tempo positivo. Deste modo, o tempo total gasto até eles se encontrarem vai ser t1 + t' = 7 + 9,56 = 16,56 segundos, aproximadamente.
Letra b)
Após os 16,56 segundos, o carro estará em na posição:
S = 0 + 0 + 2,8*16,56²
S = 767,85 m
A sua velocidade será nessa posição será:
V = 0 + 5,6*16,56
V = 92,73 m/s
Letra C)
Após os 7 segundos iniciais já sabemos que a moto percorreu 205,8 metros, calculando a diferença do tempo temos:
S = 0 + 58,8*9,56
S = 562,13 m
Logo, no total, a moto terá percorrido 205,8 + 562,13 = 767,93 m