7°Ano_MAT_ALUNO_1°BI

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Matemática 
 
 Aluno 
 
Caderno de Atividades 
Pedagógicas de 
Aprendizagem 
Autorregulada – 01 
 7º Ano | 1º Bimestre 
Disciplina Curso Bimestre Série 
Matemática Ensino Fundamental 1° 7º Ano 
Habilidades Associadas 
Reconhecer e ordenar Números Inteiros e sua representação na reta numérica. 
Resolver situações envolvendo as operações com Números Inteiros. 
Compreender o conceito de ângulo, identificar os principais tipos de ângulos, realizar cálculos 
envolvendo ângulos. 
Identificar triângulos e suas classificações quanto à medida dos lados e dos ângulos. 
 
2 
 
 
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o 
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem 
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes 
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. 
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma 
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar 
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma 
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções 
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. 
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das 
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades 
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é 
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. 
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, 
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o 
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. 
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior 
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para 
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as 
ferramentas da autorregulação. 
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se 
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o 
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. 
 A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da 
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede 
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim 
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às 
suas aulas. 
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer 
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. 
 
Secretaria de Estado de Educação 
 
 
Apresentação 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/
mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br
 
3 
Caro aluno, 
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas 
habilidades e competências do 1º Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 7º 
Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o 
período de um mês. 
 A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma 
autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas 
de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no 
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e 
independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do 
conhecimento do século XXI. 
 Neste Caderno de atividades, iremos desenvolver as ideias associadas às 
operações com números inteiros bem como o conceito, o cálculo e as propriedades 
dos ângulos. Na primeira parte do plano iremos trabalhar com as operações de adição, 
subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e radiciação de números inteiros. Em 
seguida, iremos aprender o conceito de ângulos e suas medidas. 
Este documento apresenta 06 (seis) Aulas. As aulas são compostas por uma 
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias 
relacionadas às habilidades e competências do bimestre em questão, e atividades 
respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades 
são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõem-se, 
ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto. 
 
Um abraço e bom trabalho! 
Equipe de Elaboração 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 Introdução ................................................................................................ 
 
03 
 Aula 01: Números Inteiros e sua representação na Reta Numérica ........ 
 Aula 02: Adição e Subtração de Números Inteiros ................................... 
 Aula 03: Multiplicação e Divisão de Números Inteiros ............................. 
 Aula 04: Potenciação e Radiciação de Números Inteiros ......................... 
 Aula 05: Ângulos ....................................................................................... 
 Aula 06: Operações com Ângulos ............................................................. 
 Avaliação ................................................................................................... 
 Pesquisa .................................................................................................... 
 
 Referências: ............................................................................................. 
 
 
 
05 
09 
12 
15 
19 
26 
29 
31 
 
32 
 
 
 
Sumário 
 
 
5 
 
 
Caro aluno, o conjunto dos números inteiros surgiu devido à necessidade do 
homem em manipular valores negativos relacionados a assuntos comerciais e 
financeiros. Nesta aula, você irá aprender uma pouco mais sobre este conjunto e sua 
representação na reta numérica. 
 
1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: 
 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z, e formado pelos 
seguintes elementos: 
Z= { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } ou Z= { ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... } 
 
Agora que já definimos o Conjunto dos Números Inteiros, vamos apresentar 
alguns subconjuntos de Z: 
a) Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } 
b) Conjuntos dos números inteiros não negativos: Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = { ... -3, -2, -1, 0 } 
 
Você já observou como podemos notar a presença dos números inteiros em 
diversas situações da nossa vida? Observe os exemplos abaixo: 
 
Situação 1: 
Você sabia que se considera que seja zero a altitude ao nível do mar? Sabia que 
existem lugares que estão localizados acima e abaixo deste nível? 
O Everest, por exemplo, é o monte de maior altitude da Terra e atinge 8.850 
metros acima do nível do mar. Por outro lado, na Holanda, alguns bairros da cidade de 
Haia chegam a ficar 1 metro abaixo do nível do mar. 
 
 
Aula 1: Números Inteiros e sua representação na reta 
numérica. 
 
6 
 Monte Everest Holanda – Cidade de Haia 
 
 Fonte: http://www.menosfios.com 
 
 Fonte: http://turismo.culturamix.com 
 
Situação 2: 
Ao acordar, pela manhã, você ouve no rádio a notícia de que uma cidade do Rio 
Grande do Sul que, no verão, chega a atingir 35°C, amanheceu com – 5°C.Fonte: www.incoterm.com.br/home/show_page.php?id=2401 
 
As temperaturas menores que 0°C (medidas abaixo de zero) são representadas 
por valores negativos. Os números negativos aparecem sempre com o sinal de –. Os 
números positivos aparecem com o sinal de + ou sem sinal. 
 Observe que cada número inteiro positivo é associado a um número natural 
diferente de zero, por exemplo: +1 = 1, +2 = 2, +3 = 3, ... 
IMPORTANTE: O zero não é positivo nem negativo. 
 
 
 
 
http://www.menosfios.com/
http://turismo.culturamix.com/
 
7 
2 – REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA: 
 
Para que você consiga comparar os números inteiros, é necessário 
conhecermos a reta numérica. Observe: 
 
 
Você sabe como construir uma reta numérica no conjunto dos inteiros? É fácil! 
Vamos aos passos: 
 
1º Passo: Com a ajuda de uma régua, você vai traçar uma reta. No exemplo abaixo, 
chamamos a reta de r, mas você pode usar qualquer letra minúscula. Em seguida, 
escolha um ponto O (geralmente é colocado no meio da reta, mas pode ser localizado 
em qualquer parte). Esse ponto O será associado ao número 0. 
 O 
 r 0 
 
2º Passo: Escolha outro ponto na reta, à direita do ponto O, e associe a esse ponto o 
número 1, ou +1. Teremos assim, uma unidade de comprimento e o sentido positivo 
da reta. 
 O 
 r 0 +1 
 
3º Passo: A partir daí, represente as unidades de comprimento repetidas vezes, 
sempre da esquerda para a direita, ao longo da reta, determinando, assim, a 
localização dos pontos associados aos números positivos +2, +3, +4, e assim 
sucessivamente. 
 O 
 r 0 +1 +2 +3 +4 
 
 
8 
4º Passo: Usando a mesma unidade de comprimento, você agora deve representar 
distâncias à esquerda do zero e associar os números -1, -2, -3, -4, ..., determinando o 
sentido negativo da reta. 
 O 
 r -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 
 
 
 
01. Dado o conjunto x = { +3, -14, -9, -6, +6, -7, +2. -1}, identifique: 
 a) Os números positivos: 
 b) Os números negativos: 
 
02. Escreva usando a simbologia matemática: 
 a) oitenta e cinco negativo: 
 b) quatorze positivo: 
 c) cento e cinco positivo: 
 d) setenta e dois negativo: 
 e) cento e noventa e nove negativo: 
 
03. A figura seguinte é uma reta numérica que mostra a posição de dois aviões, A e B, 
em relação a cidade do Rio de Janeiro. Sabendo que cada intervalo corresponde a 
50Km, dê a posição desses aviões em relação ao Rio de Janeiro. 
 
 Rio de Janeiro 
 
 A B 
 
04. Localize os números +5, -4, +8, -6, +3 na reta abaixo. 
 O 
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 0 
 
 
Atividade 1 
  
 
Fonte: www.equipe7dombosco.blogspot.com 
 
9 
 
 
Agora que você já aprendeu que o conjunto dos números inteiros é formado 
pelos algarismos inteiros positivos, pelos algarismos inteiros negativos e pelo zero, e 
que esses números são muito importantes e utilizados no nosso dia a dia, vamos 
mostrar a você que há também a necessidade de se realizarem cálculos envolvendo 
esses números! Então, vamos começar estudando as operações de adição e subtração. 
O que acha? 
 
1 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS: 
 É importante estudar este assunto com muita atenção, pois ele envolve várias 
regras que serão utilizadas em praticamente todas as séries seguintes. Para realizar 
cada operação, será realizada uma regra diferente, que estará diretamente 
relacionada ao sinal do número. 
 
1.1 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: 
Sempre que você for realizar adição e subtração com números inteiros, 
precisará lembrar duas regras básicas: 
 
1ª regra: Quando os sinais forem iguais, somamos os termos e repetimos o sinal. 
Exemplos: 
 + 4 + 3 = + 7 
 – 5 – 4 = – 9 
2ª regra: Quando os sinais forem diferentes, subtraímos o maior termo pelo menor e 
atribuímos ao resultado o sinal do maior termo. 
Exemplos: 
 –6 + 2 = –4 (6 – 2 = 4  Como 6 é maior que 4 e 6 possui sinal negativo, o 
resultado será negativo) 
 + 8 – 3 = + 5 (8 – 3 = 5  Como 8 é maior que 3 e 8 possui sinal positivo, o 
resultado será positivo) 
 
 
Aula 2: Adição e Subtração de Números Inteiros 
 
10 
1.2 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM A PRESENÇA DE PARÊNTESES. 
 
Sempre que as operações apresentarem parênteses, colchetes ou chaves, 
nosso primeiro passo será eliminá-los. Como faremos isto? 
 
Para eliminarmos os parênteses, devemos, a princípio, verificar qual o sinal que 
antecede os parênteses. 
 
1° Caso: + 
Basta eliminá-lo normalmente, como se os parênteses não existissem. É 
importante ter atenção, pois os números que estiverem nos parênteses permanecem 
com os mesmos sinais: 
+ ( + ) = + + ( – ) = – 
 
2° Caso: ─ 
 Quando, antes dos parênteses, temos um sinal de menos, devemos trocar o 
sinal de todos os números dentro dos parênteses. 
 
 – ( + ) = – – ( – ) = + 
Exemplos: 
 + (+7) = + 7 
 – (– 9) = +9 
 + (– 11) = –11 
 – (+ 20) = –20 
 
 Depois da eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª regra que já 
aprendemos anteriormente. 
 
Exemplo 01: 
 + (+7) + (–5) = + 7 – 5 = +2 
 – (– 9) – (+5) = +9 – 5 = +4 
 + (– 11) – (– 4) = –11 + 4 = – 7 
 – (+ 20) − (– 6) = –20 + 6 = – 14 
 
 
 
 
11 
 
 
01. A pirâmide abaixo esconde um segredo em seu topo. Esse segredo é um número 
inteiro. Complete cada bloco da pirâmide, conforme o modelo, e descubra o seu segredo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe: + 10 - 13 = -3 
 -13 + 15 = +2 
 
02. Determine o resultado das adições e subtrações abaixo: 
 a) (+5) + (+7) = b) (-9) - (-3) = 
 c) (-2) + (-4) = d) (-8) + (13) + (+5) = 
 e) (+15) - (+7) + (-2) = 
 
03. O dono de uma loja tinha R$ 52,00 no caixa. Recebeu R$ 27,00, como pagamento 
pela venda de uma mercadoria, deu R$ 3,00 de troco e pagou uma conta da loja no 
valor de R$ 35,00. Quanto ainda restou no caixa dessa loja? 
 
04. Uma pessoa, ao analisar seu extrato bancário, observou que sua conta estava com 
saldo negativo de R$ 125,00. Naquele dia, ainda seria descontado em sua conta 
corrente um pagamento de R$ 67,00, feito em débito automático, e um cheque de 
R$ 92,00. Após esses descontos, qual será o novo saldo dessa conta corrente? 
 
 
 
 
Atividade 2 
 
 
 
 
-3 +2 +14 +2 -14 
+10 -8 -6 -13 +15 -1 
 
12 
 
 
Conforme você já viu anteriormente, o conjunto dos números inteiros surgiu da 
necessidade do homem de utilizar valores negativos. Na multiplicação e divisão de 
números inteiros, devemos seguir algumas condições, de acordo com o sinal dos 
números envolvidos na operação. São essas as regras que iremos estudar a seguir: 
 
1 – MULTIPLICAÇÃODE NÚMEROS INTEIROS: 
 
Quando estudamos os números naturais, vimos que a multiplicação funciona 
como uma forma simplificada de uma adição em que os números são repetidos. 
Vamos relembrar, através de um exemplo bem simples: suponha que você 
ganhe R$ 10 reais em um determinado dia da semana, significa que você ganhou 1 X 
10. Porém, se você ganhar R$ 10 reais na segunda-feira, R$ 10 reais na terça-feira, R$ 
10 reais na quarta-feira, R$ 10 reais na quinta-feira e R$ 10 reais na sexta-feira, então, 
você terá recebido 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 5 X 10. 
 
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à regra de 
sinais apresentada no quadro a seguir: 
 
Sinais dos números Exemplo Resultado do produto 
Iguais 
 ( + ) x ( + ) = + 
 ( – ) x ( – ) = + 
Positivo 
Diferentes 
 ( + ) x ( – ) = – 
 ( – ) x ( + ) = – 
Negativo 
 
Para que você compreenda este quadro com mais clareza, vamos apresentar 
alguns exemplos: 
 
 
 
Aula 3: Multiplicação e Divisão de Números Inteiros 
 
13 
Exemplo 1: 
 (+5) x (+2) = + 10 ou 10 
 (- 5) x (- 2) = + 10 ou 10 
 (+5) x (- 2) = - 10 
 (- 5) x (+2) = - 10 
 
2 – DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS: 
 
Para realizar a divisão de números Inteiros, você deverá dividir os valores e 
colocar o sinal de positivo ou negativo, seguindo as mesmas regras usadas na 
multiplicação de números inteiros. 
 
Exemplo: 
 (+8)  (+2) = + 4 ou 4 
 (- 8)  (- 2) = + 4 ou 4 
 (+8)  (- 2) = - 4 
 (- 8)  (+2) = - 4 
 
Resumindo: quando os números envolvidos na operação tiverem sinais iguais, o 
resultado terá sinal positivo; caso os números envolvidos na operação apresentem 
sinais diferentes, o resultado será negativo. A regra da multiplicação e da divisão é 
bem simples, não acha? 
 Que tal treinar as regras que você acabou de aprender? Então vamos lá! 
 
 
 
 01 . Efetue as multiplicações e divisões abaixo: 
 
 a) (+3) x (+4) = 
 b) (+3) x (-4) = 
 c) (–8) x (+2) = 
 
Atividade 3 
 
14 
 d) (–15) : (–3) = 
 e) (+12) : (-4) = 
 f) (–10) : (+5) = 
 
02. Siga o exemplo e complete as tabelas com os resultados das operações indicadas: 
 
03. Complete: 
 
a) Se 3 x = -6, então = _____ 
b) Se x (-2) = 10, então = _____ 
c) Se  (-3) = -4, então = _____ 
d) Se 25  = -5, então = _____ 
 
04. Em um jogo de perguntas e respostas, você ganha 3 pontos por acerto, perde 2 
pontos por erro e perde 1 ponto se não responder. Se você acertar 9 perguntas, errar 8 
e deixar de responder 5, quantos pontos fará no jogo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X -3 0 +2 -1  +8 -12 -16 +24 
+4 -12 0 +8 -4 -2 -4 +6 +8 - 12 
-5 +4 
-2 -1 
+8 +2 
-1 -4 
 
15 
 
 
Agora que já viu as operações básicas com números positivos e negativos, que 
tal aprendermos um pouco sobre potências e raízes quadradas de números inteiros? 
Essas operações já foram estudadas anteriormente, quando você conheceu os 
números naturais. No entanto, iremos estudá-las agora com relação aos números 
inteiros!! É importante ter atenção com os sinais!! Bom estudo! 
 
1 – POTENCIAÇÃO: 
 
 Toda potência é um produto de fatores iguais. 
 
 expoente 
 
 23 = 2 x 2 x 2 = 8 
 Fatores 
 
 Base potência 
 
 O estudo das potências envolve algumas consequências imediatas que não 
podemos deixar de comentar! No entanto, iremos explicá-las através de exemplos. 
Vamos lá? 
 
Exemplos: 
 50 = 1  Toda potência de expoente zero é igual a 1. 
 (0)2 = 0 x 0 = 0  Toda potência de base zero e expoente diferente de zero 
será sempre igual a zero. 
 (1)2 = 1 x 1 = 1  Toda potência de base um será sempre igual a um. 
 
 
 
Aula 4: Potenciação e Radiciação de Números Inteiros 
 
16 
É importante ter cuidado com os sinais. Observe os exemplos a seguir: 
 (+2)2 = (+2) x (+2) = +4  Toda potência de base positiva é sempre positiva. 
 (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16  Toda potência de base negativa e 
expoente par é positiva. 
 (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32  Toda potência de base negativa e 
expoente ímpar é negativa. 
 
1.6 – PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO: 
 
Agora que você já aprendeu como resolver potências de números inteiros, 
precisará conhecer três propriedades importantes da potenciação. 
 
1ª PROPRIEDADE: Multiplicação de potências de mesma base. 
 Repetimos a base e somamos os expoentes. 
Exemplos: 
 (+5)2 . (+5)4 = (+5)2+4 = (+5)6 
 (-3)5 . (-3)2 . (-3)4 = (-3)5+2+4 = (-3)11 
 
2ª PROPRIEDADE: Divisão de potências de mesma base. 
 Repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
Exemplos: 
 (+5)8 : (+5)2 = (+5)8-2 = (+5)6 
 (-10)12 : (-10)4 = (-10)12-4 = (-10)8 
 
3ª PROPRIEDADE: Potência de um potência. 
 Repetimos a base e multiplicamos um expoente pelo outro. 
Exemplos: 
 [(+6)2]4 = (+6)2 . 4 = (+6)8 
 [(-10)6]2 : (-10)6. 2 = (-10)12 
 
 
 
 (-2)2 é diferente de -22. 
 Vou explicar, veja só: 
(-2)2 representa o quadrado 
de -2, ou seja, (-2) . (-2) = +4 
-22 representa menos o 
quadrado de 2, ou seja – (2 . 
2) = ─ 4 
Entendeu? 
 
17 
2 – RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO NATURAL: 
 
Agora você vai conhecer a radiciação, ou seja, a operação inversa da 
potenciação. A raiz quadrada de um número positivo tem dois valores simétricos, ou 
seja, dois valores iguais, porém com sinais diferentes: 
 9 = +3, pois (+3)2 = (+3) . (+3) = 9 
 9 = ─ 3, pois (─ 3)2 = (─ 3) . (─ 3) = 9 
 9 = +3 ou ─ 3 
 
 Vamos exemplificar para que você possa entender melhor!! 
 
IMPORTANTE: 
 0 = 0, pois 0 x 0 = 0 ou 02 = 0. 
 −9 não existe, pois (+3)2 = +9 e (-3)2 = +9. Portanto, a raiz quadrada de um 
número negativo não pertence ao conjunto dos números inteiros. 
 
Exemplos: 
 25 = 5 ou -5, pois, 5 x 5 = 25 e (-5) x (-5) = 25 
 81 = 9 ou -9, pois, 9 x 9 = 81 e (-9) x (-9) = 81 
 1 = 1 ou -1, pois 1 x 1 = 1 e (-1) x (-1) = 1 
 −49 = não pertence aos números inteiros ( Z), pois 7 x 7 = + 49 e (-7) x (-7) = + 49. 
 
Vamos exercitar um pouco sobre o que você acabou de aprender? Resolva as 
atividades a seguir e, qualquer dúvida, retome os exemplos acima! 
 
 
 
01. Escreva se o resultado de cada item será uma potência positiva ou negativa: 
a) 03 ______________________________ 
 
Atividade 4 
 
18 
b) -511 ______________________________ 
c) -10 ______________________________ 
d) -918 ______________________________ 
e) 91 ______________________________ 
 
02. Efetue: 
a) (-8)2 = f) 4 = 
b) (+1)7 = g) 100 = 
c) (-3)3 = h) 25 = 
d) (-5)0 = i) −1 = 
e) (-16)1 = j) 0 = 
 
03. Descubra o valor de x em cada afirmação abaixo: 
a) x2 = 16  x = _____ d) x = 5  x = _____ 
b) x3 = -8  x = _____ e) x = 1  x = _____ 
c) 2x = 32  x = _____ 
 
04. Utilizando as propriedades da potenciação, simplifique as sentenças abaixo: 
a) (52. 54) = 
b) (27. 26) = 
c) (109: 103) = 
d) (82 : 82) = 
e) (32)6 = 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Você já aprendeu, no 6º Ano, o que é ângulo. Você já deve ter percebido que os 
ângulos estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Se você ainda não 
percebeu, observe esses exemplos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
1 – ÂNGULOS: 
 
Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem. 
 
 
A origem das semirretas é denominada de ponto O, ou vértice do ângulo, e 
pode ser indicada por uma letra maiúscula. 
As semirretas OA e OB são denominadas lados do ângulo. Para identificar esse 
ângulo, utilizamos a notação AÔB. 
 
 
 
Aula 5: Ângulos 
 
Vértice do ângulo20 
1.1 – MEDIDA DE UM ÂNGULO: 
 
 A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura e a unidade 
padrão para medir ângulos é o grau. O símbolo do grau é (o). Para ter uma melhor ideia 
do que significa a medida equivalente a um grau, vamos tomar como exemplo uma 
circunferência. Observe: 
 
Exemplo 1: 
 Uma circunferência tem 360o. Então, o ângulo de um grau seria o equivalente a 
dividir uma circunferência por 360. 
 
 
 Para medir ângulos, utilizamos um instrumento de medida chamado 
transferidor. O transferidor já vem graduado de 1o em 1o. 
 
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm 
 
Nos exemplos acima, apresentamos, respectivamente, um transferidor de 180o 
e um transferidor de 360o. 
 
http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm
 
21 
1.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS: 
 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: agudo, reto, obtuso, 
ou raso. 
 
A) ÂNGULO AGUDO: 
 
 
B) ÂNGULO RETO 
 
 
 
C) ÂNGULO OBTUSO 
 
 
 
D) ÂNGULO RASO 
 
 
 
Agudo é o ângulo com medida 
menor que 90o. 
 
Reto é o ângulo com medida 
igual a 90o. 
 
Obtuso é o ângulo com medida 
maior que 90o e menor que 180º. 
 
Raso é o ângulo com medida 
igual a 180º. 
 
 
22 
1.3 - ÂNGULOS CONGRUENTES: 
 
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. Se 
dois ângulos congruentes forem sobrepostos, ou seja, colocados um sobre o outro, 
todos os seus pontos coincidem. 
 
 
1.4 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO: 
 
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no 
vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais. 
 
 
No exemplo abaixo, a semirreta C é bissetriz do ângulo AÔB e o divide em duas 
partes iguais. O ângulo AÔB mede 40o e a bissetriz C divide esse ângulo em dois 
ângulos de 20o cada um. 
 
 
23 
1.5 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES: 
 
Ângulos complementares são dois ângulos que, somados, totalizam 90º, isto é, 
um é o complemento do outro. 
 
 
Exemplo: Se  = 30o, então  = 90 o - 30 o = 60 o. 
 
1.6 – ÂNGULOS SUPLEMENTARES: 
 
Ângulos suplementares são dois ângulos que, somados, totalizam 180º, ou seja, 
um é o suplemento do outro. 
 
 
Exemplo: Se  = 110o, então  = 180 o - 110 o = 70 o. 
 
Agora que você já estudou alguns dos principais conceitos relacionados aos 
ângulos, vamos exercitar o que você aprendeu!! 
 
α + β = 90o 
α = 90o – β ou ainda β = 90 o – α 
α + β = 180o 
α = 180o – β ou ainda β = 180 o – α 
 
24 
 
 
01. Observe o transferidor abaixo e dê as medidas dos ângulos indicados, conforme o 
exemplo: 
 
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm 
 
a) med (AÔB) = 27o 
b) med (AÔC) = 
c) med (AÔD) = 
d) med (AÔE) = 
 
02. Complete: 
 
a) Um ângulo que mede 90o chama-se ângulo _________________________________. 
b) Se dois ângulos são complementares e um deles mede 25 o, entro outro mede ____. 
c) O suplemento de um ângulo de 135o mede ______. 
d) Um ângulo que mede entre 90o e 180o chama-se ângulo ______________________. 
e) A semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois 
ângulos com medidas iguais é chamada de _____________________. 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm
 
25 
03. Calcule o valor de x nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
04. Observe o mapa abaixo, onde as vias principais estão demarcadas em amarelo. 
Localize no mapa duas vias que formem um ângulo reto, outras duas que formem 
um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo raso. Como exemplo, já 
localizamos para você um ângulo reto. 
 
 
Fonte: https://maps.google.com.br 
 
 
 
 
Ângulo reto 
https://maps.google.com.br/
 
26 
 
 
 
Como você já viu na aula anterior, o transferidor mede ângulos com intervalos 
de 1 em 1 grau. No entanto, existem ângulos que não possuem como medida um 
número inteiro de graus. Neste caso, iremos trabalhar com os submúltiplos do grau, ou 
seja, com minutos e segundos. 
 
1 – SUBMÚLTIPLOS DOS ÂNGULOS: 
 
 Os submúltiplos do grau são representados pelos seguintes símbolos: ( ‘ ) e (“). 
Sendo assim, lê-se: 
 2° 32’ 40’’ = dois graus, trinta e dois minutos e quarenta segundos. 
 
 Observe que: 
 
 1 minuto = 1 do grau, ou seja, 1o = 60’ (1 grau é igual a 60 minutos) 
 60 
 1 segundo = 1 do minuto, ou seja, 1’ = 60” (1 minuto é igual a 60 segundos) 
 60 
Exemplos: 
a) Como expressar 15o em minutos? 
 Se 1o é igual a 60’, então, 15o = 15 x 60 = 900’. 
 
b) Como expressar 90’ em graus e minutos: 
 90´= 1 x 60 + 30´ 
 90´= 1o 30’ (1 grau e 90 minutos). 
 
 
 
 
 
Aula 6: Operações com ângulos 
 
90’ 60 
30’ 1° 
 
27 
2 – OPERAÇÕES COM ÂNGULOS: 
 
 Operar com os ângulos é uma tarefa aparentemente fácil, mas exige um pouco 
de atenção, pois, em alguns momentos, é necessário realizar algumas transformações 
como as que aprendemos no início desta aula. No entanto, não iremos abordar aqui 
estes casos mais complexos! 
 
2.1 – ADIÇÃO DE ÂNGULOS: Para encontrar a soma de duas ou mais medidas de 
ângulos, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus 
com graus, fazendo a simplificação quando necessário. 
Exemplo: 12o 17’ 30” + 20o 5’ 15” = 
12o 17’ 30” 
 + 20o 5’ 15” 
32o 22’ 45” 
 
2.2 – SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS: Para subtrair duas medidas de ângulos, devemos 
subtrair segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Em alguns 
casos, devemos fazer as transformações. 
Exemplo: 52o 17’ 50”─ 1o 5’ 18”= 
 52o 17’ 50” 
─ 41o 5’ 18” 
 11o 12’ 32” 
 
2.3 - MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS POR UM NÚMERO NATURAL: Para multiplicar 
uma medida de ângulo por um número natural, devemos multiplicar os segundos, os 
minutos e os graus por esse número. Se precisar, devemos fazer as transformações. 
Exemplo: 42o 15’ 23” x 2 = 
42o 15’ 23” 
x 2 
82o 30’ 46” 
 
 
 
28 
2.4 - DIVISÃO DE ÂNGULOS POR UM NÚMERO NATURAL: Para dividir uma medida de 
ângulo por um número natural, devemos dividir os graus, os minutos e os segundos 
separadamente, não esquecendo que, se for possível, devemos transformar os restos. 
Exemplo: 58o 62’ 46” : 2 
 
58o 62’ 46” 2 
 00o 00’ 00” 29o 31’ 23” 
 
Agora é hora de exercitar o que aprendemos!! 
 
 
 
01. Escreva como se leem as medidas: 
 a) 35o 25’ = 
 b) 3o 14’ 51” = 
 c) 15o 47’ 13” = 
 
02. Faça os cálculos e responda: 
 a) Quantos minutos há em 6o ? 
 b) Quantos segundos há em 15´ ? 
 c) Quantos segundos há em 3o ? 
 
03. Segundo as explicações dadas, efetue: 
 a) 35o 29’ 13” + 19o 13’ 40” = 
 b) 32o 40’ 18” - 13o 18’ 12” = 
 c) 16o 15’ 14” x 3 = 
 d) 48o 50’ 12” : 2 = 
 
Atividade 6 
 
29 
 
 
01. Localize e assinale na reta numérica abaixo: 
 a) A = +7 
 b) B = ─ 5 
 c) C = ─ 1 
 O 
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 0 
 
02. Calcule: 
 a) (-8) + (10) + (-3) = 
 b) (+5) x (-7) = 
 c) (-32) : (-8) = 
 d) (-3)2 = 
 e) 36 = 
 
03. Descubra o valor de x em cada afirmação abaixo: 
a) x2 = 25  x = _____ 
c) x = 4  x = _____ 
b) x3 = -27  x = _____ 
d) x = 1  x = _____ 
 
04. Utilizando as propriedades da potenciação, simplifique as sentenças abaixo: 
 a) (23. 26) =b) (87: 85) = 
c) (53)4 = 
 
 
 
 
 
Avaliação 
 
 
30 
05. Observe o transferidor abaixo e responda: 
 
a) med (AÔB) = d) med (AÔE) = 
b) med (AÔC) = e) med (AÔF) = 
c) med (AÔD) = f) med (AÔG) = 
 
06. Calcule o valor de x nas figuras abaixo: 
 
 
07. Efetue: 
 a) 42o 23’ 37” + 29o 46’ 42” = 
 c) 36o 17’ 08” x 3 = 
 
 
 
31 
 
 
 Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 1° 
bimestre, é hora de relaxar um pouco. 
 Leia atentamente as questões a seguir e, através de uma pesquisa, responda 
cada uma delas de forma clara e objetiva. 
 
Atenção: Não se esqueça de identificar as fontes de pesquisa, ou seja, o nome dos 
livros e sites que foram utilizados na sua pesquisa. 
 
I – Apresente alguns exemplos de situações reais em seu dia a dia onde você se depara 
com números inteiros negativos. 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
 
II – No calendário Cristão, o nascimento de Cristo é considerado o marco zero (0). 
Pesquise e desenhe abaixo o diagrama conhecido por linha do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III – Assista ao vídeo sugerido sobre os ângulos no nosso cotidiano e escreva suas 
observações sobre a existência dos ângulos em quase tudo que nos cerca. 
O vídeo está disponível em http://www.youtube.com/watch?v=BMEk1MBf3Ko 
________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Pesquisa 
http://www.youtube.com/watch?v=BMEk1MBf3Ko
 
32 
 
 
[1] Bianchini, Edwaldo. Matemática. 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006. 
[2] Bosquilha, Alessandra. Mini-manual compacto de matemática: teoria e Prática. 2 
ed. São Paulo: Rideel, 2003. 
[3] Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Volume 1, 3ed. São Paulo: Ática, 2003. 
[4] Ferreira, Marcus Vinicius Reis. Geometria Analítica e Espacial. 1 ed. Rio de Janeiro, 
2004. 
[5] Giovanni, José Ruy, 1937 – A conquista da matemática. Volume 1, Edição renovada. 
São Paulo: FTD, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
 
33 
 
 
 
 
COORDENADORES DO PROJETO 
Diretoria de Articulação Curricular 
Adriana Tavares Maurício Lessa 
 
Coordenação de Áreas do Conhecimento 
Bianca Neuberger Leda 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Fabiano Farias de Souza 
Peterson Soares da Silva 
Ivete Silva de Oliveira 
Marília Silva 
 
COORDENADORA DA EQUIPE 
 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Assistente Técnico de Matemática 
 
 
PROFESSORES ELABORADORES 
 
Alan Jorge Ciqueira Gonçalves 
 Ângelo Veiga Torres 
Daniel Portinha Alves 
Fabiana Marques Muniz 
Herivelto Nunes Paiva 
Izabela de Fátima Bellini Neves 
Jayme Barbosa Ribeiro 
 Jonas da Conceição Ricardo 
José Cláudio Araújo do Nascimento 
Reginaldo Vandré Menezes da Mota 
 Weverton Magno Ferreira de Castro 
 
 
Equipe de Elaboração