CÁLCULO APLICADO a UMA VARIÁVEL atividade 2

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• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de 
grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas 
por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para 
derivar, também, as funções trigonométricas. 
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, V. 
Resposta Correta: 
V, F, F, V. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é 
verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de 
derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função 
cossecante é dada por Por fim, a afirmativa III também é 
falsa desde quando a derivada da cotangete é 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código 
com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em 
que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º 
dígito: , em que Para descobrir qual é o código, encontre o valor das 
derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 1, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 1, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, 
obteve-se o código igual a 2114. Cálculos: 
1º dígito: , em que . 
 
2º dígito: , em que 
 
3º dígito: , em que 
 
4º dígito: , em que 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da 
reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e 
da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta 
normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta 
normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o 
coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do 
valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta 
normal é igual a 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a 
derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do 
 
professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez 
as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II e a relação proposta 
entre elas. 
 
I. A derivada da função é igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Resposta 
Selecionada: 
 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Resposta Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De 
acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional 
é igual a , diferentemente da derivada proposta na 
afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi 
utilizada a regra do quociente para derivar. 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, 
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de 
funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da regra prática 
de Ruffini para facilitar os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. 
Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, 
a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de 
Ruffini, e , portanto, o valor do limite é igual a : . 
 
 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: 
deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, 
derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções 
constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos 
que = Derivada do Quociente. = Derivada da 
Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o 
líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através 
da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse 
contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, 
quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado. 
 
Resposta Selecionada: 
4,875 litros/horas. 
Resposta Correta: 
4,875 litros/horas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do 
gotejamento do líquido no recipiente em relação ao tempo, 
 
basta derivar a função e aplicar o ponto horas, como 
mostram os cálculos a seguir. 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, 
para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. 
Para funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do 
polinômio, através da regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do 
polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o 
limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . 
Para fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da 
diferença, portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, por 
Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como , como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica difícil 
explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a . 
Pois: 
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras,e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira 
y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De 
fato, a derivada de y=f(x) é igual a e é claro que ao 
aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual 
a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte 
forma: funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem 
até 1ª derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim 
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma 
função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A derivada correta é igual a . 
Inicialmente, deve-se utilizar a regra do quociente para obter a 
primeira derivada, que é igual a: . Daí, deriva-se novamente 
para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do 
quociente. Portanto, temos: