Unidade 1

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Interfaces da Matemática 
com a Física: 
Oscilações e Ondas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
Introdução às oscilações
• Introdução
• Movimento periódico
• Movimento harmônico simples (MHS)
• Exercícios de Aplicação
Apresentar os conceitos e aplicações dos conteúdos de:
 · Movimento Harmônico Simples;
 · Lei do Movimento Harmônico;
 · Energia do Movimento Harmônico.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Prezado estudante,
Iniciamos esta Unidade da Disciplina, Interfaces da Matemática com a Física: 
Oscilações e Ondas, com o tema: Introdução às Oscilações.
Portanto, nesta Unidade, estudaremos:
Movimento Harmônico Simples;
Lei do Movimento Harmônico;
Energia do Movimento Harmônico.
Desse modo, ao término desta Unidade, desejamos que você seja capaz de 
resolver atividades envolvendo o estudo de oscilações.
Para tanto, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça todos 
os exemplos e anote suas dúvidas. 
Assim sendo, fique atento às atividades avaliativas e aos prazos de entrega. 
Tenha um ótimo estudo!
ORIENTAÇÕES
Introdução às oscilações
UNIDADE Introdução às oscilações
Contextualização
O forno de microondas
Este era um pequeno micro-ondas na década de 50 
Fonte: static.guim.co.uk
Ele foi inventado em 1947, mas 
popularizou-se no Brasil apenas 
no início da década de 1990. 
Considerado uma grande inovação 
à época, o forno de micro-ondas 
surpreendeu os usuários ao cozinhar 
com muita rapidez alimentos que 
demandariam muito mais tempo 
em forno convencional. Descongelar 
uma peça de carne, que demorava cerca de 5 horas, passou a ser uma tarefa 
simples e rápida com o auxílio do aparelho. Atualmente, não é raro uma 
casa ter apenas o forno de micro-ondas e não possuir um tradicional para o 
preparo de receitas.
Atualmente, o forno é até objeto 
de decoração na cozinha
Fonte: iStock/Getty Images
Mesmo assim, muitos questionamentos sugerem 
que, apesar de amplamente difundido, o forno 
de micro-ondas ainda desperta curiosidade 
relacionada ao seu funcionamento. Então, para 
solucionar as principais dúvidas, o professor de 
química Daniel Légora, do Colégio Aprovado, em 
Macaé, interior do Rio, foi escalado para colaborar 
na compreensão deste aparelho que já se tornou 
imprescindível em nossas cozinhas. E ele inicia com 
uma curiosidade sobre a criação do aparelho: 
“O primeiro micro-ondas que foi comercializado pesava 340 kg e tinha quase 
2 metros de altura. Ou seja, seriam inviáveis para uso doméstico nesse 
formato”, diz Daniel.
Para ler este artigo na íntegra, acesse:
 “Descubra curiosidades, mitos e segredos do forno de micro-ondas”, publicado no Site 
G1 em 30/05/2014 por Flavio Flarys.
Disponível em: http://goo.gl/ifWSY5
Ex
pl
or
1) Que relação existe entre o tamanho das ondas emitidas por um forno de micro-ondas e o 
aquecimento dos alimentos?
2) Existe a possibilidade de vazar as micro-ondas com a porta fechada?
3) Qual é o princípio que os alimentos passam para ser aquecidos?
4) Que outras aplicações existem para o micro-ondas?
Ex
pl
or
6
7
Introdução
Por que aquela pedra
que lançamos sobre a água faz
com que círculos se formem
em seu entorno? A sirene de uma ambulância
nos dá a impressão de que o som
se aproxima e se afasta!
Como as cordas do violão
podem emitir sons distintos?
Com esses pensamentos, estamos nos referindo a pontos que serão discutidos, 
a seguir, a fim de que você possa entender melhor os tópicos relacionados às 
questões que envolvem oscilações e ondas:
Uma onda pode ter seu comprimento medido como a distância entre duas cristas, 
ou pode-se dizer que é o comprimento de uma oscilação completa. A amplitude de 
uma onda é dada pela diferença entre os valores máximo e mínimo, como se pode 
observar na figura a seguir:
Alguns elementos de uma onda
A velocidade de uma onda é dada pela multiplicação de seu comprimento de 
onda pela freqüência. Exemplificando temos o comprimento de onda que pode ser 
escrito pela relação entre a velocidade da onda de 300.000Km/s, e a freqüência 
da onda, apresentada a seguir:
v f=� �.λ
7
UNIDADE Introdução às oscilações
Onde:
• c é a velocidade da luz;
• λ é o comprimento da onda;
• f a frequência.
O período de uma onda está relacionado com sua frequência. A frequência é 
dada por f
T
=
1 e o período pode ser obtido ��T
f
=
1 .
Exemplo 1: Certa onda possui uma frequência 20Hz. Qual o período dessa 
onda?
Considerando que o valor da frequência é de f = 20Hz, podemos determinar 
o período por meio da relação T
f
=
1 .
T
T s
=
=
1
20
0 05, .
,
Exemplo 2: As diversas luzes coloridas que enxergamos possuem freqüências 
de oscilação associadas para cada luz monocromática, isto é, para cada cor pura. 
Um olho normal envia sinais elétricos para o cérebro diferentes para cada cor, que 
os interpreta e faz a distinção de cada cor. Sabe-se que a cor amarela tem uma 
freqüência aproximada de 5.1014Hz. Determine o comprimento aproximado dessa 
onda, considerando a velocidade da luz como referência.
 
c f
c km/s
f H z
=
=
=
=
� �.
.
.�
�
.�
.�
λ
λ
 300000
5 10
300.000.000
5 10
3 10
5 10
1
14
5
1
4
44 =
=
�λ
λ 6 .10-9m
8
9
Movimento periódico
Quando, em intervalos de tempo repetitivos e de iguais valores, um movimento 
que se repete recebe a denominação de movimento periódico. O período é dado 
pela relação já discutida ��T
f
=
1
 , e é medida em segundos. A frequência, por sua 
vez, mede ciclos por segundo e usamos a denominação Hertz (Hz).
Quando imaginamos T como sendo o período para se realizar uma volta 
completa em um círculo e f é a freqüência como o numero de voltas ou ciclos por 
unidade de tempo, estamos discutindo sobre um movimento circular uniforme.
ϕC
O(origem)
R
P
s
Variação angular
MCU
A velocidade angular Ω é dada pela relação entre a variação angular e a variação 
de tempo. Teremos uma volta completa quando a circunferência for totalmente 
percorrida, ou seja, o angulo de 2π rad. 
Diante dessas relações, podemos escrever as seguintes equações para velocidade 
angular:
Ω
t
Ω
T
=
=
∆ϕ
∆
2π
Ω
T
=
2π
Considerando que f
T
=
1
 , temos: Ω = 2 π.f
Considerando o raio da circunferência, e a variação do espaço o arco formado 
pelo deslocamento, podemos afirmar que:
∆ϕ
∆
∆ ∆
=
=
�
� ϕ �.
s
a
s a
Como V S
t
= 
∆
∆
, temos: V a
t
V a
=
=
�
�.
�Ω.
∆ϕ
∆
9
UNIDADE Introdução às oscilações
Movimento Harmônico Simples (MHS)
O movimento harmônico simples é um movimento de característica periódica 
e oscilatória.O nome harmônico vem da matemática, mas especificamente da 
trigonometria, em virtude das funções horárias desse movimento serem senoidais 
ou cosenoidais.
Um movimento que se realiza simetricamente a um ponto de equilíbrio pode 
ser considerado um movimento oscilatório. Vale ressaltar que podem se apresentar 
exemplos em que um movimento possui simetria em relação a um ponto de 
equilíbrio mas que não sejam oscilatórios. Por meio do estudo de um pêndulo 
simples podemos explorar alguns conceitos do MHS.
O ângulo Ѳ é o que representa a amplitude do pêndulo. E para amplitudes 
pequenas, tem-se que:
T
l
g
= 2π �.�
Onde:
• T é o período de tempo;
• l o comprimento do pêndulo;
• g a aceleração da gravidade.
Exemplo: Consideremos um pêndulo de comprimento 20 cm, que realiza 
pequenas oscilações. Tendo em vista a aceleração da gravidade local como 
g=10 m/s2, determine o período e a frequência das oscilações.
l = 20 cm = 0,2 m
g= 10 m/s2
10
11
T
L
g
T
T
T
T
 
 
 
 
 
=
=
=
=
=
2
2
0 2
10
2 0 02
2 0 141
6 28
. .
. .
,
. . ,
. . ,
, .
π
π
π
π
00 141
0 888
1
1
0 888
1 12Hz
,
,
�
�
�
�
,
�, �
T s
f
T
f
f
 =
=
=
=
Ao estudar um movimento harmônico simples, considera-se, didaticamente, o 
uso de um oscilador harmônico. 
Um exemplo de oscilador harmônico nada mais é que um sistema em que um corpo 
de massa m está preso a uma mola de constanteelástica K.
Quando trabalhamos com um sistema de conservação de energia, considera-se 
que a energia total do sistema, a energia mecânica, é a soma da energia cinética 
com a energia potencial. A seguir, vamos apresentar as equações das energias 
cinética e potencial.
Em=Ec+Ep
Energia cinética está relacionada aos corpos em movimento.
Ec m v= � .
2
2
, em que:
• m é a massa;
• v é a velocidade.
Energia Potencial elástica:
Ep
k x
= �
. 2
2 , em que:
• K é a constante elástica;
• x é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio.
Observação: Quando uma partícula/corpo estiver localizada em pontos 
extremos x= ± A e v=0. Nessas condições, E = k A.
2
2
11
UNIDADE Introdução às oscilações
Exemplo 1: Imaginemos um corpúsculo que realiza um MHS. Sabe-se que a 
massa desse corpo é de 90g, a constante elástica da mola é de 10 N/m, sendo o 
valor momentâneo do processo oscilatório que varia com o tempo, a elongação, 
é de 20 cm e a velocidade escalar de 1 m/s. Calcule a energia mecânica do corpo:
Em Ec Ep
Em
m v k x
Em
Em
= +
= +
= +
( )
=
−
−
. .
.� . . ,
� .
2 2
3 2 2
2 2
90 10 1
2
10 0 2
2
90 10 33
3
2
10 0 04
2
45 10 0 2
0 045 0 2
0 245
+
= +
= +
=
−
. ,
.� �,
, �,
, ��
Em
Em
Em J
Exercícios de Aplicação
Os exercícios, a seguir, trazem os conceitos estudados nesta unidade. Tente 
resolvê-los e depois compare com as expectativas de respostas indicadas abaixo de 
cada um dos exercícios.
Exercício 1: Sabendo que certa onda possui freqüência de 5.1014 Hz e a 
velocidade desta onda é de 300000km/s, determine o comprimento desta onda.
Expectativa de Resposta:
A primeira relação a ser feita é associar a ideia de velocidade da luz ao produto 
do comprimento da onda pela frequência.
C f
C km s
F Hz
λ
=
=
=
= −
� �.
/
.
�. �.
.�
λ
 300.000
5 10
300.000.00 5 10
300.000.00
5 10
14
14
=
=
14
8
14
3 10
5 10
�
.�
.�
�
λ
λ
f=6.10-7m
12
13
Exercício 2: Imagine um equipamento baseado no uso de um pêndulo com 
comprimento 40 cm, que realiza pequenas oscilações. Considerando a aceleração da 
gravidade local como g = 10m/s2 , determine o período e frequência das oscilações:
Expectativa de resposta:
Inicialmente, é preciso converter de cm para m o comprimento do pêndulo.
L = 40 cm = 0,4 m
g = 10 m/s2
T
L
g
T
 
 
=
=
2
2
0 4
10
.
. .
,
π
π
T
T
T
T s
f
T
f
 
 
 
 
=
=
=
=
=
=
2 0 04
2 0 2
6 28 0 2
1 256
1
1
1
. . ,
. . ,
, . ,
,
�
�
�
�
π
π
,,256
f= 0,796 Hz
Exercício 3: Considere que uma mola, com força elástica de 50 N/m, tem 
presa a sua extremidade um corpo de massa x. Determine a energia potencial do 
movimento, tendo por base uma elongação de 0,1m:
Expectativa de resposta:
k x
Ep
Ep
Ep
Ep
Ep J
.
. ,
. ,
, �
2
2
2
50 0 1
2
50 0 01
2
5
2
2 5
=
=
=
=
=
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UNIDADE Introdução às oscilações
Exercício 4: Um maquinário utiliza-se de um pêndulo em movimento que 
apresenta um período de 3 segundos. Considerando que esse maquinário está na 
Terra e por isso, sujeito a uma aceleração da gravidade de aproximadamente 10 m/s2, 
o que aconteceria com o período desse pêndulo se fosse submetido a uma gravidade 
equivalente à metade da aceleração da gravidade local ?
Expectativa de resposta:
Tt
Tx
L
gT
L
gx
Tt
Tx
gT
gx
gx
gT
Tx
gt
gT
Tx
=
= =
= =
= = ≅
2
2
1
1
3
1
2 1
2
3 2 4 2426 4
π
π
. ,, .2s
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Física Completa – Volume único
BONJORNO, Regina Azenha. FTD, São Paulo 2001.
 Sites
Movimento Oscilatório
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/movpereosc2.php
Ondulatória – Ondas
http://www.infoescola.com/fisica/ondulatoria-ondas/
Conhecimento: entenda como as ondas sísmicas se propagam
http://www.apolo11.com/terremotos_wave.php
 Leitura
A experimentoteca vai à escola: ensinando oscilações e ondas através de experimentos
O artigo mostra uma interessante intervenção de licenciados em uma escola de 
ensino médio, que por meio da experimentação puderam desenvolver conteúdos 
até então realizados somente em sala de aula com uso de aula tradicional. Os 
autores são: SILVA, Wagner Muniz; SILVA, Jean Duarte e; ALMEIDA, Letícia 
Francisca; SILVA, Marcioníleo Teles de Oliveira; PEREIRA, Ana Rita, publicado no 
Blucher Physics Proceedings. O artigo pode ser encontrado no endereço a seguir:
http://goo.gl/olxAXy
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UNIDADE Introdução às oscilações
Referências
BONJORNO, Regina Azenha. Física Completa - Volume único. FTD, São 
Paulo 2001. 
CALÇADA, S.C; SAMPAIO, J.L. Física Clássica: Óptica e Ondas. Editora Atual, 
São Paulo, 1995
FUKE,L.F; CARLOS, T.S;KAZUHITO, Y. Os Alicerces da Física: Termologia 
Óptica Ondulatória, Editora Saraiva, São Paulo, 1998.
HALLIDAY, D; RESNICK,R; WLAKER, J. Fundamentos da Física 2: gravitação, 
ondas e termodinâmica. Editora LTC, São Paulo, 2004.
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