Material teórico - Matemática Financeira

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Matemática Financeira 
 
 Introdução 
 
A Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em uma operação financeira, bem como os 
métodos de análise empregados. Fundamentalmente, o objetivo do estudo da Matemática Financeira tem 
como base uma definição de tomada de decisões. É mais adequado comprar à vista um produto ou parcelar 
a quantia e aplicar o referido valor? Compensa “adiantar” a última parcela do financiamento do meu veículo 
ou devo aplicar a quantia? Essas perguntas poderão ser respondidas com segurança após o estudo desse 
tópico. 
 
Definições Básicas 
 
Capital (C): qualquer valor monetário que uma pessoa empresta ou investe durante certo tempo. Também 
chamado Capital Inicial, Principal, Valor Presente ou Atual. 
Juro (J): Remuneração oriunda do empréstimo de capital, uma vez que o emprestador deixa de usar o valor 
emprestado (Capital) durante certo tempo e, também em função da perda do poder aquisitivo do dinheiro pela 
inflação. 
Montante (M): Representa a soma do capital (C) com os juros (J) capitalizados durante um certo período de 
tempo. Também denominado Valor Futuro ou Valor de Resgate. 
Taxa de Juros (i): Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual sobre o capital. 
 
 
 
 
 
 
 
 Regimes de Capitalização 
 
 Regime de Capitalização Simples: Quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente sobre o 
capital inicialmente aplicado, ao longo dos períodos de tempo a que se referir uma determinada taxa i de 
juros. O juro gerado em cada período é constante e igual ao capital vezes a taxa. Ou seja, os juros simples 
de uma aplicação gerados a cada mês serão iguais a C . i. Caso fique aplicação durante “n” períodos de 
tempo, o valor dos juros será dado por: 
 
 
 
 
 
C 
 M 
t 
J = M−C 
 
 J = C . i . n 
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Exercícios resolvidos 
 
1) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado durante 6 meses à uma taxa de juros de 1% ao mês, sob o 
regime de capitalização simples. Calcule: 
 
a) Os juros dessa aplicação 
Resolução: 
 
Como se trata de uma aplicação sob o regime de capitalização simples, os juros são dados por C . i . n. 
 
Logo, J = 2000 . 0,01 . 6 = 120 reais. 
 
b) O montante da aplicação 
Resolução: 
 
Lembre-se que, independente do regime de capitalização, o montante será sempre igual ao Capital somado 
com os juros produzidos, ou seja M = C + J. Neste caso, temos que: 
 
M = 2000 + 120 = 2120,00 reais. 
 
2) Determine o montante gerado por uma aplicação de R$ 5000,00 à juros simples, à taxa de 3% a.m 
durante 2 anos. 
Resolução: 
O primeiro procedimento a perceber neste exercício é que a taxa de juros e o tempo está em unidades 
diferentes. Logo, converteremos 2 anos para meses. 
2 anos = 24 meses. 
 
Em seguida, vamos calcular os juros produzidos nessa aplicação. 
 
J = C . i . n = 5000 . 0,03 . 24 = 3600 reais 
 
Logo, como M = C + J, temos que: 
 
M = 5000 + 3600 = 8600,00 reais. 
 
 
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3) Determine o capital que foi aplicado em uma operação à juros simples, à taxa de juros de 1,5% a.m, 
durante 6 meses e gerou um montante de R$ 14.000,00. 
 
Resolução: 
 
Sabemos que M = C + J. Neste caso, C + J = 14000,00 
 
Por outro lado, temos que J = C . i . n. Logo J = C . 0,015 . 6 
 
Então, temos que: 
 
C + J = 14000,00 ⇒ C + C . 0,015 . 6 = 14000 ⇒ C . (1 + 0,09) = 14000 ⇒ 1,09 C = 14000 
 
C = 
14000
1,09
 = 12844,04 
 
 
4) Um aparelho de TV é vendido à vista por R$ 1800,00 ou à prazo com 20% de entrada mais uma 
parcela de R$ 1600,00 após um mês. Qual a taxa de juros simples desse financiamento? 
 
Resolução: 
 
Para calcularmos a taxa de juros simples, vamos determinar: 
 
- O valor pago de “entrada”: 20% de 1800 = R$ 360,00 
- Valor financiado: R$ 1440,00 (1800,00 – 360,00) 
- Valor pago no financiamento: R$ 1600,00 
- Juros do financiamento: R$ 1600,00 – R$ 1440,00 = R$ 160,00 
 
Logo, como J = C . i . n, temos que: 
160 = 1440 . i . 1 ⇒ i = 
160
1440
 ⇒ i ≈ 0,11 ≈ 11% 
 
 
 
 
 
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5) Determine a taxa mensal que um capital deve ser aplicado, a juros simples, para duplicar em um 
prazo de 6 meses. 
 
Resolução: 
 
Consideremos um capital C. Queremos um montante de 2C, tendo em vista que pretendemos duplica-lo. 
Como, M = C + J, temos que: 
2C = C + (C . i . n) ⇒ 2C = C + C . i . 6 ⇒ 2C = C . (1 + 6i) ⇒ 2 = 1 + 6i ⇒ 6i = 1 ⇒ i = 
1
6
 ⇒ i = 0,1666 ... 
Logo, a taxa mensal (aproximada) a que devemos aplicar um capital para que ele duplique em 6 meses, à 
juros simples de 16,7%. 
 
 
Como já entendemos a evolução do montante gerado por um capital à juros simples, vamos analisar a tabela 
abaixo: 
 
Mês Capital (R$) 
Taxa de juros 
(%) 
Juros Montante 
0 C i 0 C 
1 C i C . i C + C . i 
2 C i C . i C + C . i + C . i 
3 C i C . i C + C . i + C . i + C . i 
4 C i C . i C + C . i + C . i + C . i + C . i 
... ... ... ... ... 
n C i C . i C + C . i + C . i + C . i + C . i + ... + C . i 
 
 
Perceba que o montante a juros simples evolui segundo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é C 
e a razão é C.i, isto é, evolui linearmente. 
 
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Exercícios propostos: 
1. Alexandre pegou dois empréstimos com seus familiares, totalizando R$ 20.000,00. Ele combinou pagar 
juros simples de 8% ao ano em um dos empréstimos e de 5% ao ano no outro. Após um ano nada foi pago, 
e por isso sua dívida aumentou de R$ 20.000,00 para R$ 21.405,00. 
 
Quanto foi tomado emprestado de cada familiar? 
a) R$ 2.600,00 e R$ 17.400,00. 
b) R$ 4.000,00 e R$ 16.000,00. 
c) R$ 6.500,00 e R$ 13.500,00. 
d) R$ 7.700,00 e R$ 12.300,00. 
e) R$ 8.200,00 e R$ 11.800,00. 
 
2. Certo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considerando o mês comercial (30 
dias), o montante será o triplo do valor inicial ao final de: 
 
a) 4 anos, 4 meses e 20 dias. 
b) 5 anos, 10 meses e 10 dias. 
c) 4 anos, 5 meses e 5 dias. 
d) 5 anos, 6 meses e 20 dias. 
e) 3 anos, 10 meses e 5 dias. 
 
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3. Diante da crise que o país atravessa, uma financeira oferece empréstimos a servidores públicos cobrando 
apenas juro simples. Se uma pessoa retirar R$ 8.000,00 nessa financeira, à taxa de juro de 16% ao ano, 
quanto tempo levará para pagar um montante de R$ 8.320? 
a) 2 meses 
b) 3 meses 
c) 4 meses 
d) 5 meses 
e) 6 meses 
 
4. Bruno fez um empréstimo de R$ 1.000,00 a juros simples mensais de 10%. Dois meses após, pagou 
R$ 700,00 e um mês depois desse pagamento, liquidou o débito. Este último pagamento, para liquidação do 
débito, foi de 
a) R$ 550,00. 
b) R$ 460,00. 
c) R$ 490,00. 
d) R$ 540,00. 
 
5. Analise as seguintes situações: 
 
1. Seu João fez um empréstimo de R$ 1.000,00, no Banco A, a uma taxa de juros simples; após 4 meses, 
pagou um montante de R$ 1.320,00 e quitou sua dívida. 
2. Dona Maria fez um empréstimo de R$ 1.200,00, no Banco B, a uma taxa de juros simples; após 5 meses, 
pagou um montante de R$ 1.800,00 e quitou a dívida. 
 
A taxa mensal de juros simples cobrada pelo Banco A e pelo Banco B, respectivamente, é: 
a) 8% a.m. e 10% a.m. 
b) 18% a.m. e 13% a.m. 
c) 6,4% a.m. e 12,5% a.m. 
d) 13% a.m. e 18% a.m. 
e) 10% a.m. e 8% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: 
 
- à vista, no valor de R$ 860,00; 
- em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. 
 
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 15% 
d) 18% 
 
7. Uma pessoa vai a uma loja comprar um aparelho celular e encontra o aparelho que deseja adquirir 
com duas opções de compra: à vista com 10% de desconto; ou em duas parcelas iguais e sem desconto, 
sendo a primeira parcela no ato da compra e a outraum mês após. 
Com base nos dados de oferta deste aparelho celular, pode-se afirmar que a loja trabalha com uma taxa 
mensal de juros de: 
a) 0% 
b) 1% 
c) 5% 
d) 10% 
e) 25% 
 
Gabarito: 
1) C 
 
2) D 
 
3) B 
 
4) A 
 
5) A 
 
6) C 
 
7) E