Matemática Financeira: Juros Simples e Compostos

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Aula 1: Valor do dinheiro no tempo
À taxa porcentual p% associamos a razão P/100 e assim, calcular p% de uma quantidade qualquer e multiplicá-la pela razão.
Fator de atualização:
Se o aumento for de:
15% → 100 + 15 = 115% → fator de atualização = 1,15
19,21% → 100 + 19,21 = 119,21% → fator de atualização = 1,1921
70% → 100 + 70 = 170% → fator de atualização = 1,7
6% → 100 + 6 = 106% → fator de atualização = 1,06
300% → 100 + 300 = 400% → fator de atualização = 4
Caso haja redução:
-20% → 100 – 20 = 80% → fator de atualização = 0,8
Se o fator de atualização for, por exemplo:
1,32 → 132% - 100% = 32% → aumento
0,94 → 94% - 100% = -6% → redução
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro se modifica no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Correção do valor do dinheiro no período:
6% de 1000 = 6/100 . 1000 = 60
Saldo em 1º de janeiro de 2011:
R$1.000,00 + R$60,00 = R$1.060,00
Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação acumulada no trimestre?
100 + 6% = 106; 106 + 8% = 114,48; 114,48 + 10% = 125,928
De 100 passou para 125,928. Portanto, houve um aumento de 25,928%.
2ª solução: Por fatores.
Fator acumulado: 1,06 . 1,08 . 1,10 = 1,25928
Fator 1,25928 → índice 25,928%
Um preço tem reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual o aumento do segundo mês?
138 – 120 = 18
Então: 𝑝/100 . 120 = 18, logo, p = 15%
2ª solução: Por fatores.
1,2 . x = 1,38
x = 1,15 ou 15%
descontar % → dividir fatores
Certa categoria profissional conseguiu no Tribunal do Trabalho, para junho, reajuste de 62,5% sobre os salários de janeiro, descontadas as antecipações. Como houve um adiantamento de 25% em março, que valor percentual deve incidir sobre os salários de abril para cumprir determinações judiciais?
Diferença: 162,5 – 125 = 37,5
Então: 𝑝/100 . 125 = 37,5
P= 30%
2ª solução: Por fatores.
x = 1,625/1,25
x = 1,3 ou 30%
Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% e a taxa de rendimento de 56%. Qual o rendimento deste investimento descontada a inflação?
Nesta situação, os 56% são chamados de ganho aparente (ou ganho nominal) do investimento e o rendimento, descontada a inflação, é chamado de ganho real.
Assim, se x é o fator de ganho real
x = 1,56/1,3
x = 1,2 ou 20%
Fator de ganho real = 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 ganho 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 / 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
Aula 2: Fluxo de caixa, juros simples, montante, simbologia, conceitos e convenções
Fluxo de caixa (em inglês "cash flow") refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido.
· Outflow: De saída, que representa as saídas de capital, subjacentes às despesas de investimento.
· Inflow: De entrada, que é o resultado do investimento. Valor que contrabalança com as saídas e traduz-se num aumento de vendas ou numa redução de custos.
Unidade de medida da taxa de juros:
Na matemática financeira, a taxa de juros é indicada por uma porcentagem. Quando a taxa de juros for empregada no período de um mês, ela é representada, por exemplo, 10% ao mês (10% am). Da mesma forma, a taxa de juros pode ser empregada em períodos diferentes:
12% ao ano (12% aa)
8% ao semestre (8% as)
3% ao bimestre (3% ab)
0,2% ao dia (0,2% ad)
Juros Simples: Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i durante um certo tempo t. Se essa remuneração incide somente sobre o capital C ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples. 
Aula 3: Juros Composto
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior.
Assim, o Montante M de um capital C aplicado à taxa unitária i de juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos, é dado por:
Aula 4: Taxas de juros
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a:
M = C (1 + ia)
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a: 
M’ = C (1 + im)12
Exemplo: Determinar a taxa equivalente ao ano de 1% a.m.
(1 + i𝛼) = (1 + Im)12
(1 + i𝛼) = (1 + 0,01)12
(1 + i𝛼) = 1,1268
Logo: i𝛼 = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a.
Exemplo: Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano
 (1 + i𝛼) = (1 + im)12
(1 + 0,60) = (1 + im)12
1,6 = (1 + im)12
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m.
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão:
Exemplo: determinar a taxa de juros nominal de um empréstimo de $100.000,00 que deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00.
Juros pagos = Jp = $150.000 - $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000/$100.000 = 50%
Exemplo: determinar o montante (M) obtido ao final de um ano de uma aplicação de R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal.
Como a taxa i está definida em um período de tempo diferente do período de capitalização (i é anual e a capitalização, mensal) dizemos que i é uma taxa nominal. Assim, a taxa que será realmente aplicada neste exemplo é a taxa proporcional mensal 36/12 = 3% a.m., que será a taxa efetiva.
Logo:
M = C (1 + i)n
M = 10000 (1 + 0,03)12
M = 10000 (1,03)12
M = 10000 x 1,425761 
M = 14257,61 é o montante ao fim de 1 ano.
Observação: O denominador é 12 porque a taxa i é anual e a capitalização é mensal.
Exemplo: o capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. Vamos determinar a que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês.
Vamos calcular o montante à taxa de 3% ao mês.
M = C (1 + i)n => M = 10000 (1 + 0,03)12 => M = 10000 (1,03)12
Vamos calcular o montante à taxa de I % ao ano:
M = 10000 (1 + I)
Igualando:
10000 (1,03)12 = 10000 (1 + I) => 1,0312 = 1 + I => 1,425761 = 1 + I
I = 0,425761 ou 42,5761 % a.a.
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação. A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa!
(1 + in) = (1 + r) . (1 + j)
Vamos encontrar uma relação entre a taxa de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital C é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in. O montante M1 ao final do período, será dado por:
M1 = C(1 + in)
Consideremos agora que, durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante:
M2 = C(1 + j)
Exemplo: O capital de R$10.000,00 produziu em 1 ano o montante de R$13.500,00. Tendo neste período havido uma inflação de 30%, vamos determinar qual a taxa real do juros e qual a taxa de remuneração do capital.
J = 13.500 - 10.000 = 3.500
3.500 = (10.000.i.l) / 100 => i = 35%
(1 + in) = (1 + r) . (1 + j) = > (1 + 0,35) = (1 + r) . (1 + 0,3) => r = 3,85%
Taxa bruta é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
Taxa líquida é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
Taxa prefixada opera com juros estáveis, que considera a inflação, o ganho da financeira e mais uma margem de garantia para qualquer eventualidade.
Taxa pós-fixada conta com taxas menores, que equivalem apenas aos juros.
Os outros dois componentes(risco da economia e inflação) ficam por conta do devedor, que, além do juro, arca com a correção por um indicador de inflação, como TR ou variação cambial. Portanto, aí está centrado o risco do negócio: Mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a inflação podem apresentar variações, o que pode transformar os financiamentos pós-fixados em operações arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na parte fixa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo crédito pós-fixado.
Um exemplo de aplicação pós-fixada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-fixada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo).
Aula 5: Operações de Desconto
O desconto comercial, bancário ou por fora é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
Desconto Comercial= (tempo x desconto) + outras taxas 
Resgate = Valor– (Desconto.Valor/100)
Vamos determinar qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial de 5%.
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto iD= 5%
D = 5% de 100 = 5 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 100 – 5 = 95
O valor do resgate é R$95,00.
Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
N = Valor Nominal ou de face = 120
Taxa de desconto iD = 10% a.m.
D = 2 . 10% de 120 = 24 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 120 – 24 = 96
O valor do resgate é R$96,00.
O desconto racional, matemático ou por dentro é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face. É o desconto d que determina um valor A que, corrigido nas condições de mercado, tem para montante o valor nominal N.
Desconto Racional = (tempo x desconto) + outras taxas
Resgate = Valor – (Desconto.Resgate/100)
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobra uma taxa de desconto racional de 5%?
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto racional i = 5%
d = 5% de A
A = N – D
A = 100 – 0,05 A
1,05 A = 100
A = 95,24
O valor do resgate é R$95,24.
Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto racional em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
N = Valor Nominal ou de face = 120
Taxa de desconto i = 10% a.m.
d = 2 . 10% de A = 0,2 A (é o desconto racional)
A = N – d
A = 120 – 0,2 A
Logo: 1,2 A = 120
A = 100
O valor do resgate é R$100,00.
Descontando por fora uma promissória de valor nominal $7.350,00 à taxa simples de 3,6% a.m. mais IOF de 1.6% sobre o valor nominal, dois meses e dez dias antes do vencimento, qual o líquido recebido?
N = 7350
i = 3,6% a.m.
IOF = 1,6%
t = 2 m 10 d = 70 d = 70/30
t = 7/3 m
AD = ?
Neste caso, o percentual do desconto é dado por i x t + IOF.
Então D => 3,6 x 7/3 + 1,6 = 10% de N
A = (100-10)% de N = 90% de N
A = 90% de 7350 = = 6615
Resposta: $6.615,00.
Um título de valor nominal $600,00 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 8% a.m. Calcule a taxa mensal de juros simples efetiva dessa operação.
R = V – (d.t.V/100)
R = 600 - (8x2x600/100)
R = 600 - 96
R = 504
M = C.(j+1)
600 = 504. (j+1)
j = 19,0472
D = (t.i)
19,0472 = 2. i
i = 9,52%
Aula 6: Séries de Pagamento Uniforme
O objetivo da série uniforme é obtermos fatores capazes de realizar a capitalização e o desconto de uma série de prestações iguais.
Observação: quando não há referência a juros compostos ou simples, assume-se sempre que são juros compostos.
Para uma série de pagamentos uniformes (valor de prestação fixo), aplicamos a fórmula:
A = Valor a vista
P = Prestação
n = número de parcelas
i = taxa de juros
Aula 7: Planos de amortização de dívida
DEFINIÇÃO DE AMORTIZAÇÃO
É o ato de pagar as prestações que foram geradas mediante uma tomada de empréstimo.
PERÍODO DE AMORTIZAÇÃO
É o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas (entre dois pagamentos).
PRAZO DE AMORTIZAÇÃO
É o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações. (ou seja: é o tempo entre a primeira e a última parcela de pagamento).
PARCELAS DE AMORTIZAÇÃO
São as parcelas de devolução do principal (ou seja, devolução ou pagamento do capital emprestado).
JUROS NOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Nos sistemas de amortização, os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro.
SALDO DEVEDOR
É o estado da dívida, ou seja, o débito em um determinado instante de tempo.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele.
· SAC (SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE): As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período anterior. Por este sistema, o credor (instituição financeira ou banco) exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. No sistema SAC as prestações são decrescentes e as amortizações são constantes.
Aula 8: Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
O Sistema Francês é uma forma de amortização que é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos, ou seja, tem as prestações fixas.
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação.
A partir do cálculo que realizamos utilizando a Tabela Price, teremos então 5 prestações iguais de R$2.183,55. Os juros serão aplicados sobre o saldo devedor do período anterior, como no sistema de amortização constante.
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período.
Aula 9: Sistema de Amortização Americano – Misto – Variável
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Nesse sistema de amortização, não há incidência de juros sobre juros. Eles sempre incidem sobre o valor original da dívida. Com isso, o devedor pode quitar sua dívida quando quiser. A desvantagem desse sistema é que o pagamento de juros pode, em tese, ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si. Para isso, basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.
Vamos supor que foi contraída uma dívida no valor de R$13.000,00, que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.
O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e, mesmo assim, a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00, resultando num total de R$27.040,00. No entanto, esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida, o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros.
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale ao desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”.
Sistema de Amortizações Mistas (SAM)
A prestação do Sistema de Amortizações Mistas (SAM) é obtida pela média aritmética entre as prestações do Sistema de Amortizações Constantes(SAC) e do Sistema Price.
Vamos calcular o valor de cada prestação de um SAM em um financiamento em que:
C = R$10.000,00
n = 5 meses
i = 3% a.m.
a) Prestação do Sistema Price:
C = P . a5¬3
10000 = P . 4,579707 (da tabela)
Logo: P = 10000 / 4,579707 = 2.183,55 (esse é o valor da prestação, que é igual para todos os cinco meses).
b) Prestação do SAC:
Amortização = 10000 / 5 = 2000
Cálculo dos juros na primeira parcela:
J1 = 3% de 10000 = 300
J2 = 3% de 8000 = 240
J3 = 3% de 6000 = 180
J4 = 3% de 4000 = 120
J5 = 3% de 2000 = 60
Sistema de amortização variável
As parcelas de amortização são contratadas pelas partes, e os juros são calculados sobre o saldo devedor.
Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada. Coloca-se inicialmente as amortizações, depois são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a prestação.
Suponha um empréstimo de R$50.000,00, a juros de 1,5% ao mês, a ser pago em 4 meses, da seguinte forma:
1º mês – 10.000
2º mês – 15.000
3º mês – 10.000
4º mês – 15.000
C: 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização: 4 meses
Aula 10: Taxa de Retorno – Valor Presente Líquido
Seja pela privação da posse, seja pelo risco que o emprestador corre de perder em definitivo a posse do bem, é usual que se devolva o que foi emprestado mais um valor denominado juro, que seria como um “aluguel” daquele capital. O emprestador estará repondo seu capital em determinado prazo. Esse prazo ou período é referido como tempo em que o projeto de investimento se paga, ou em inglês, payback period, ou simplesmente payback.
Payback simples (série uniforme): Também referido como “tempo de recuperação do investimento”, o payback pode ser calculado de forma simples, pela razão entre investimentos e receitas.
· Considerando um investimento IA de R$20 milhões que gere retornos líquidos anuais de R$5 milhões, a partir do final do primeiro ano, durante 10 anos. Vamos elaborar o diagrama de fluxo de caixa dessa alternativa de investimento. 
· Payback = 20 milhões / 5 milhões = 4 anos.
· Rtotal = R$5 milhões/ano x 10 anos = R$50 milhões
· ELG (Excedente Líquido Gerado)= R$50 milhões - R$20 milhões = R$30 milhões
· ELG/IA = R$30 milhões / R$20 milhões = 1,5 = 150% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 10 anos, sobre o investimento).
· taxa de juros simples = 150% / 10 anos = 15% a.a.
· Um investimento de 18 milhões que gere resultados líquidos de R$6 milhões por ano, durante 4 anos. Vamos elaborar diagrama de fluxo de caixa.
· Payback = 18 milhões / 6 milhões = 3 anos
· Rtotal = R$6 milhões/ano x 4 anos = R$24 milhões
· ELG = 24 milhões – 18 milhões
· ELG/IA = R$6 milhões / R$18 milhões = 0,33 = 33% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 4 anos, sobre o investimento)
· IB = taxa de juros simples = 33% / 4 anos = 7,75% a.a. (juros simples)
Conforme vimos no exemplo, se dependesse apenas do payback, o investimento B seria o melhor, pois o seu prazo para retorno do investimento é menor. Analisando a taxa de juros prefere-se IA em detrimento de IB (contradizendo a decisão pelo payback). Logicamente, há um complicador adicional: os prazos de aplicação são diferentes (IA tem um prazo de 10 anos, IB, de 4 anos). Deve ser encontrado um horizonte comum de planejamento, um mínimo múltiplo comum para os prazos de investimento que, no caso, é de 20 anos (2 x 10 anos; 5 x 4 anos). Ou, então, simplesmente, considerar que as alternativas de investimento A e B podem ser repetidas indefinidamente. De qualquer modo, esse simples exemplo, que considera juros simples, ilustra a mecânica de seleção entre alternativas de investimentos.
Payback e taxa de retorno: Note-se que, no caso de um fluxo de caixa regular, se np é o número de anos até o investimento ser recuperado, então 1/np é o inverso do payback period, que nos dá uma indicação da rentabilidade do investimento. Por exemplo, para np = 4 anos, RP = 1 / np = 1 / 4 = 25% por ano. Então, RP é a medida de rentabilidade do payback ou a taxa de retorno do payback.
Payback Descontado: No payback do fluxo de caixa descontado, o período de tempo necessário ao repagamento do investimento vai depender da taxa de desconto considerada. A diferença entre o valor de mercado de um investimento e seu custo é denominada VPL (Valor Presente Líquido) do investimento. O VPL representa quanto de valor foi adicionado, realizando-se determinado investimento.
Exemplo: Estima-se que o recebimento gerado por um empreendimento seria de R$20.000 por ano, os custos envolvidos, incluindo imposto, serão de R$14.000 por ano. Encerrando-se o negócio após 8 anos, entende-se que a empresa, as instalações e os equipamentos valerão R$2.000. O projeto inicial custa R$30.000, usando-se uma taxa de desconto de 15%
Calcula-se o valor presente dos fluxos de caixa futuros a uma taxa de 15%. Temos uma anuidade de: R$20.000 - R$14.000 = R$6.000 por oito anos, somando-se a isso o valor de R$2.000 daqui a oito anos. Assim, o valor presente total é de:
 Logo, teremos:
VPL = -30000 + 5217 + 4537 + 3945 + 3430 + 2980 + 2594 + 2256 + 2615
VPL = -30.000 + 27.574
Valor Presente Líquido VPL = - R$2.426
Conclusão:
Obteve-se um VPL negativo, portanto esse não seria um bom investimento, pois UM INVESTIMENTO DEVE SER ACEITO SE O VPL FOR POSITIVO, E REJEITADO, SE NEGATIVO.
O Payback Descontado existe quando o VPL é zero. → O VPL é uma ferramenta bastante usada pelas empresas.