Slides aula 09 - Método dos quadrados minimos

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PGM 522 - ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM GENÉTICA E 
MELHORAMENTO DE PLANTAS
Semestre 2018.2
Tópico: Emprego do Método dos Quadrados 
Mínimos no Melhoramento Genético
______________________________________
Prof. José Airton Rodrigues Nunes
Setor de Genética - DBI/UFLA
E-mail: jarnunes@dbi.ufla.br
Noções sobre Álgebra Matricial
Álgebra de matrizes
❑ Matriz
Arranjos retangulares ou quadrados de números,
dispostos em linhas e colunas (CRUZ, 2012)
Álgebra de matrizes
❑ Matriz














== 
npnn
p
p
pnpn
aaa
aaa
aaa
AA
..
:::
..
..
21
22221
11211

5 3
3,8 7,2 6,4
4,6 8,2 4,8
5,2 9,4 7,6
4,6 7,6 6,4
6,4 8,6 6,2
H
 
 
 
 =
 
 
  
Dados de produção (t/ha) de
cinco híbridos de milho em
três locais
2 2
2 6
10 3
A
 
=  
 
4 1
10
6
4
15
B
 
 
 =
 
 
 
Álgebra de matrizes: tipos de matrizes
❑ Vetor
4 1
10
6
4
15
B
 
 
 =
 
 
 
 1 3 2 1 7C = −
❑ Matriz escalar ou escalar  14D =
❑ Matriz quadrada
2 2
2 6
10 3
A
 
=  
 
4 4
4 10 13 14
5 12 6 8
5 8 1 3
3 7 2 10
E
 
 
 =
 
 
 
❑ Matriz simétrica
2 2
2 1
1 3
A
− 
=  
− 
4 4
4 8 2 0
8 12 5 11
2 5 1 6
0 11 6 10
B
− 
 
−
 =
 − −
 
 
❑ Matriz diagonal
2 2
2 0
0 3
D
 
=  
 
4 4
4 0 0 0
0 12 0 0
0 0 1 0
0 0 0 10
D
 
 
 =
 
 
 
Álgebra de matrizes: tipos de matrizes
❑ Matriz identidade
2 2
1 0
0 1
I
 
=  
 
4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 =
 
 
 
❑ Matriz de 1’s
2 1
1
1
J
 
=  
 
3 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
J
 
 
=
 
  
Álgebra de matrizes: tipos de matrizes
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Adição ou subtração
2 3
12 15 8
13 10 6
A
 
=  
 
2 3
18 13 12
10 12 8
B
 
=  
 
2 3 2 3
12 18 15 13 8 12
13 10 10 12 6 8
A B
+ + + 
+ =  
+ + + 
2 3
30 28 20
23 22 14
C
 
=  
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Adição ou subtração
2 3
12 15 8
13 10 6
A
 
=  
 
2 3
18 13 12
10 12 8
B
 
=  
 
2 3 2 3
12 18 15 13 8 12
13 10 10 12 6 8
A B
+ + + 
+ =  
+ + + 
2 3
30 28 20
23 22 14
C
 
=  
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação por um escalar
2 3
2 5 8
3 0 6
A
 
=  
 
3k =
2 2
3 2 3 5 3 8
3 3 3 0 3 6
k A
   
 =  
   
2 2
6 15 24
9 0 18
C
 
=  
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação de matrizes
► Duas matrizes são conformáveis para multiplicação, se o
número de colunas da matriz que pré-multiplica é igual ao
número de linhas da matriz que pós-multiplica.
nAq x qBk = nCk
= = =
= = =
= = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
q q q
1j j1 1j j2 1j jk
j 1 j 1 j 1
q q q
2 j j1 2 j j2 2 j jk
j 1 j 1 j 1
n q q k
q q q
nj j1 nj j2 nj jk
j 1 j 1 j 1
a b a b ... a b
a b a b ... a b
A B . . .
. . .
. . .
a b a b ... a b
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação de matrizes
2 2
3 5
4 6
A
 
=  
  2 2
1 4
3 2
B
 
=  
 
2 2 2 2
3 1 5 3 3 4 5 2 18 22
4 1 6 3 4 4 6 2 22 28
A B
 +   +    
 = =   
 +   +    
A x B = B x A ?
2 2
19 29
17 27
B A
 
 =  
 
2 2
3 5
4 6
A
 
=  
  2 4
1 2 3 4
5 6 7 7
C
 
=  
 
A x C
C x A (não conformáveis)
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação de matrizes
2 2
3 5
4 6
A
 
=  
  2 2
1 0
0 1
I
 
=  
 
2 2
3 5
4 6
A I I A A
 
 =  = =  
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Transposta de uma matriz
2 3
12 15 8
13 10 6
A
 
 =  
 
3 2
12 13
15 10
8 6
A
 
 
=
 
  
4 4
4 8 2 0
8 12 5 11
2 5 1 6
0 11 6 10
B
− 
 
−
 =
 − −
 
 
4 4
4 8 2 0
8 12 5 11
2 5 1 6
0 11 6 10
tB
− 
 
−
 =
 − −
 
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Transposta de um produto de matrizes
2 2
3 5
4 6
A
 
=  
  2 4
1 2 3 4
5 6 7 7
C
 
=  
 
( )A C C A   = 
( )
2 4
28 36 44 47
34 44 54 58
A C
 
 =  
 
( )
4 2
28 34
36 44
44 54
47 58
A C
 
 
   =
 
 
 
1 5 28 34
2 6 3 4 36 44
3 7 5 6 44 54
4 7 47 58
C A
   
   
      = =     
   
   
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ A’A
2 3
2 5 8
3 10 6
A
 
 =  
 
3 2
2 3
5 10
8 6
A
 
 
=
 
  
2 2 2
2 2 2
2 5 8 2 3 5 10 8 6
2 3 5 10 8 6 3 10 6
A A
 + +  +  + 
 =  
 +  +  + + 
93 104
104 145
A A
 
 =  
 
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação de matrizes
[i] Soma dos elementos de B
[ii] Soma dos quadrados dos elementos de B
Matricialmente, obter:
4 1
4
2
1
3
B
 
 
 =
 
 
 
1 4 4 1J B
1 4 4 1B B 
5 3
3,8 7,2 6,4
4,6 8,2 4,8
5,2 9,4 7,6
4,6 7,6 6,4
6,4 8,6 6,2
H
 
 
 
 =
 
 
  
Dados de produção (t/ha) de cinco híbridos de milho em
três locais
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Multiplicação de matrizes
[i] Totais de produção (t/ha) em cada local
[ii] Totais de produção (t/ha) de cada híbrido
Matricialmente, obter:
1 5 5 3J B
5 3 3 1B J
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Inversão de matrizes
1 1
p p p p p p p pA A I A A
− − = = 
4 2
2 2
A
 
=  
 
Como obter A-1?
Sistema de equações:
1
4 2 1 0
2 2 0 1
a b
AA
c d
−      = =     
     
4 2 1
4 2 0
2 2 0
2 2 1
a c
b d
a c
b d
+ =
+ =
+ =
+ =
1
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1
A−
− 
=  
− 
Algoritmos gerais: Método de Gauss-Jordan (Pivotamento)
Álgebra de matrizes: Operações com matrizes
❑ Inversa de matrizes
Como verificar se existe inversa única de pAp?
[i] Determinante da matriz
Existe A-1 – matriz A é não-singular
Não existe A-1 – matriz A é singular
[ii] Posto ou rank da matriz
Det (A) = 0 – matriz singular
Det (A) ≠ 0 – matriz não-singular
Álgebra de matrizes: Determinante
❑ Determinante de uma matriz
|A|= (3 x 20) - (9 x 5)
❑ Traço de uma matriz
Soma dos elementos de sua diagonal principal
|A|= 15
Álgebra de matrizes: Posto ou rank
❑ Posto de uma matriz
Número de linhas ou colunas linearmente independentes
de uma matriz
Seja nAp, então o posto de A: r(A) ≤ mínimo(n,p)
Se r(A)=p, então A tem posto coluna completo
r(A’A) = p, então A tem posto completo
Existe a inversa única (A’A)-1
Álgebra de matrizes: Posto ou rank
❑ Posto de uma matriz
Número de linhas ou colunas linearmente independentes
de uma matriz - 1c1 + 2c2 + ... +pcp = 0 ( > 0)
1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
A
 
 
 =
 
 
 
r(A) ≤ mínimo(4,3)
1 2 3
1 1 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
  
       
       
       + + =
       
       
       
1 = 1
2 = -1
3 = -1
r(A) ≤ 2
Álgebra de matrizes: Posto ou rank
❑ Como determinar o posto de uma matriz?
▪ Ordem da submatriz quadrada inversível
▪ Funções ou algoritmos implementados em softwares
(SAS, R, etc)
/*There is no SAS/IML function that directly computes the 
linear algebraic rank of a matrix.*/
/*In linear algebra, the rank of a matrix is the maximal 
number of linearly independent columns (or rows).*/
/*You can use the following technique to compute the 
numerical rank of matrix a:*/
rank = round(trace(ginv(X)*X));
print 'Posto da Matriz X' rank;
run;quit;
fBasics::rk (X)
❑ Exemplo 01 - Seja um experimento de avaliação de duas
cultivares de soja com três repetições no DIC.
11 11
12 12
13 13
6 1 6 3 3 1 6 1 1
21 21
2
22 22
23 23
1 1 0
1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
1 0 1
y e
y e
y e
y X e g
y e
g
y e
y e

   
    
    
      
      
= +  = +      
           
    
        
: ij i ijModelo y g e= + +
MODELO ESTATÍSTICO NA FORMA MATRICIAL
X tem posto coluna incompleto❑ Exemplo 02 - Modelo polinomial de 1º grau (Linear) entre a
produção de grãos (y) e doses de N (x).
MODELO ESTATÍSTICO NA FORMA MATRICIAL
1 1 1
2 2 20
1 2 2 1 1
1
1
1
: : : :
1
n n n
n n n
y x e
y x eb
y X e
b
y x e
   
     
     
      = +  = +       
     
          
0 1: i i iModelo y b b x e= + +
X tem posto coluna completo
y: vetor de dados (n x 1)
MODELO ESTATÍSTICO NA FORMA MATRICIAL
y X e= +
X: matriz do modelo/delineamento/incidência ou dos
coeficientes que associam os parâmetros aos dados (n x
p)
β: vetor de parâmetros (p x 1)
e: vetor dos erros/resíduos (n x 1)
Método dos Quadrados Mímimos (MQM)
❑ Grande utilidade para geneticistas/melhoristas;
❑ Adrien-Marie Legendre
(1805) - Nouvelles méthodes
pour la détermination des
orbites des comètes
"méthode des moindres
carrés"
❑ Carl Friedrich Gauss
(1795)
❑ Método de estimação de parâmetros;
❑ Método que estima os parâmetros de um modelo de tal
forma a tornar mínima a soma de quadrados dos desvios.
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS PELO MÉTODO 
DOS QUADRADOS MÍNIMOS
y X e= +
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ:SQErros e e y X y X  = − −
ˆŷ X= ˆˆ ˆe y y y X= − = −
❑ Estimação pelo Método dos Quadrados Mínimos (MQM)
– Sistema de Equações Normais
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ:SQErros e e y X y X  = − −
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2
e e y y y X X y X X
e e y y X y X X
   
  
      = − − +
     = − +
( )
( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ2 2 0
e e
X y X X X X X y 


   = − + =  =

Sistema de 
Equações 
Normais (SEN)
( )
1
ˆ
ˆ
X X X y
X X X y


−
 =
 =
A matriz X deve ter posto
coluna completo para que
exista a inversa única de X´X
❑ No processo de estimação não se assume qualquer
pressuposição distribucional a cerca dos dados e/ou desvios.
❑ Solução do SISTEMA DE EQUAÇÕES NORMAIS – Estimativas
de mínimos quadrados - Estimador de Mínimos Quadrados
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
e
kk ekk
V X X
s X X
 
 
−
−
=
=
❑ Erros-padrões associados às estimativas de mínimos
quadrados
❑ Exemplo 01 - Seja um experimento de avaliação de duas
cultivares de soja com três repetições no DIC.
11 11
12 12
13 13
6 1 6 3 3 1 6 1 1
21 21
2
22 22
23 23
1 1 0
1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
1 0 1
y e
y e
y e
y X e g
y e
g
y e
y e

   
    
    
      
      
= +  = +      
           
    
        
1 1
2 2
ˆ 6 3 3
ˆ ˆ 3 3 0
ˆ 3 0 3
y
g y
g y


−
     
     
= =
     
          
X’X de posto 
incompleto 
(Infinitas soluções)
[1] Restrição gi = 0
[2] Inversa generalizada
AGA=A
1 1
2 2
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
y
g y y
g y y


   
   
= = −
   
   −   
1 1 1
2 2 20
1 2 2 1 1
1
1
1
: : : :
1
n n n
n n n
y x e
y x eb
y X e
b
y x e
   
     
     
      = +  = +       
     
          
1
1 10
21
1 1 1
ˆ
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n x y
b
b
x x x y

−
= =
= = =
   
    
   = = 
    
   
   
 
  
❑ Exemplo 02 - Modelo polinomial de 1º grau entre a produção
de grãos (y) e doses de N (x).
1
2
2 11 1
1 1
ˆ
ˆ nn n
ii in n
ii i
i i i
i i
y b x
xx y
x y x
n n

== =
= =
 −
 
  =
  
  − −
  
 
 
❑ Exemplo 02 - Modelo de regressão linear entre a produção
de grãos e doses de N.
e1
(X2,Y2)
(X1,Y1)
Valores observados
Valores estimados
e4
(X3,Y3)
e3
e2
X
Y
a
10 2
b
3
Yi = a + b Xi + ei
(X4,Y4)
b > 0 b < 0 b = 0
APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS QUADRADOS 
MÍNIMOS NO MELHORAMENTO GENÉTICO
ESTIMAÇÃO DO GANHO GENÉTICO EM 
SUCESSIVOS CICLOS SELETIVOS
Questão 1. Houve ganho com a seleção?
Questão 2. O ganho com a seleção foi linear?
Questão 3. O ganho com a seleção em Lavras foi
diferente do de Sete Lagoas?
Modelo de regressão linear entre a produtividade de grãos
de milho (kg/ha) em relação ao ciclo seletivo,
independente do local.
0 1: i i iModelo y b b x e= + +
1
0 2
1 3
4
5986,5 1 0
6487,8 1 1
6559,4 1 2
6713,6 1 3
y X e
e
b e
b e
e
= +
    
    
      = +        
    
      
( )
1ˆ:Soluçao SEN X X X y
−
 =
1
0
1
4 6 25747,3ˆ
6 14 39747,4
b
b

−
     
= =     
    
0
1
0,7 0,3 25747,3 6098,89ˆ
0,3 0,2 39747,4 225,29
b
b

−       
= = =       
−      
ˆ: 6098,89 225,29i iModelo y x= +
Erro associado às estimativas dos parâmetros
( ) ( ) 1 2ˆ ˆeV X X 
−
=
( )
( )
0
1
0
1
0,7 0,3ˆ 559383,13/ 20
0,3 0,2
19578,41 8390,75ˆ
8390,75 5593,831
b
V V
b
b
V V
b


−   
= =    
−  
−   
= =   
−  
( )
( )
( )
( )
0 0
1 1
6098,89 139,926098,89 19578,41
225,29 74,79225,29 5593,831
b s b
b s b
    
= =    
      
ANAVA DA REGRESSÃO
SQ Ciclo = SQ Regressão Linear + SQ Desvios da Regressão
1
1ˆ( )
SQY y y y Jy
n
SQModelo Corr X y y Jy
n
SQDesvio SQY SQModelo

 = −
  = −
= −
FV GL SQ QM Fc
Ciclos 3 5938214,13 1979404,71
Modelo 1 5080708,00 5080708,00 9,08*
Desvio 2 859694,00 429847,00 0,77n.s.
Erro Médio 54 - 559383,13
Questão 2. O ganho com a seleção foi linear?
Em que consiste a técnica da regressão?
Modelo de regressão linear entre a produtividade de grãos
de milho (kg/ha) em relação ao ciclo seletivo para cada
local.
( )
( )
( )
( )
0 0
1 1
6247,7 197,88
253,65 105,77
b s b
b s b
   
=   
   
• Lavras
• Sete Lagoas
( )
( )
( )
( )
0 0
1 1
5950,16 197,88
196,86 107,77
b s b
b s b
   
=   
   
Questão 3. O ganho com a seleção em Lavras foi
diferente do de Sete Lagoas?
5800
6000
6200
6400
6600
6800
7000
7200
0 1 2 3
Ciclos seletivos
P
ro
d
u
ç
ã
o
Lavras
Média
Sete Lagoas
####Ganho linear com a seleção
### y = XB + e
### yi = bo + b1xi + ei
#Vetor de dados
y<-matrix(c(5986.5,6487.8,6559.4,6713.6),4,1)
nrep <-20 #numero de observações que gerou cada média
#Matriz do modelo
intercepto<-matrix(1,4,1) #matriz de 1's com 7 linhas e uma coluna
ciclos<-matrix(c(0,1,2,3),4,1) #matriz de 1 a 7, com 7 linhas e uma coluna
x<-cbind(intercepto,ciclos)# matriz x do MQM. Comando para unir as colunas das duas matrizes
#Solução do MQMB = inv(X'X)X'y
xx<-t(x)%*%x #Obtendo a matriz x'x
dim(xx)
fBasics::rk(xx) # Posto completo
invxx<-solve(xx) # Inversa clássica de xx
B<-invxx%*%(t(x)%*%y) #estimativas dos parâmetros
#Erros-padrões associados às estimativas dos parâmetros
QME<-559383.13
s<-diag(invxx)*(QME/nrep)
sraiz<-sqrt(s)
#intervalo de confiança do ganho:
sGS<-sraiz[2]
(ganho<-B[2,1])
LI<-ganho-(qt(0.025, 54, lower.tail=FALSE)*sGS);LI 
LS<-ganho+(qt(0.025, 54, lower.tail=FALSE)*sGS);LS
#Adequacidade do modelo via teste F 
correcao<-(1/nrow(y)*((t(y)%*%intercepto%*%t(intercepto)%*%y)))
SQY<-((t(y)%*%y)-correcao)*nrep
SQModelo<-(t(B)%*%t(x)%*%y-correcao)*nrep
SQdesv<-SQY-SQModelo
QMModelo <- SQModelo/1
Qmdesvio<-SQdesv/2
Fdesvio<-Qmdesvio/QME
TesteFmodelo<-QMModelo/QME
##Usando a função lm –
### Atenção aos valores não corretos dos testes F e t e erros-padroes
dadosreg <- data.frame(cbind(x,y))
colnames(dadosreg) <- c("intercepto","ciclos","y")
lm.y <- lm(y ~ ciclos)
summary(lm.y)
anova(lm.y)
ESTIMAÇÃO DOS COMPONENTES GENÉTICOS DE 
MÉDIA
Exemplo 1: Dados produção de grãos de feijão, g/planta,
referentes ao cruzamento das cultivares ESAL 545 x
Milionário, F1, F2, RC1 e RC2 - DBCC r=2
FV GL QM
Gerações 5 11,7882*
Erro 5 1,4284
Média Geral 12,36
CV(%) 9,7
Valores médios da produção de grãos de feijão, g/planta,
obtidos nas gerações parentais (P1: ESAL 545; P2:
Milionário), F1, F2, RC1 e RC2
Gerações Média
P1 9,525
P2 11,585
F1 14,985
F2 12,720
RC1=P1xF1 10,080
RC2=P2xF1 15,295
Modelo 3: Genitores de médias diferentes sem heteroseModelo 2: Genitores de médias iguais com heterose
Modelo 1: Genitores de médias diferentes com heterose
Modelo 1: Genitores de médias diferentes (m1, m2) com
heterose (h)
P1 m1
P2 m2
F1 (m1+m2)/2 + h
F2 (m1+m2)/2 + 1/2h
RC1=P1xF1 3/4m1+1/4m2 + 1/2h
RC2=P2xF1 1/4m1+3/4m2 + 1/2h
1
2
1
3
2
4
5
6
9,525 1 0 0
11,585 0 1 0
14,985 1/ 2 1/ 2 1
12,720 1/ 2 1/ 2 1/ 2
10,080 3/ 4 1/ 4 1/ 2
15,295 1/ 4 3/ 4 1/ 2
e
e
m
e
m
e
h
e
e
    
    
      
      
= +       
            
    
          
1
1
2
ˆ 2,125 0,875 1,250 34,7612 8,6627
ˆ ˆ 0,875 2,125 1,250 39,4287 12,3967
ˆ 1,250 1,250 1,750 34,0325 4,4047
m
m
h

−
       
       
= = =       
             
y X e= +
( )
1ˆ X X X y
−
 =
( ) ( ) 1 2ˆ ˆeV X X 
−
=
( )
1
2
ˆ 0,8118 0,0118 0,5882
1,4284ˆ ˆ 0,0118 0,8118 0,5882
2
ˆ 0,5882 0,5882 1,4118
m
V V m
h

  − 
   
= = −    
   − −  
1 1
2 2
1,4284
8,6627 0,8118
2
ˆ ( ) 8,6627 0,7614
1,4284
ˆ ( ) 12,3967 0,8118 12,3967 0,7614
2
ˆ 4,4047 1,0041( )
1,4284
4,4047 1,4118
2
m s m
m s m
h s h
 
  
    
    
 =   =     
         
  
  
ANAVA
FV GL SQ QM Fc
Gerações 5 58,9410 11,7882
Modelo 2 44,9140 22,4570 15,72**
Desvio 3 14,0272 4,6757 3,27n.s.
Erro 5 7,1420 1,4284
Modelo 2: Genitores de médias iguais (m1=m2=m) com
heterose (h)
P1 m
P2 m
F1 m + h
F2 m + 1/2h
RC1=P1xF1 m + 1/2h
RC2=P2xF1 m + 1/2h
Teste F dos desvios do modelo = 5,51 > Ftab(5%,4,5)
Hipótese (H0): m1 = m2 rejeitada
Teste F dos desvios do modelo = 7,2656 > Ftab(5%,4,5)
Modelo 3: Genitores de médias diferentes (m1, m2) sem
heterose (h)
P1 m1
P2 m2
F1 (m1+m2)/2
F2 (m1+m2)/2
RC1=P1xF1 3/4m1+1/4m2
RC2=P2xF1 1/4m1+3/4m2
Hipótese (H0): h=0 rejeitada
1 1
2 2
1,4284
8,6627 0,8118
2
ˆ ( ) 8,6627 0,7614
1,4284
ˆ ( ) 12,3967 0,8118 12,3967 0,7614
2
ˆ 4,4047 1,0041( )
1,4284
4,4047 1,4118
2
m s m
m s m
h s h
 
  
    
    
 =   =     
         
  
  
Hipótese (H0): h=0 rejeitada
( )5%,5
ˆ 0 4,4047
4,3867 4,03
ˆ 1,0041( )
tab
h
t t
s h
−
= = =  =
ˆ 0
ˆ( )
h
t
s h
−
=
ESTIMAÇÃO DOS COMPONENTES GENÉTICOS DE 
MÉDIA
Exemplo 2: Análise de cruzamentos dialélicos
Delineamento genético em que n parentais são cruzados
dois a dois.
•Dialelo completo
•Dialelo parcial
•Dialelo circulante
Dificuldade: Dialelos desbalanceados.
Pais 2 3 4 5
1 48,0 31,0 28,7 31,3
2 30,7 26,0 -
3 29,7 26,0
4 28,0
Exemplo 2: Análise de cruzamentos dialélicos
Número médio de dias para o florescimento do feijoeiro
obtido no cruzamento dialélico com cinco parentais
realizado por Arriel et al. (1993).
ESTIMAÇÃO DOS COMPONENTES GENÉTICOS DE 
MÉDIA
: ij i j ij ijModelo y m g g s e= + + + +
yij: observação da combinação híbrida envolvendo os genitores i e j;
gi e gj: capacidade geral de combinação dos genitores i e j;
sij: capacidade específica de combinação dos genitores i e j;
eij: erro experimental
12
13
14
1
15
2
23
3
2
4
5
48,0 1 1 1 0 0 0
31,0 1 1 0 1 0 0
28,7 1 1 0 0 1 0
31,3 1 1 0 0 0 1
30,7 1 0 1 1 0 0
26,0 1 0 1 0 1 0
29,7 1 0 0 1 1 0
26,0 1 0 0 1 0 1
28,0 1 0 0 0 1 1
s
s
m
s
g
s
g
s
g
s
g
g
   
   
     
     
     
     
   = + 
     
     
     
      
   
   
      
4
34
35
45
s
s
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
y X s= +
H0: sij = 0 
(Não ocorra CEC)
9 4 3 4 4 3
4 4 1 1 1 1
3 1 3 1 1 0
4 1 1 4 1 1
4 1 1 1 4 1
3 1 0 1 1 3
X X
 
 
 
 
 =  
 
 
 
  
Matriz de posto incompleto 
Não existe a inversa única 
(X’X)-1
Alternativa: Uso de restrição (Searle, 1971)
Consiste uma adicionar uma linha e uma coluna em X’X com os
valores correspondentes ao número de vezes que cada genitor
participa dos cruzamentos e zero para a média.
*
9 4 3 4 4 3 0
4 4 1 1 1 1 4
3 1 3 1 1 0 3
4 1 1 4 1 1 4
4 1 1 1 4 1 4
3 1 0 1 1 3 3
0 4 3 4 4 3 0
X X
 
 
 
 
 
 =  
 
 
 
 
 
Matriz de posto completo 
Existe a inversa única 
(X’X*)-1
( )
1
*
0,11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,11
0,00 0,28 0,11 0,06 0,06 0,11 0,06
0,00 0,11 0,39 0,11 0,11 0,06 0,06
0,00 0,06 0,11 0,28 0,06 0,11 0,06
0,00 0,06 0,11 0,06 0,28 0,11 0,06
0,00 0,11 0,06 0,11 0,11 0,39 0,06
X X
−
− − − −
− − − − −
− − −
 = − − − − −
− − − − −
− − −
0,11 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,00
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − 
( )
1
*
0,11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,28 0,11 0,06 0,06 0,11
0,00 0,11 0,39 0,11 0,11 0,06
0,00 0,06 0,11 0,28 0,06 0,11
0,00 0,06 0,11 0,06 0,28 0,11
0,00 0,11 0,06 0,11 0,11 0,39
X X
−
− − − 
 
− − − − −
 
 − − −
 =  
− − − − − 
 − − − − −
 
− − −  
( )
1ˆ X X X y
−
 =
1
2
3
4
5
ˆ 31,044
ˆ 4,7333
ˆ 4,7778
ˆ 2,4667
ˆ 4,1333
ˆ 1,9889
m
g
g
g
g
g
= 
 
=
 
 =
 
= − 
 = −
 
= −  
1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 3 4 4 3 0g g g g g+ + + + =
FV GL SQ QM
Modelo (CGC) 4 202,93 50,73**
Desvio (CEC) 4 152,21 38,05**
Erro 8 0,15
12
13
14
15
23
24
34
35
45
48,0 40,25
31,0 33,31
28,7 31,64
31,3 33,79
30,7 33,05
26,0 31,39
29,7 24,44
26,0 26,59
28,0 24,92
s
s
s
s
s s
s
s
s
s
     
     
     
     
     
     
     = = −
     
     
     
     
     
    
        
7,75
2,31
2,94
2,49
2,35
5,39
5,26
0,59
3,08
 
 
−
 
 −
 
− 
 = −
 
− 
 
 
− 
  
   
ˆy X s s y X = +  = −
0ijs =
Estimativas das capacidades específicas de combinação (sij)
REGRESSÃO MÚLTIPLA
0 1 2 3i i i i iw b b v b s b z e= + + + +
Modelo de regressão linear múltipla
0
1
2
3
4,7 1 6,57 3,83 18,69
4,6 1 5,90 3,73 20,97
: : : : :
4,6 1 6,37 3,33 21,74
b
b
e
b
b
    
    
    = +
    
    
      
ˆ 8,6549 0,8042 1,1510 0,1994i i i iw v s z= − + + +
FV GL SQ QM
Progênies 19 23,0655 1,2140
Regressão 3 22,8102 7,6034**
Desvio 16 0,2553 0,0160n.s.
Erro 38 12,274 0,323
2 Re 22,8102100 100 98,89%
Pr 23,0655
SQ gressao
R
SQ ogenies
=  =  =
MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS –
OUTROS MODELOS DE REGRESSÃO
Modelos de Regressão 
Polinomiais
Equações de regressão
Polinomial de 1o Grau - Linear Y = a + bX + e
Polinomial de 2o Grau -
Quadrática
Y = a + bX + cX2 + e
Polinomial de 3o Grau - Cúbica Y = a + bX + cX2 + dX3 + e
Polinomial de 4o Grau Y = a + bX + cX2 + dX3 + eX4 + e
Modelos de regressão polinomiais e suas respectivas
equações.
Doses de Gesso
Blocos
Totais
I II III IV
0 134,8 139,7 147,6 132,3 554,4
50 161,7 157,7 150,3 144,7 614,4
100 160,7 172,7 163,4 161,3 658,1
150 169,8 168,2 160,7 161,0 659,7
200 165,7 160,0 158,2 151,0 634,9
250 171,8 157,3 150,4 160,4 639,9
300 154,5 160,4 148,8 154,0 617,7
Exemplo: Experimento conduzido no DIC com quatro
repetições realizado para avaliar o efeito de doses de
Gesso (0, 50, 100, 150, 200, 250 e 300 kg/há) sobre o peso
de 1000 sementes na cultura do feijoeiro (Phaseolus
lunatus).
FV GL SQ QM Fc
Doses de Gesso (6) (1941,83) 323,64 7,67**
Efeito linear 1 423,15 423,15 10,02**
Efeito quadrático 1 1285,84 1285,84 30,46**
Desvios de Regressão 4 232,84 58,21 1,38n.s.
Erro 21 886,34 42,21
TABELA. Análise de variância do peso de 1000 sementes
de feijão (gramas) em função das doses de gesso 9kg/há)
y = -0.0008x2 + 0.2736x + 140.78
R² = 0.8801
135
140
145
150
155
160
165
170
0.0 100.0 200.0 300.0 400.0
P
e
s
o
 1
0
0
0
 s
e
m
e
n
te
s
 (
g
)
Dose de Gesso (kg/ha)
FIGURA. Regressão quadrática do peso de 1.000 sementes
de feijão (g) em função de doses de gesso (kg/ha).
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