Lista de Modelos Probabilísticos Contínuos

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LISTA DE MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS
Distribuição Beta − Beta(a,b)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
β (a,b)
xa−1(1− x)b−1, 0 < x < 1, a > 0, b > 0
em que β (a,b) =
Γ(a+b)
Γ(a)Γ(b)
Função de Distribuição
F(x) = Ix(a,b) =
βx(a,b)
β (a,b)
em que βx(a,b) é a função beta incompleta.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
a
a+b
V (X) =
ab
(a+b+1)(a+b)2
Mx(t) não existe
Distribuição de Cauchy −Cauchy(θ ,σ)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
πσ
1
1+
(x−θ
σ
)2 ,−∞ < x < ∞, −∞ < θ < ∞, σ > 0
Função de Distribuição
F(x) =
1
π
arctan
(
x−θ
σ
)
+
1
2
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = ∞ V (X) = ∞, Mx(t) não existe
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Distribuição Erlang − Erl(λ ,k)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
λ kxk−1exp(−λx)
(k−1)!
, x > 0, λ > 0, k ∈ N
Função de Distribuição
F(x) =
γ (k,λx)
(k−1)!
,x > 0
sendo γ é a função gama incompleta.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
k
λ
V (X) =
k
λ 2
Mx(t) =
(
λ
λ − t
)k
, se t < λ
Distribuição Exponencial − Exp(λ )
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) = λe−λx, x > 0, λ > 0
Função de Distribuição
F(x) = 1− e−λx, x≥ 0
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
1
λ
V (X) =
1
λ 2
Mx(t) =
λ
λ − t
Distribuição Exponencial Dupla ou Laplace − Laplace(µ,σ)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
2σ
e
(
− |x−µ|
σ
)
,−∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ > 0
Função de Distribuição
F(x) =
{
1
2e
( x−µσ ) se x < µ
1− 12e
(− x−µσ ) se x≥ µ
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = µ V (X) = 2σ2, Mx(t) =
eµt
1− (σt)2
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Distribuição Gama − Gama(r,λ )
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
λ
Γ(r)
(λx)r−1e−λx x≥ 0, r > 0, λ > 0
Função de Distribuição
F(x) =
γ (r,λx)
Γ(r)
,x > 0
sendo γ é a função gama incompleta.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
r
λ
V (X) =
r
λ 2
Mx(t) =
(
λ
λ − t
)r
Distribuição Gama Inversa − IGama(r,λ )
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
λ
Γ(r)
(λx)−(r+1)e−
λ
x x≥ 0, r > 0, λ > 0
Função de Distribuição
F(x) =
γ
(
r, λx
)
Γ(r)
,x > 0
sendo γ é a função gama incompleta.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
λ
r−1
V (X) =
λ 2
(r−1)2(r−2)
Mx(t) = Não Existe
Distribuição Gumbel − Gumbel(µ,β )
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
β
e
x−µ
β e−e
x−µ
β
, −∞ < x < ∞,−∞ < µ < ∞, β > 0
Função de Distribuição
F(x) = 1− e−e
x−µ
β
,−∞ < x < ∞,
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = µ + γβ V (X) =
π2
6
β
2 Mx(t) = Γ(1−β t)eµt
em que γ é a constante Euler-Mascheroni aproximadamente igual a 0,5772156649015328606.
Distribuição Logistica − Logistica(µ,σ2)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
e−
(x−µ)
σ
σ
(
1+ e−
(x−µ)
σ
)2 , −∞ < x < ∞, , −∞ < µ < ∞, σ > 0
Função de Distribuição:
F(X) =
1
1+ e−
(x−µ)
σ
, −∞ < x < ∞
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = µ V (X) =
π2σ2
3
Mx(t) = eµtΓ(1−σt)Γ(1+σt), |t|<
1
σ
Distribuição Lognormal − LogN(µ,σ2)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
x
√
2πσ2
e−
(ln(x)−µ)2
2σ2 x > 0, −∞ < µ < ∞, σ2 > 0
Função de Distribuição:
F(X) = Φ
(
ln(x)−µ
σ
)
em Φ é a função de distribuição da distribuição normal padrão.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = eµ+
σ2
2 V (X) = (eσ
2
−1)e2µ+σ
2
Mx(t) não existe
Distribuição Normal − N(µ,σ2)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1√
2πσ2
e−
(x−µ)2
2σ2 ,−∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ2 > 0
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Função de Distribuição: não possui forma analítica.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = µ V (X) = σ2 Mx(t) = eµt+
σ2t2
2
Distribuição de Pareto − Pareto(a,b)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
bab
xb+1
, a < x < ∞, a > 0, b > 0
Função de Distribuição
F(X) = 1−
(a
x
)b
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
ab
b−1
, b > 1 V (X) =
a2b
(b−1)2(b−2
, b > 2 Mx(t) não existe
Distribuição Qui-quadrado − χ2(ν)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
2
ν
2 Γ
(
ν
2
) x ν2−1e− x2 ,x > 0, ν = 1,2,3, ...
Função de Distribuição
F(x) =
γ
(
ν
2 ,
x
2
)
Γ
(
ν
2
) ,x > 0
sendo γ é a função gama incompleta.
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = ν V (X) = 2ν , Mx(t) =
1
(1−2t) ν2
, t <
1
2
Distribuição Rayleigh − Ray(σ)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
x
σ2
exp
(
− x
σ2
)
,x > 0, σ > 0
Função de Distribuição
F(x) = 1− exp
(
− x
2σ2
)
,x > 0
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = σ
√
π
2
V (X) =
4−π
2
σ
2, Mx(t) = 1+σtexp
(
σ2t2
2
)√
π
2
(
er f
(
σt√
2
+1
))
Distribuição t de student − t(ν)
Função de Densidade de Probabilidade
f (xt) =
Γ(ν+12 )√
νπ Γ
(
ν
2
) (1+ x2
ν
)−( ν+12 )
,−∞ < x < ∞, ν = 1,2,3, ...,
Função de Distribuição
F(x) = 1− 1
2
Iw
(
ν
2
,
1
2
)
, w =
ν
x2 +ν
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] = 0,ν > 1 V (X) =
ν
ν−2
,ν > 2 Mx(t) não existe
Distribuição Uniforme −U(a,b)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) =
1
b−a
I[a,b](x)
Função de Distribuição
F(x) =
x−a
b−a
I[a,b](x)+ I(b,∞)(x)
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
a+b
2
V (X) =
(b−a)2
12
Mx(t) =
ebt− eat
(b−a)t
, t 6= 0
Distribuição Weibull −Weibull(a,b)
Função de Densidade de Probabilidade
f (x) = abxb−1e−ax
b
, x > 0, a > 0, b > 0
Função de Distribuição
F(x) = 1− e−ax
b
, x > 0
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos
E[X ] =
Γ
(
b+1
b
)
a
1
b
V (X) =
Γ
(
b+2
b
)
−Γ2
(
b+2
b
)
a
2
b
Mx(t) =
Γ
(
b+ t
b
)
a
t
b