Aula 5

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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS
MODELOS ARIMA E SARIMA
Anderson Castro Soares de Oliveira
Departamento de Estatística/ICET/UFMT
Modelo auto-regressivo integrado
de médias móveis (ARIMA)
MODELOS ARIMA
• Os modelos AR, MA e ARMA, são apropriados para des-
crever séries temporais estacionárias
• Na prática a maioria das séries são não estacionárias
• Para séries não estacionárias homogêneas, um número fi-
nito de diferenças, consegue-se atingir a estacionariedade.
• Na maioria dos casos e suficiente tomar d = 1 ou 2 dife-
renças para que ∆dYt seja estacionaria
MODELOS ARIMA
• Seja Yt uma série temporal não estacionaria.
• Fazendo
Zt = ∆dYt
• Temos que Zt é uma estacionária
• Podemos representar ZT por um modelo ARMA(p,q), es-
tacionário e invertível:
φ(B)Zt = θ(B)at
MODELOS ARIMA
• Como Zt é uma diferença de Yt então, Yt é uma integral de
Zt
• Yt segue um modelo auto regressivo, integrado e de mé-
dias móveis, isto é, um modelo ARIMA(p,d ,q) represen-
tado por:
φ(B)∆dYt = θ(B)at
em que
• p é a ordem da componente auto regressiva
• d é o número de diferenças tomadas na série
• q é a ordem da componente de médias móveis.
MODELOS ARIMA
• A identificação de um modelo ARIMA segue os seguintes
passos:
• Identificação da Ordem de Integração (d)
• Diferencia-se a serie Yt , tantas vezes quantas necessárias,
para se obter uma serie estacionaria
• É importante fazer os testes para garantir a ausência das
componentes deterministicas.
• Identificação do processo ARMA(p,q)
• a partir da série estacionária obtida na diferenciação é feita
uma análise das FAC e FACP,
• Pode-se identificar um dos modelos estacionários AR, MA e
ARMA.
MODELOS ARIMA
Exemplo
Período
ICV
1970 1972 1974 1976 1978 1980
200
400
600
800
100
0
120
0
140
0
Figura 1: Índices mensais de custo de vida no município de São
Paulo, entre os meses de janeiro de 1970 a junho de 1980.
MODELOS ARIMA
Exemplo
• A série transformada contém a componente de tendência,
teste de Cox-Stuart (valor − p < 0,01) .
Período
log
(IC
V)
1970 1972 1974 1976 1978 1980
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
Figura 2: Logarítmo dos índices mensais de custo de vida no
município de São Paulo, entre os meses de janeiro de 1970 a
junho de 1980.
MODELOS ARIMA
Exemplo
• Para retirar a tendência é necessário fazer duas diferenças.
• Pela FAC e FACP da série livre de tendência, verifica-se
que um modelo preliminar é ARIMA(6,2,1).
Figura 3: FAC (A) e FAP (B) da série duas diferenças de
defasagem 1 do logarítmo do índice mensal de custo de vida no
município de São Paulo.
MODELOS ARIMA
Exemplo
• O modelo ajustado é dado por
(1− B)2log(Yt ) = at + 0,83at−1,
em que at é um ruído branco, com V̂ar(at ) = 0,00013.
Modelo sazonal auto-regressivo
integrado de médias móveis
(SARIMA)
MODELOS SARIMA
• A componente periódica sazonal que se repete a cada s
(s > 1) observações está presente em grande parte das
séries temporais.
• Em dados mensais, por exemplo, com período sazonal s =
12, espera-se que Yt dependa de Yt−12 e, talvez, de Yt−24,
além de Yt−1,Yt − 2, ... .
• Tomar uma diferença não é suficiente para eliminar um pa-
drão sazonal acentuado e, conseqüentemente, deixar a sé-
rie estacionária.
• A forma apropriada é tomar diferenças no período sazonal,
denotada por ∆s = (1−Bs), em que s é o período sazonal.
MODELOS SARIMA
• Uma generalização do modelo ARIMA é o modelo ARIMA
sazonal multiplicativo (SARIMA):
φ(B)Φ(Bs)(1− B)d (1− Bs)DYt = θ(B)Θ(Bs)at
em que:
• φ(B) = 1− φ1B − ...− φpBp é o polinômio auto-regressivo
de ordem p;
• Φ(Bs) = 1− Φ1Bs − ...− ΦPBPs é o polinômio
auto-regressivo sazonal de ordem P;
• d é o número de diferenças necessárias para retirar a
tendência da série;
• D é o número de diferenças de lags s necessárias para
retirar a sazonalidade da série;
• θ(B) = 1− θ1B− ...− θpBp é o polinômio de médias móveis
de ordem q;
• Θ(Bs) = 1−Θ1Bs − ...−ΘPBPs é o polinômio de médias
móveis sazonal de ordem Q.
MODELOS SARIMA
• A identificação de um modelo SARIMA é feita considerando
os passos:
• Identificação da Ordem de Integração (d): diferencia-se a
serie Yt até obter uma serie livre de tendência
• Identificar o período sazonal s (periodograma)
• Identificação da Ordem de Integração Sazonal (D): diferencia-
se a serie Yt , considerando a ordem do periodo s, até obter
uma série livre de sazonalidade
• Identificação do processo ARMA(p,q): a partir da série es-
tacionária, analisa-se as FAC e FACP, de forma a verificar
a ordem p e q
• Identificação do ordem sazonal: Verifica-se se existem lag’s
significativos múltiplos de s na FAC e FACP, de forma a
obter a ordem P e Q.
MODELOS SARIMA
Exemplo
Período
CO
2
1994 1996 1998 2000 2002 2004
35
0
35
5
36
0
36
5
37
0
37
5
38
0
Figura 4: Níveis mensais de dióxido de carbono (CO2) no norte do
Canadá, de janeiro de 1994 a dezembro de 2004.
MODELOS SARIMA
Exemplo
• Para retirar a tendência é necessário fazer uma diferença
(d=1).
• Foi observado um periodo de 12 meses.
• Para retirar a sazonalidade é necessário fazer uma dife-
rença (D=1)
MODELOS SARIMA
Exemplo
• Pela FAC e FACP da série livre de tendência e sa-
zonalidade, verifica-se que um modelo preliminar é
SARIMA(2,1,1)(2,1,1)12.
(A) (B)
0 5 10 15 20 25 30 35
−
0
.4
−
0
.2
0
.0
0
.2
Lag
A
C
F
0 5 10 15 20 25 30 35
−
0
.4
−
0
.2
0
.0
0
.2
Lag
P
a
r
ti
a
l 
A
C
F
Figura 5: FAC (A) e FACP (B) da série dos níveis mensais de
CO2 livre de tendência e sazonalidade por diferenciação de
defasagens 1 e 12.
MODELOS SARIMA
Exemplo
• O modelo sazonal ajustado é dado por
(1 − 0, 33B − 0, 27B2)(1 − B12)(1 − B)Yt = (1 + 0, 99B)(1 + 0, 80B12)at ,
em que at é um ruído branco com V̂ar(at ) = 0,5487.
Metodologia de Box & Jenkins
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
• A metodologia proposta por Box & Jenkins consiste em
ajustar modelos auto-regressivos integrados de médias mó-
veis a um conjunto de dados.
• Para a construção do modelo seguimos um algoritmo atra-
vés dos seguintes passos:
• Identificação
• Estimação
• Verificação
• Previsão
• Caso o modelo não seja adequado o algoritmo é repetido,
voltando à fase de identificação.
• O método é apropriado para séries de comprimento médio
a longo, de no mínimo, 50 e, preferencialmente 100 obser-
vações
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
• O processo de identificação consiste em determinar quais
modelos podem ser ajustados AR, MA, ARMA, ARIMA ou
SARIMA, bem como quais são suas respectivas ordens.
• A realização do processo de identificação do modelo se ba-
seia na análise de autocorrelações, autocorrelações parci-
ais das séries estacionária
• Além da FAC e FACP deve-se identificar o numero de dife-
renças para tonar series não estacionárias em estacioná-
ria.
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Identificação
• O processo de identificação consiste em determinar quais
modelos podem ser ajustados AR, MA, ARMA, ARIMA ou
SARIMA, bem como quais são suas respectivas ordens.
• A realização do processo de identificação do modelo se ba-
seia na análise de autocorrelações, autocorrelações parci-
ais das séries estacionária
• Além da FAC e FACP deve-se identificar o numero de dife-
renças para tonar series não estacionárias em estacioná-
ria.
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Identificação
• A identificação é a etapa mais difícil da metodologia de Box
& Jenkins.
• Um pesquisador pode identificar vários modelos para uma
mesma serie temporal
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Estimação
• Nessa etapa é estimado os parâmetros
• E verifica-se quais são significativos.
• O modelo deve conter apenas os parâmetros significativos
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Verificação
• A etapa de verificação consiste fazer um diagnostico do
modelo, no intuito de verificar se o modelo identificado e
estimado, é adequado.
• Caso o modelo não seja adequado, deve-se tentar identifi-
car outro modelo.
• Esta verificação é feita pelo teste da autocorrelação resi-
dual e pelo teste de Box-Pierce
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Verificação
• A função de autocorrelaçãodos resíduos é utilizada para
verificar se os resíduos são não-correlacionados.
• Sob a suposição que o modelo ajustado é apropriado. As
autocorrelações são calculadas por
r̂k =
T∑
t=k+1
ât ât−k
T∑
t=1
â2t
em que k = 0,1,2... e â2t o resíduo do modelo.
• Pode-se dizer que o modelo é adequado quando r̂k estiver
dentro dos limites ± 2√n .
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Verificação
• Para testar se as autocorrelações do modelo ajustado são
significativamente diferente de zero pode-se utilizar o teste
de Ljung-Box.
• O teste é baseado nas k primeiras estimativas das autocor-
relações, r̂k dos resíduos.
• A estatística do teste é dada por:
Q(k) = n(n + 2)
k∑
j=1
r̂2k
n − j
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Verificação
• Se o modelo ajustado for apropriado
Q(k) ∼ χ2k−η
em que k é o número de "lag’s"e η é o numero de parâme-
tros estimados com excessão de σ2.
• De modo geral, o número k de autocorrelações amostrais
é tipicamente escolhido entre 15 e 30.
• Valores grandes de Q fornecem indicação contra a hipótese
de que as autocorrelações todas são nulas, em favor da
hipótese de que ao menos uma delas é diferente de zero.
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Previsão
• Se o modelo for considerado adequado ele pode ser utili-
zado para realizar previsões.
• A previsão de Yt+h, para h = 1,2, · · · ,n, é denotada por
Ŷt (h) e é definida como a esperança condicional de Yt+h
dado todos os valores passados, isto é:
Ŷt (h) = E [Yt+h|Yt ,Yt−1,Yt−2, · · · ]
• O erro de previsão é definido por
et (h) = Yt+h − Ŷt (h)
em que Yt+h é o valor real e Ŷt (h) é o valor predito.
• Sob a suposição que et (h) ∼ N(0, σ2a) é possível obter um
intervalo de confiança para as previsões.
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Seleção de Modelos
• Vários modelos podem ser identificados para descrever
uma série.
• Existem critérios para escolha do melhor modelo de acordo
com o objetivo do ajuste.
• Em princípio, quanto menor for a variância do erro, melhor
é o modelo.
• Mas outros critérios podem ser utilizados, tais com
• Critério de informação de Akaike (AIC)
• Erro quadrático médio de previsão (EQMP)
• Erro Percentual Médio Absoluto (MAPE)
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Seleção de Modelos
• Na comparação de diversos modelos, com N fixo, o crité-
rio de Akaike pode ser utilizado para selecionar o melhor
modelo.
• Este critério, é expresso por:
AIC = Nlogσ2a + 2(η + 2)
• O melhor modelo será aquele que apresentar menor AIC
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Seleção de Modelos
• Sendo o objetivo do ajuste a realização de previsão, o me-
lhor modelo será o que apresentar o menor erro quadrático
médio de previsão (EQMP).
• As estimativas EQMP são dadas pela média dos quadrados
das diferenças entre valores observados e valores preditos.
• O EQMP com origem em t é dado por:
EQMP =
1
n
n∑
h=1
(
Yt+h − Ŷt (h)
)2
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Seleção de Modelos
• Outra medidas de erro utilizada para analisar os erros gera-
dos pelas previsões encontradas é o Erro Percentual Médio
Absoluto (MAPE):
MAPE =
1
n
n∑
h=1
∣∣∣∣∣Yt+h − Ŷt (h)Yt+h
∣∣∣∣∣
• O modelo escolhido é aquele que possuir menor MAPE.
METODOLOGIA DE BOX & JENKINS
Seleção de Modelos
• Outra medidas de erro utilizada para analisar os erros gera-
dos pelas previsões encontradas é o Erro Percentual Médio
Absoluto (MAPE):
MAPE =
1
n
n∑
h=1
∣∣∣∣∣Yt+h − Ŷt (h)Yt+h
∣∣∣∣∣
• O modelo escolhido é aquele que possuir menor MAPE.
	
	Modelo auto-regressivo integrado de médias móveis (ARIMA)
	 Modelo sazonal auto-regressivo integrado de médias móveis (SARIMA)
	Metodologia de Box & Jenkins