CV - Lista 1 - Integral Dupla

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1 
 
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
1. Calcule  
 
 
R
f x, y dA , onde: 
 
 2y1 e 21/Ry)(x,R e 1),(
2
y0 e 20/Ry)(x,R e )cos(),()
1y0 e 31/Ry)(x,R e ),()
2
2
2











x
yx
yxf
xxyxyxfb
xxeyxfa xy

 
 
2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais duplas: 
 
a)  
 
 
 
1 2x
0 x
2x 4y dydx  c)  
 
 
 
21 1 y
0 0
x dxdy

  e)  
 
 
 
2
1 x
0 x
2xy dydx  
b)  
 
 
 
 
e 1
1 ln x
x dydx  d)  
 
 
 
2
2
1 4 x
1 1 x
x dydx

   
f)  
 
 
 
1 x
2 2
1 1
x 2y dydx
 
  
 
3. Inverta a ordem de integração adequadamente: 
 
a)  
 
 
 
4 y 2
0 0
f x, y dxdy  b)  
 
 
 
2
3
1 x
0 x
f x, y dydx  c)  
 
 
 
x2 e
1 0
f x, y dydx  d)  
 
 
 
1 3x
0 2x
f x, y dydx  
 
4. Resolva as questões abaixo: 
 
a) Calcule  
 
 
R
8 x y dA  , onde R é a região delimitada por y x y 
2 4 e . 
 
b) Calcule 
 
 
 
R
y ln x
dA
x
 
 
 
 , onde R é a região retangular    e 
2x, y / 1 x 2 1 y 1      . 
 
c) Calcule  
 
 
R
x y dA , onde R é a região delimitada por y x + , y x , x x      
2 21 1 1 1 e . 
 
d) Calcule  
 
 
R
x y dA , onde R é a região hachurada na figura 1. 
 
e) Calcule 
 
 
 
21 1 x
0 y
e dxdy  . Observe a região hachurada na figura 2. 
 
f) Calcule 
 
 
R
x dA , onde R é a região hachurada na figura 3. 
 
 
 
 Figura 1. Figura 2. Figura 3. 
Última atualização: 13/08/2012 
 
1
a
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
ÁREA1 – Faculdade de Ciência e Tecnologia. 
Curso de Engenharia Elétrica. 
Disciplina: Cálculo Vetorial. 
Professores: Maurício Brandão, Rosely Bervian e Danielly Oliveira 
Aluno(a): ______________________________. Turma: ______. 
db0551409
Rectangle
db0551409
Highlight
db0551409
Rectangle
db0551409
Textbox
db0551409
Textbox
db0551409
Textbox
db0551409
Textbox
db0551409
Textbox
 
2 
5. Sejam    yqxp e funções contínuas. Se R é a região retangular    e 2x, y / a x b c y d     , 
mostre que: 
       
 
 
 
b d
R a c
p x q y dxdy p x dx q y dy     . 
 
6. Use o resultado do exercício (5) para calcular    
 
 
R
sen x sen y dxdy , onde R é a região retangular 







2
y0 e 
2
0/Ry)(x,R 2

x . 
 
 
Integrais duplas em coordenadas polares 
 
7. Calcule  
 
 
2
2 2
R
x y dxdy , onde R é a região hachurada na figura 4. 
 
8. Calcule 
  
 
3 2R 2 2
dxdy
1 x y 
 , onde R é a região hachurada na figura 5. 
 
9. Calcule 
 
 2 2
R
x y dxdy , onde R é a região delimitada por x y
2 2 1  e x y2 2 9  . 
 
10. Calcule  
 R
 8 x y dxdy  , sendo R delimitada por x y
2 2 1  . Interprete geometricamente. 
 
11. Calcule: 
 
a)  
 
2 2
R
 ln x y dxdy , sendo R o anel delimitado por x y x y
2 2 2 216 25    e . 
 
b) 
 
 
2 22 x y
R
 e dxdy

 , sendo R a região circular 4yx
22  . 
 
12. Calcule: 
 
a)  
 
 
 
24 4 y y
2 2
0 0
x y dxdy

  . 
 
b) 
 
 
 
2 2a a x
2 2
0 0
x y dydx

  , considere a uma constante real positiva. 
 
13. Calcule 
 R
dxdy sendo R a região hachurada na figura 6. 
 
 
 
 
 Figura 4. Figura 5. Figura 6. 
 
 
3 
Cálculo de volumes 
 
 Sabemos que, para   0y,xf  , a integral 
 
 
 R
V f x, y dA  
 
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de  y,xfz  , inferiormente pela região R 
(projeção de  y,xfz  sobre o plano xy) e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. 
 
 
 
14. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide z x y  4 2 22 2 . Esboce o 
sólido. 
 
15. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 1yx 22  e 
superiormente pelo parabolóide 
22 yxz  . Esboce o sólido. 
 
16. Prove, usando integral dupla, que o volume do tetraedro da figura 7 é dado por a
3
/6. 
 
17. Calcule o volume do tetraedro da figura 8, sabendo-se que ele está limitado no primeiro octante pelo plano de 
equação 
z x y
3 2 1
1   . 
 
18. Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano 2yz  e pelo cilindro vertical que 
contorna a região plana delimitada por 
2xy  e 2yx  . Veja o sólido na figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7. Figura 8. Figura 9. 
 
 
4 
19. Mostre, usando integral dupla, que: 
 
a) O volume de um cilindro circular reto de altura h e raio de base a é dado por V a h  2 . 
 
b) O volume de um cone circular reto de raio de base a e altura h é dado por 3haV 2 . Use a equação do 
cone   2 2z h a x y   . Esboce o cone. 
 
Obs. O volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma altura e raio de base. 
 
20. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce-os. 
 
a) inferiormente por 0z  , lateralmente por 1yx
22  e superiormente por  22 yx4z  . 
b) inferiormente pelo plano xy , lateralmente por 4yx 22  e superiormente por 8zy  . 
c) inferiormente por 0z  , lateralmente por 16yx
22  e superiormente por x10z  . 
 
Cálculo de áreas 
 
 Se na expressão  
 R
 f x, y dA fazemos   1y,xf  , obtemos R dA que nos dá a área da 
região de integração R: 
 
 
 
 Se R é uma região do tipo I, então    
 
  
 
2
1
b g x
a g x
Área R 1 dydx   . 
 Se R é uma região do tipo II, então    
 
  
 
2
1
d h y
c h y
Área R 1 dxdy   . 
 
 
 
21. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos: 
 
a) y x y x y    3 2 0, e . b) y e y x xx  1 0, e . 
 
c) x y x y    2 1 3 e . d)   1yxlny;0, yyx;0, xxy 23  e 
 
   
 R
Área R 1 dA  
 
5 
22. Calcule a área da região hachurada na figura 10. 
 
23. Determine uma expressão de integral dupla, com limites de integração, que calcula corretamente o valor da 
área sombreada da figura 11. 
 
Obs.: Os valores das coordenadas dos pontos A e B foram aproximados. 
 
 
 
 
 Figura 10. Figura 11. 
 
 
Respostas: 
 
1. a) e3-e-2. b) 4/. c) 10ln(2)-6ln(3). 
 
2. a) 8/3. b) (e2-3)/4. c) 1/3. d) 0. e) 1/6. f) -1/2. 
 
3. a)  
 
 
 
2 4
0 2x
f x, y dydx  . b)  
 
 
 
31 y
0 y
f x, y dxdy  . c)    
 
 
 
2e 2 e 2
0 1 e ln y
f x, y dxdy f x, y dxdy    . 
 d)    
 
 
 
2 y 2 3 1
0 y 3 2 y 3
f x, y dxdy f x, y dxdy    . 
 
4. a) 896/15. b) 0. c) 0. d) 2. e) (e -1)/2. f) 5/6. 
 
6. 1. 
 
7. 32/3. 
 
8.    22 1 1 1 a      
 
9. 52/3. 
 
10. 8. (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pelo plano de equação yx8z  ). 
 
11. a) [25ln(25) - 16ln(16) - 9]. b)   1e2 8  . 
 
12. a) 12. b) a3/6. 
 
13. 27/8. 
 
14. 4 u.v. 
 
15. /2 u.v. 
 
17. 1 u.v. 
 
18. 31/60 u.v. 
 
20. a) 7/2 u.v. b) 32 u.v. c) 160 u.v. 
 
21. a) 3/4 u.a. b) (e -2)/(2e) u.a. c) 9/2 u.a. d)   43,31213ee 1   u.a. 
 
22. 146/9 u.a. 
 
23.    
 
 
Área 
2 2
x
0 9 x 1,1 9 x
1,6 x 1 0 e
1 dydx 1 dydx
 
  
     . Existem outras respostas.