Aula-19_Escoamento-Interno

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Aula 19 – Convecção Forçada: 
Escoamento InternoEscoamento Interno
UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e 
Mecânica
Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez
1
Escoamento Interno
Camada limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular
Características de escoamentos internos:
• Escoamento confinado por superfícies;
• A camada limite se desenvolve com restrição;• A camada limite se desenvolve com restrição;
• Existem regiões distintas: de entrada do escoamento (camada
limite em desenvolvimento) e desenvolvida (camada limite
desenvolvida);
• Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento;
• Escoamento desenvolvido: u=u(r).
Condições de Escoamento
Laminar
Escoamento Interno
Escoamento Externo
Turbulento
Laminar
Região de entrada
Região plenamente 
desenvolvida
Escoamento Interno
Turbulento
desenvolvida
Região de entrada
Região plenamente 
desenvolvida
Condições de escoamento: Tubo circular 
• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:
Escoamento Interno
• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:
Onde:
- um é a velocidade média do fluido na seção transversal;
- D é o diâmetro do tubo.- D é o diâmetro do tubo.
• Número de Reynolds crítico:
• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar
Condições de escoamento: Tubo circular 
Escoamento Interno
•
(Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada).
• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento
(Re > 2300).(Re > 2300).
• Para escoamento turbulento será admitido (x/D) >10.
A Velocidade Média
• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.
Condições de escoamento: Tubo circular 
Escoamento Interno
• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.
• Escoamento interno → Velocidade média.
m trm u A
m
m
u 

Isolando um resulta:
m
tr
u
A


Número de Reynolds então fica:
m
2
tr
u D D m D m 4m
Re
A DD
4
 
     
    
   4m
Re
D 


Representando a vazão mássica pela integral de .u na
A Velocidade Média
Condições de escoamento: Tubo circular 
Escoamento Interno
Representando a vazão mássica pela integral de .u na
seção transversal, tem-se:
Como entãom trm u A
Escoamento Interno
Considerações Térmicas
• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor
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• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor
do que a temperatura da superfície do tubo ocorre a transferência
de calor por convecção e uma camada limite térmica começa a se
desenvolver.
• Se tivermos uma condição imposta de temperatura na superfície ou
fluxo de calor constante na parede do tubo termina-se em uma
condição térmica completamente desenvolvida.
• Comprimento de entrada
térmica para escoamento Analisando:
Escoamento Interno
Considerações Térmicas
térmica para escoamento
laminar.
• Em comparação ao
cd ,t
D
lam
0 ,05 Re Pr
D
 
 
 
Analisando:
Se Pr > 1, a camada limite fluidodinâmica se 
desenvolve mais rapidamente que a camada 
limite térmica (xcd,v < xcd,t), enquanto o 
inverso é verdadeiro para Pr < 1.
Para Pr ≥ 100 (extremamente elevados, 
como óleos) xcd,v é muito menor que o 
9
• Em comparação ao
comprimento de entrada
fluidodinâmica.
cd ,v
D
lam
0 ,05 Re
D
 
 
 
como óleos) xcd,v é muito menor que o 
comprimento de entrada térmico, sendo 
razoável admitir um perfil de velocidades 
plenamente desenvolvido ao longo de toda a 
região de entrada térmica.
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento
cd ,t
tur
10
D
 
 
 
São praticamente independente do Pr 
10
tur
D 
Considerações Térmicas
A Temperatura Média
Escoamento Interno
Escoamento Externo Escoamento Interno
Velocidade na corrente livre  Velocidade Média
Temperatura na corrente livre  Temperatura Média
 q mc T T 
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● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes 
para a convecção em escoamento interno
● É necessária a definição de uma temperatura média
 p sai entq m c T T 
Considerações Térmicas
A Temperatura Média
 mc T uc TdA
Escoamento Interno
 
tr
p m p tr
A
m c T uc TdA


tr
p tr
A
m
p
uc TdA
T
mc


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Para escoamento em tubo circular com  e cp constantes e 
:
p

 
or
m 2
m 0 0
2
T uT r dr
u r
m trm u A
Considerações Térmicas
Lei do Resfriamento de Newton
Escoamento Interno
  s s mq h(T T )
Onde h é o coeficiente de transferência de calor local
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Tm e T∞ (para esc. externo) são essencialmente diferentes
- T∞ é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)
- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x)
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Escoamento Interno
As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato 
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As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato 
atingidas?
Se houver transferência de calor, dTm/dx nunca será igual a zero. Então,
Tm sempre variará e seu valor aumentará com x se a transferência de
calor for da superfície para o fluido (Ts > Tm), e Tm diminuirá com x se a
transferência de calor for do fluido para a superfície (Ts < Tm).
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
O valor de Tm ou perfil de T(r) sempre estará mudando com x e a condição de
plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada
Escoamento Interno
plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada
com o uso da temperatura adimensional definida por:
Embora o perfil de temperaturas T(r) continue variando com x, a forma relativa
desse perfil permanece inalterado e, portanto, podemos afirmar que o
escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal
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escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal
condição é estabelecida por
Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e 
- Fluxo Térmico Uniforme na superfície
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, 
Escoamento Interno
Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, 
sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja:

  
   
    
s
s m s m r rcd ,t o
T T 1 T
f ( x )
r T T T T r
Da Lei de Fourier
 
   
 
s
T T
q k k
16
Da Lei de Fourier
Da Lei do Resfriamento de Newton
 
   
 
s
y 0 r ro
q k k
y r
   s s mq h T T
Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Escoamento Interno

h
f ( x )
k
● Conclui se que o coeficiente de convecção local
é uma constante, independente de x, no
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é uma constante, independente de x, no
escoamento termicamente plenamente
desenvolvido de um fluido com propriedades
constantes.
● Na entrada, h varia com x
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
a) A derivada da temperatura
Escoamento Interno
a) A derivada da temperatura
adimensional em relação à x não é
nula para a região de entrada.
b) Como a espessura da camada limite
térmica é zero na entrada do tubo o
coeficiente de convecção é
extremamente elevado em x=0.
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Variação de h em um tubo.
a) Entretanto, h decai rapidamente à
medida que a camada limite térmica se
desenvolve até que o valor constante,
associado às condições plenamente
desenvolvidas, seja atingido.
O Balanço de Energia
Objetivo: Avaliar como Tm varia ao longo da tubulação,
Avaliar como qconv é relacionada com as diferenças de temperaturas na 
entrada e saída do tubo.
Escoamento Interno
19
 ent,msai,mpconv TTcmq  
 conv p m m mdq m c T dT T     conv p mdq mc dT  
O Balanço de Energia
Escoamento Interno
conv p mdq mc dT 
 ms
pp
sm TTh
cm
P
cm
Pq
dx
dT




representando s p mq P dx mc dT  
Rearranjando e substituindo
O Balanço de Energia

Escoamento Interno
 ms
pp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT




A solução da equação depende da condição térmica da
superfície. Serão consideradas dois casos:
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superfície. Serão consideradas dois casos:
- Fluxo térmico constante na superfície;
- Temperatura superficial constante.
O Balanço de Energia
Fluxo Térmico Constante na Superfície
Escoamento Interno
T xx
dT q P q P 
 
A taxa de transferência de calor é dada por:  L.Pqq sconv 
 ms
pp
sm TTh
cm
P
cm
Pq
dx
dT




E integrando a Equação desde x=0:
22
x
m s s
m
p pT 0m,ent
dT q P q P
dT dx
dx mc mc
 
    

  sm m,ent s
p
q P
T ( x ) T x q cons tan te
m c
O Balanço de Energia
Fluxo Térmico Constante na Superfície
q P
Escoamento Interno

  sm m,ent s
p
q P
T ( x ) T x q cons tan te
m c
Podemos concluir que:
- A temperatura média varia 
linearmente com x ao longo do tubo;
- Na entrada Ts-Tm cresce com x, 
23
- Na entrada Ts-Tm cresce com x, 
porque h=h(x) cai com x (qs" = h (Ts-
Tm)=cte);
- Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm
também.
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Fazendo (Ts-Tm)= T na equação
Escoamento Interno
 
Th
cm
P
dx
Td
dx
dT
p
m 



Fazendo (Ts-Tm)= T na equação
 ms
pp
sm TTh
cm
P
cm
Pq
dx
dT




24
cmdxdx p
Separando variáveis e integrando
 
 
L
0p
T
T
dxh
cm
P
T
Td
sai
ent





Resolvendo a integração, resulta:
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
Resolvendo a integração, resulta:










 
L
0pent
sai dxh
L
1
cm
PL
T
T
ln


Lembrando que é, por definição o
L
0
1
hdx
L
25
0L
coeficiente de convecção médio ,ou tem-se:Lh
tetanconsTh
cm
PL
T
T
ln sL
pent
sai 


h
 sai
T PL
ln h

O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
Reordenando resulta: 
sai
L
ent p
T PL
ln h
T mc

 
tetanconsTh
cm
PL
exp
TT
TT
T
T
s
pent,ms
sai,ms
ent
sai 














Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x
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Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x
no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:
tetanconsTh
cm
Px
exp
TT
)x(TT
s
pent,ms
ms 












O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
teconsTh
cm
Px
TT
xTT
s
pentms
ms tanexp
)(
,













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(Ts-Tm) Decai exponencialmente com x
● Taxa de transferência de calor
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
      saientpsai,msent,mspconv TTcmTTTTcmq   
● Taxa de transferência de calor
Da equação
Somando e subtraindo Ts
 entmsaimpconv TTcmq ,,  
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Substituindo tirado da Equação
 p L
sai
ent
PL
mc h
T
ln
T



pmc
L
pent
sai h
cm
PL
T
T




ln
● Taxa de transferência de calor
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
tetanconsTTAhq mlsconv  
● Taxa de transferência de calor
Onde
sA
T
- É a área da superfície do tubo L.PAs 
29
mlT








ent
sai
entsai
ml
T
T
ln
TT
T




- É a diferença média logarítmica de temperatura
dada por:
O Balanço de Energia
Temperatura do fluido externo ao tubo
● Taxa de transferência de calor
Escoamento Interno
● Taxa de transferência de calor
Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a
temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se:














p
s
ent,m
sai,m
ent
sai
cm
AU
exp
TT
TT
T
T


mls TAUq 



 pent,ment cmTTT

e
Onde é o coeficiente global de transferência de calorU
O Balanço de Energia
Temperatura do fluido externo ao tubo
● Taxa de transferência de calor
Escoamento Interno
● Taxa de transferência de calor
As equações podem ser escritas como:


 
   
   
m,saisai
ent m ,ent p tot
T TT 1
exp
T T T mc R

 
31
e
Onde
tot
ml
R
T
q


tot
s
1
R
UA
Escoamento Laminar em Tubos Circulares
Análise Térmica e Correlações de Convecção
● Região plenamente desenvolvida
Escoamento Interno
● Região plenamente desenvolvida
Para fluxo de calor constante
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Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes
- k é avaliado em Tm
Para temperatura na superfície constante
Exercício 19.1
Vapor condensando na superfície externa de um tubo de
paredes finas de 50 mm de diâmetro de 6 m de comprimento
mantém constante a temperatura do tubo em 100 ᵒC. Água
escoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturasescoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturas
médias na entrada e na saída o tubo são Tm,ent = 15
oC e Tm,sai
= 57 oC, respectivamente. Qual é o coeficiente médio de troca
de calor por convecção neste caso? (Para Tmédia = 36
oC  cp
= 4178 J/(kg∙K)).
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Premissas:
a) Desprezível a resistência por condução nas
paredes do tubo;
b) Líquido incompressível e dissipação viscosa
desprezível;desprezível;
c) Propriedades constantes;
Do balanço de energia e a taxa de transferência de
calor:
34
Da temperatura logarítmica média: