[7724 - 23416]EngenhariaEconomica

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Engenharia Econômica
Disciplina na modalidade a distância
Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Campus UnisulVirtual – Educação Superior a Distância
Reitor Unisul
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor 
Sebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da 
Reitoria
Willian Máximo
Pró-Reitora Acadêmica
Miriam de Fátima Bora Rosa
Pró-Reitor de Administração
Fabian Martins de Castro
Pró-Reitor de Ensino
Mauri Luiz Heerdt
Campus Universitário de 
Tubarão 
Diretora
Milene Pacheco Kindermann
Campus Universitário da 
Grande Florianópolis 
Diretor 
Hércules Nunes de Araújo
Campus Universitário 
UnisulVirtual
Diretora
Jucimara Roesler 
Equipe UnisulVirtual 
Diretora Adjunta
Patrícia Alberton 
Secretaria Executiva e Cerimonial
Jackson Schuelter Wiggers (Coord.)
Marcelo Fraiberg Machado
Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos 
Internacionais 
Murilo Matos Mendonça
Assessoria de Relação com Poder 
Público e Forças Armadas
Adenir Siqueira Viana
Walter Félix Cardoso Junior
Assessoria DAD - Disciplinas a 
Distância
Patrícia da Silva Meneghel (Coord.)
Carlos Alberto Areias
Cláudia Berh V. da Silva
Conceição Aparecida Kindermann
Luiz Fernando Meneghel
Renata Souza de A. Subtil
Assessoria de Inovação e 
Qualidade de EAD
Denia Falcão de Bittencourt (Coord)
Andrea Ouriques Balbinot
Carmen Maria Cipriani Pandini
Iris de Sousa Barros
Assessoria de Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.)
Felipe Jacson de Freitas
Je�erson Amorin Oliveira
Phelipe Luiz Winter da Silva
Priscila da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Tamara Bruna Ferreira da Silva
Coordenação Cursos
Coordenadores de UNA
Diva Marília Flemming
Marciel Evangelista Catâneo
Roberto Iunskovski
Assistente e Auxiliar de 
Coordenação
Maria de Fátima Martins (Assistente)
Fabiana Lange Patricio
Tânia Regina Goularte Waltemann
Ana Denise Goularte de Souza
Coordenadores Graduação
Adriano Sérgio da Cunha
Aloísio José Rodrigues
Ana Luísa Mülbert
Ana Paula R. Pacheco
Arthur Beck Neto
Bernardino José da Silva
Catia Melissa S. Rodrigues
Charles Cesconetto
Diva Marília Flemming
Fabiano Ceretta
José Carlos da Silva Junior
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
Jorge Alexandre N. Cardoso
José Carlos N. Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto D. Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luciana Manfroi
Luiz G. Buchmann Figueiredo
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina S. Veit
Maria da Graça Poyer
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça
Nélio Herzmann
Onei Tadeu Dutra
Patrícia Fontanella
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz M. Pinheiro
Tatiana Lee Marques
Valnei Carlos Denardin
Roberto Iunskovski
Rose Clér Beche
Rodrigo Nunes Lunardelli
Sergio Sell
Coordenadores Pós-Graduação
Aloisio Rodrigues
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Nunes
Leticia Cristina Barbosa
Luiz Otávio Botelho Lento
Rogério Santos da Costa 
Roberto Iunskovski
Thiago Coelho Soares
Vera Regina N. Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira
Cristina Mara Schau�ert
Djeime Sammer Bortolotti
Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing  Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Eduardo Rodrigues
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back 
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa 
e Extensão
Moacir Heerdt (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto e 
Reconhecimento de Curso
Diane Dal Mago
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho(Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Simone Zigunovas (Capacitação)
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Fabiana Pereira
Tutoria e Suporte
Claudia Noemi Nascimento (Líder)
Anderson da Silveira (Líder)
Ednéia Araujo Alberto (Líder)
Maria Eugênia F. Celeghin (Líder)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Francine Cardoso da Silva
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Patrícia de Souza Amorim
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho 
e Desenvolvimento de 
Materiais Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Silvana Souza da Cruz (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Ana Cláudia Taú
Carmelita Schulze
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Gislaine Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
Jaqueline de Souza Tartari
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Letícia Laurindo de Bon�m
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Melina de La Barrera Ayres
Michele Antunes Corrêa
Nágila Hinckel
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael Araújo Saldanha
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle 
Sabrina Bleicher
Sabrina Paula Soares Scaranto
Viviane Bastos
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Avaliação da aprendizagem 
Geovania Japiassu Martins (Coord.)
Gabriella Araújo Souza Esteves 
Jaqueline Cardozo Polla
Thayanny Aparecida B.da Conceição
Gerência de Logística
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme Lentz
Marlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
Yslann David Melo Cordeiro
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Gerência de Marketing
Fabiano Ceretta (Gerente)
Relacionamento com o Mercado 
Eliza Bianchini Dallanhol Locks
Relacionamento com Polos 
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
Jeferson Pandolfo
Karine Augusta Zanoni
Marcia Luz de Oliveira
Assuntos Jurídicos
Bruno Lucion Roso
Marketing Estratégico
Rafael Bavaresco Bongiolo
Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues 
Andreia Drewes
Luiz Felipe BuchmannFigueiredo
Marcelo Barcelos
Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Adriana Ferreira dos Santos
Alex Sandro Xavier
Alice Demaria Silva
Anne Cristyne Pereira
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Daiana Ferreira Cassanego
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Frederico Trilha
Higor Ghisi Luciano
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Oberdan Porto Leal Piantino
Patrícia Fragnani de Morais
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino 
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
Maria Isabel Aragon (Gerente)
André Luiz Portes 
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenni�er Camargo
Juliana Cardoso da Silva
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Monique Napoli Ribeiro
Nidia de Jesus Moraes
Orivaldo Carli da Silva Junior
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Tatiane Crestani Trentin
Vanessa Trindade
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
Joseane Borges de Miranda
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Design instrucional
Cristina Klipp de Oliveira 
1ª edição revista, atualizada e ampliada
Engenharia Econômica
Livro didático
Edição – Livro Didático
Professora Conteudista
Joseane Borges de Miranda
Design Instrucional
Cristina Klipp de Oliveira
Assistente Acadêmico
Aline Cassol Daga (1ª ed. rev. atual.)
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Daniel Blass
Jordana Paula Schulka (1ª ed. rev. atual.)
Revisão
B2B
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
658.152
M64 Miranda, Joseane Borges de
Engenharia econômica : livro didático / Joseane Borges de Miranda ; 
design instrucional Cristina Klipp de Oliveira ; [assistente acadêmico Aline 
Cassol Daga]. – 1. ed., atual. e ampl. – Palhoça : UnisulVirtual, 2011.
149 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
1. Investimentos – Análise. 2. Engenharia econômica. I. Oliveira, Cristina 
Klipp de. II. Daga, Aline Cassol. III. Título.
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Palavras da professora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 - Introdução à Engenharia Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE 2 - Métodos de análise de investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
UNIDADE 3 - Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio . . . . . . . . . 55
UNIDADE 4 - Incerteza e riscos em projetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
UNIDADE 5 - Substituição de equipamentos, Depreciação e Leasing . . . . 93
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Sobre a professora conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 123
Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Engenharia 
Econômica.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma 
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados 
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática 
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica 
caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou 
para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores 
e instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem 
à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: 
telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, 
que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e 
recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. 
Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe 
atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
Palavras da professora
Prezado(a) acadêmico(a),
As organizações estão passando por várias mudanças, dado 
o grau de globalização da economia e o desenvolvimento das 
telecomunicações, assim, para serem mais competitivas, as 
organizações adotam algumas estratégias, dentre elas a análise 
econômica de investimentos, que estudaremos nesta disciplina, 
é de suma importância.
Empresas públicas e privadas, agências do governo e 
investidores sempre estão se defrontando com numerosas 
oportunidades de investimento. A correta escolha de um 
projeto ou investimento, dentre uma gama de oportunidades 
possíveis, pode determinar o sucesso ou o fracasso da entidade, 
seja ela pública ou privada. O estudo da viabilidade econômica 
de investimentos é denominado de Engenharia Econômica. 
A Engenharia Econômica pode ser definida como o conjunto 
de princípios e técnicas necessários à tomada de decisões sobre 
alternativas de investimentos. Em geral, aplicam-se estas 
técnicas para a tomada de decisões de longo prazo. 
Alguns dos problemas em que poderemos aplicar os métodos 
tradicionais de análise de investimentos ou engenharia 
econômica para escolher a alternativa mais adequada são, por 
exemplo, comprar um veículo à vista ou a prazo; alugar ou 
comprar um equipamento; usar lâmpadas incandescentes ou 
fluorescentes para a iluminação.
Estas são algumas decisões importantes para a estratégia 
competitiva das organizações já que são decisões que 
envolvem custos, ou seja, valoração monetária das opções 
de investimento. É claro que ao se levar em conta na análise 
10
Universidade do Sul de Santa Catarina
apenas o que pode ser transformado em valores monetários, 
deixa-se de lado aspectos imponderáveis, tais como a política 
econômica geral, a estratégia da empresa, a satisfação dos 
empregados etc., que muitas vezes podem alterar bastante a 
escolha entre as várias alternativas de investimento.
Sinta-se convidado a estudar e adentrar neste mundo das 
questões financeiras, desta forma, o esperado é que no final da 
disciplina, você tenha em mãos várias ferramentas de análise de 
investimento.
Bons Estudos!
Joseane Borges de Miranda.
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da 
disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o 
contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva 
em containstrumentos que se articulam e se complementam, 
portanto, a construção de competências se dá sobre a 
articulação de metodologias e por meio das diversas formas de 
ação/mediação.
São elementos desse processo:
 „ o livro didático;
 „ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 „ as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de 
autoavaliação); 
 „ o Sistema Tutorial.
Ementa
Introdução à Engenharia Econômica. Métodos de análise 
de investimentos. Análise de equilíbrio e de sensibilidade. 
Análise de viabilidade. Incerteza e riscos em projetos. 
Depreciação. Substituição de equipamentos. Leasing.
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos
Geral
Desenvolver os conceitos técnicos fundamentais e práticos 
relacionados à análise de investimento e tomada de decisão.
Específicos:
 „ Operar com as ferramentas básicas de matemática 
financeira.
 „ Calcular, analisar e tomar decisão de escolha de projetos 
a partir de métodos de análise de investimento.
 „ Fazer análise de custo-benefício.
 „ Analisar projetos sob as condições de incerteza e risco.
 „ Calcular e analisar os métodos de depreciação de 
equipamentos.
 „ Compreender os conceitos de depreciação e Leasing.
Carga Horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula, 4 créditos.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. 
Unidades de estudo: 5 
13
Engenharia Econômica
Unidade 1 - Introdução à Engenharia Econômica
Esta unidade apresentará as definições e principais terminologias 
que se relacionam à Engenharia Econômica e as principais 
ferramentas de matemática financeira.
Unidade 2 - Métodos de análise de investimentos
Nesta unidade, estudaremos os métodos de análise de 
investimentos e sua utilização nas tomadas de decisões quanto ao 
investimento mais viável financeiramente.
Unidade 3 - Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio
Essa unidade apresentará o levantamento dos custos e das 
receitas. Como avaliar o ponto de equilíbrio.
Unidade 4 - Incerteza e riscos em projetos
Esta unidade tem por finalidade apresentar uma metodologia 
para levantamento e análise das incertezas e dos riscos dos 
projetos de investimento.
Unidade 5 - Substituição de equipamentos, depreciação e Leasing
Nesta unidade, aprenderemos a analisar a viabilidade da 
substituição dos ativos da empresa assim como calcular a 
depreciação. E, também, observar que o Leasing pode ser uma 
alternativa para substituição dos ativos.
14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agenda de atividades/ Cronograma
 „ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da 
realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação 
com os seus colegas e tutor.
 „ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 „ Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas 
ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
1UNIDADE 1Introdução à Engenharia Econômica
Objetivos de aprendizagem
 „ Compreender o conceito e aplicabilidade da Engenharia 
Econômica.
 „ Compreender o conceito de taxas de juros e sua 
aplicabilidade.
 „ Analisar o fluxo de caixa de uma série de pagamentos.
Seções de estudo
Seção 1 O que é Engenharia Econômica e para que serve
Seção 2 Taxa de juros simples e composta
Seção 3 Séries de pagamento
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Caro(a) aluno(a),
A cada dia, nossa sociedade se torna mais complexa e competitiva 
exigindo dos gestores em geral maior rapidez e flexibilidade 
nas respostas às mudanças globais. A Engenharia Econômica 
facilita a resposta a tais mudanças, mas, antes de entrarmos no 
conteúdo típico de Engenharia Econômica, ou seja, análise de 
investimentos, vamos conhecer algumas ferramentas importantes 
de Matemática Financeira. Estas ferramentas nos ajudarão na 
aplicação das técnicas de escolha dos investimentos. Note que a 
solução de problemas típicos de análise de investimentos necessita 
destes conceitos.
Por isso, vamos lá! Mãos à obra.
Seção 1 – O que é Engenharia Eonômica e para que serve
Para o bom andamento de seu estudo, é importante conhecer o 
conceito de Engenharia Econômica e a finalidade de estudar tal 
análise de investimentos. 
 Em qualquer organização comercial, industrial ou prestadora de 
serviços, sempre existirá a necessidade de tomar decisões. Essas 
decisões apresentam o sentido de maximizar a curto, médio ou 
longo prazo o lucro da empresa. Claro que o objetivo de qualquer 
gestor é ter o máximo de lucro possível. 
Devemos observar, também, que nem todas as decisões de 
investimentos dentro de uma organização são baseadas em 
cálculos financeiros, poderiam ser inspiradas por sentimento, por 
exemplo, ou seja, poderiam se basear na simples vontade do dono 
da empresa ou na sua determinação e tal. Vale destacar que, aqui, 
estudaremos as decisões baseadas em ferramentas financeiras de 
tomada de decisão. 
17
Engenharia Econômica
Unidade 1
Desta forma, podemos afirmar que, em uma organização, sempre 
se está tomando decisões: quando se substituem equipamentos 
e materiais, quando se escolhe entre dois novos produtos 
pesquisados ou quando se define qual dos financiamentos 
apresentados é o mais econômico para a empresa.
Neste momento, é pertinente apresentar, então, uma definição para 
Engenharia Econômica, segundo Pilão e Humell (2004, p. 79), 
Engenharia Econômica é:
“um conjunto de técnicas que permitem a comparação, 
de forma científica, entre os resultados de tomadas 
de decisão referentes a alternativas diferentes. Nessa 
comparação, as diferenças que marcam as alternativas 
devem ser expressas, tanto quanto possível, em termos 
quantitativos”.
De acordo com a definição apresentada, a alternativa mais 
econômica deve ser sempre escolhida após a verificação de que 
todas as variáveis que influem no problema foram estudas. 
Por exemplo, no campo financeiro, essas alternativas poderão 
ser entre a escolha de aplicar dinheiro na bolsa de valores ou em 
títulos do governo. Já no setor de marketing, poderia ser entre 
a escolha entre um ou mais canais de distribuição do produto, 
estudando-se, assim, os custos e a eficiência das alternativas. No 
campo da administração de pessoal, pode-se ter como alternativa 
um plano de acréscimo de salário dos colaboradores com base 
em uma taxa por dia trabalhado. Nas questões ambientais, pode-
se calcular as alternativas que envolvem um equipamento mais 
poluente contra um mais eficiente energicamente ou menos 
poluente. 
— Como você pode perceber, são várias as aplicações da Engenharia 
Econômica. Ela serve para muitas e diferentes formas de se tomar 
decisão dentro de uma organização produtiva. O objetivo nesta 
disciplina não é esgotar todas as possibilidades de aplicação, mas 
permitir que você aprenda as ferramentas mais usadas nos casos típicos 
de Engenharia Econômica. 
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Antes de entrarmos nos modelos de Engenharia Econômica, seus 
princípios básicos e algumas limitações, você vai estudar alguns 
conceitos de matemática financeira, que se fazem necessários para 
melhor compreensão da análise de investimento.
Seção 2 – Taxa de juros simples e compostaA Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro em função 
do tempo, ou seja, R$ 100,00 hoje não têm o mesmo valor daqui 
a 30 dias. Isso porque, ao decorrer um mês, o dinheiro rende 
juros. Veremos o conceito de juros. Segundo Vieira Sobrinho 
(2000, p. 19):
“Juro é a remuneração do capital emprestado ser 
entendido, de forma simplificada, como sendo o 
aluguel pago pelo o uso do dinheiro”.
Simplificando: Juros é a remuneração do capital emprestado. E, 
Capital: do ponto de vista da matemática financeira é qualquer 
valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
O período em que uma quantia está sujeita a uma taxa de juros 
chama-se Período de capitalização.
Ao se dispor a emprestar dinheiro, o possuidor tem que cobrar 
uma taxa de juros que cubra os seguintes fatores: 
1. Risco: probabilidade de não pagamento; 
2. Despesas: com boletos, por exemplo;
3. Inflação: queda no poder de compra; 
4. Ganho (ou lucro): custo de oportunidade, o custo de 
oportunidade é determinado dependendo das demais 
oportunidades de investimentos deste capital. Por 
exemplo, você poderia comprar um micro computador 
com R$ 1.000,00 ou emprestar para sua irmã este valor 
e cobrar juros por isto. Então, o custo de oportunidade é 
deixar de comprar o computador.
19
Engenharia Econômica
Unidade 1
Vamos ver os dois conceitos básicos de taxa de juros, ou seja, 
capitalização simples e composta.
a. Taxa de juros simples
É a razão entre juros recebidos ao final de certo período de tempo 
e o capital inicial aplicado:
J
P
i =
Em que:
i = (interest), taxa de juros (%)
J = valor dos juros ($)
P = capital inicial ($), pode ser chamada de:
 ƒ P (principal); 
 ƒ VA (valor atual); 
 ƒ VP (valor presente).
Exemplo
Qual a i cobrada em um empréstimo de $ 1.000,00 a ser 
negociado por $ 1.400,00?
Acompanhe o cálculo passo a passo:
Passo 1: calcular ou juros, ou seja, o valor recebido menos o valor 
principal.
J = 1.400 – 1.000 = 400
Passo 2: calcule a taxa de juros dividindo J por P.
400 0, 401000i = =
Passo 3: multiplique o resultado por 100, as taxas de juros são 
sempre apresentadas em percentuais.
Resposta: A taxa de juros (i) é 40%
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide 
somente sobre o valor do capital inicial (P). Neste regime de 
capitalização, a i varia linearmente em função do tempo (n).
Cálculo dos Juros
J = P × i × n
Em que:
P = valor presente
i = taxa de juros
n = período de tempo
Exemplo
Quais os juros de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em 
um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45 % ao mês?
 ƒ Resolução
para calcular o montante de juros, substituímos o capital inicial 
P = 84.975,59, multiplicando pela taxa de juros unitária, ou seja 
1,45 dividido por 100 e depois multiplicamos pelo período de 
tempo. Note que a pergunta está em mês e o dado do problema 
em dias, então, transformamos 90 d. em 3 m.
J = 84.975,59 × 0,0145 × 3 = 3.696,44
Forma percentual 12% a.a. (ao ano)
Forma unitária 12/100 = 0,12
Para os cálculos e aplicações de fórmulas você sempre usará a 
fórmula unitária.
Montante e valor atual
O montante ou valor futuro (F) é igual à soma do capital inicial 
(P) mais os juros (J) referentes ao período da aplicação.
F = P × (1 + i × n) ou F = P + J
21
Engenharia Econômica
Unidade 1
Exemplo
Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, 
pelo prazo de 12 m. à taxa de 3% a.m. (ao mês)
F = 8.000 × (1 + 0,03 × 12) = 10.880,00
O valor atual ou valor presente (P) é o valor do capital que 
aplicado à dada taxa e em dado prazo, nos dá um montante 
conhecido. A partir da fórmula de F, podemos deduzir a de P.
FP
(1 )i n
=
+ ×
Exemplo
Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de 
R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que 
faltam quatro meses para seu vencimento.
60.000P 50.000
(1 0,05 4)
= =
+ ×
b. Taxa de juros Composta
Os juros incidem sobre o montante, ou juros sobre juros. São 
também chamados de juros capitalizados. É a forma mais 
utilizada no Brasil e em outros países.
F = P × (1 + i)n 
Comparação entre juros simples e compostos
Para visualizar a diferença entre os juros simples e compostos, 
suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10 % a.a. 
por cinco anos. Então: P = 100, i = 0,10 e n = 5.
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
A tabela 1, abaixo, mostra a diferença do valor final após 5 anos 
de juros sobre o capital inicial, note que sempre pagaremos mais 
no regime composto. Isto porque, ele cresce exponencialmente 
enquanto o regime simples cresce linearmente.
Tabela 1.1 - Comparação entre juros simples e compostos, a partir de um mesmo valor
Período F (Juros Simples) F (Juros Compostos)
1 100 + (100 * 0,10) = 110 100,00 + (100 * 0,10) = 110,00
2 110 + (100 * 0,10) = 120 110,00 + (110 * 0,10) = 121,00
3 120 + (100 * 0,10) = 130 121,00 + (121 * 0,10) = 133,10
4 130 + (100 * 0,10) = 140 133,10 + (133 * 0,10) = 146,41
5 140 + (100 * 0,10) = 150 146,41 + (146 * 0,10) = 161,05
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Exemplos
Veja os seguintes exemplos de juros compostos:
 ƒ Exemplo 1
Determine o valor futuro de $ 1.000,00 aplicados a uma taxa de 
10% a.m. por três meses:
F = 1.000 × (1 + 0,1)3 = 1.331,00
Note que, agora, o tempo é exponencial, então, você vai elevar a 
taxa a n e não multiplicar como na taxa de juros simples.
 ƒ Exemplo 2
Miguel aplicou $ 200,00 a uma taxa de 15% a.m, por três meses. 
Quanto obteve de juros e quanto resgatou?
F = 200 × (1 + 0,15)3 = 304,18
J = 304,18 – 200,00 = 104,18
 ƒ Exemplo 3
A loja “Torra Torra” financia a venda de uma mercadoria no valor 
de $ 16.000,00, sem entrada para pagamento em uma única 
prestação de $ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja?
23
Engenharia Econômica
Unidade 1
Nota: encontrar a taxa de juros a partir da capitalização 
composta é bem mais difícil do que na capitalização simples. 
O trabalho é facilitado para quem possui uma calculadora 
financeira. Mas, para o cálculo com calculadora simples, 
apresentamos três possíveis soluções: 
Solução 1
22.753,61 = 16.000 × (1 + i)8 
1,4221 = (1 + i)8 ou
(1 + i)8 = 1,4221
Como se trata de uma igualdade, o valor de i pode ser obtido 
extraindo-se a raiz oitava de ambos os membros (que é o mesmo 
que elevar ambos os membros ao expoente 1/8).
88 8(1 ) (1,4221)i+ =
((1 + i)8)1/8 = (1,4221)1/8 
(1 + i) = (1,4221)1/8 = 1,0450
i = 1,0450 – 1 = 0,0450 ou
i = 4,5% a.m.
Solução 2
O valor de i também pode ser obtido através de logaritmo, 
definido para qualquer base:
Neperiano:
ln (1 + i)8 = ln 1,4221
8 ln (1 + i) = ln 1,4221
ln (1 + i) = ln1,42218
ln (1 + i) = 035213
8
 = 0,04402
1 + i = antiln 0,04402 = 1,0450
i = 1,0450 – 1 = 0,045
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução 3 Tentativa e erro
Se i = 10% (1,10)8 = 2,14359 indica que a taxa deve ser menor.
i = 5% = 1,47746 ⇒ menor
i = 4% = 1,36857 ⇒ maior
i = 4,55% (resolve)
 ƒ Exemplo 4
Em que prazo um empréstimo de $ 30.000,00 pode ser quitado 
em um único pagamento de $ 51.310,18, sabendo-se que a taxa 
contratada é de 5% a.m.?
F = P×(1 + i)n ⇒ (1 + i)n = FP
(1 + 0,05)n = 51.310,1830.000 = 1,71034
ln (1 + 0,05)n = ln 1,71034
n·ln (1 + 0,05) = ln 1,71034
ln1,71034 0,5367 11
ln1,05 0,0488
n = = = , ou seja, 11 meses.
c. Equivalência de taxas
Diz-se que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia 
quando:
P(1 + ia) = P(1 + im)12 
Ou seja, quando produzem o mesmo montante no final de 
determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.
(1 + ia) = (1 + im)12 
 ia = (1 + im)12 – 1 ⇒ Taxa anual quando se tem a mensal.
12 (1 ) 1im ia= + − ⇒ im =(1 + ia)
1
12 – 1
25
Engenharia Econômica
Unidade 1
Genericamente:
iq = (1 + it)
q
t – 1
Em que:
iq = taxa para o prazo que se quer.
it = taxa para o prazo que se tem.
q = prazo que se quer.
t = prazo que se tem.
Exemplo
Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% a.a.
Como o que queremos é uma taxa em dias, o ano é transformado 
em dias.
i183 = (1 + i360)183/360 – 1
i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 = 28,99%
Para juros comerciais o ano tem 360 dias e o mês 30 
dias, sempre. Vamos adotar o conceito comercial para 
todos os exercícios.
Formulário básico
Capitalização Composta
Achar Valor Futuro F F F Px i n= +( )1
Achar Valor Presente P
 
P F
i n
=
+( )1 P Fx i
n
= + −( )1
Achar Taxa de Juros i i F
P
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1
1
Achar o Período n
 
n
F
P
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
ln
ln 1
n
F
P
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
log
log 1
Achar os Juros J J = F – P
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 3 – Séries de pagamento
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão 
de pagamento, ou recebimento dentro de certo tempo. Até 
agora, tínhamos apenas um ponto de partida para o cálculo 
do recebimento no futuro, bastava o principal. Numa série de 
pagamentos, teremos várias entradas de capital, ou seja, várias 
prestações. Na Matemática Financeira, temos várias classificações 
de séries de pagamentos até com número de termos infinito. 
Nosso foco será nas séries finitas e uniformes. O cálculo das 
séries de pagamentos é muito útil em casos do tipo, você recebe 
uma proposta para comprar um equipamento em 72 vezes com 
um juro tal, através das técnicas de cálculo, você poderá verificar 
se a taxa de juros é efetivamente a acordada ou, caso você queira 
mudar o valor das prestações, como ficaria o prazo de pagamento. 
Antes de conhecermos as principais formas de cálculo das séries 
de pagamento, vamos aprender como representá-las, visto que a 
visualização das entradas e saídas ajudam na resolução do problema.
Noções sobre fluxo de caixa
Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de 
recebimentos ou de pagamentos, previstos para determinado 
período de tempo.
No exemplo, a seguir, poderemos ver de forma analítica, ou seja, 
uma tabela com os valores a receber e a pagar em um determinado 
tempo. Para facilitar, podemos colocar os recebimentos e 
pagamentos em um fluxo de caixa em forma gráfica. 
Expressão analítica
Tabela 1.2 - Fluxo de caixa - Recebimentos Tabela 1.3 - Fluxo de caixa - Pagamentos
Recebimentos
Dia Valor $
05 3.000
11 8.000
16 2.000
25 6.000
Pagamentos
Dia Valor $
09 6.000
14 8.000
16 3.000
28 9.000
Fonte: Elaboração da autora (2009). Fonte: Elaboração da autora (2009).
27
Engenharia Econômica
Unidade 1
Representação gráfica
Observe, no fluxo de caixa, que as flechas orientadas para baixo 
representam saídas (pagamentos) e flechas orientadas para cima 
representam entradas (recebimentos).
50 10 15 20 25 30
2.000
3.000
3.000
6.000
6.000
8.000
9.0008.000
A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com 
cada caso, veja o exemplo a seguir. O mesmo empréstimo é 
representado de forma diferente, dependendo da ótica do agente 
envolvido.
Exemplo
Um banco concede um empréstimo de $ 40.000,00 a um cliente 
para pagamento em 6 prestações iguais de 9.000,00.
Banco: Cliente:
40.000
9.000 40.000
9.000 (cada)
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados)
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será 
representado por “A”; as demais variáveis serão representadas 
pelos símbolos já conhecidos:
i = taxa de juros, coerente com a unidade de tempo 
(mês, trimestre, etc.);
n = número de prestações quase sempre coincidente com o 
número de períodos unitários;
P = principal, capital inicial, valor atual ou valor presente;
F = montante ou valor futuro.
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
a. Fator de Acumulação de Capital (FAC)
Baseado em Vieira Sobrinho (2000, p. 67), que utiliza uma 
didática diferente da convencional, em vez de fazermos uma 
demonstração teórica das fórmulas para em seguida aplicá-las na 
solução de problemas, faremos o inverso, ou seja, partiremos do 
desenvolvimento e da solução de casos práticos para chegarmos às 
fórmulas. Para tanto, vamos utilizar somente os conhecimentos 
de Matemática Financeira até agora desenvolvidos, além de 
algumas noções de matemática básica. 
Exemplo
Comecemos com a resolução do seguinte problema.
O objetivo é determinar o valor do montante, no final do 5º mês, 
de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no 
valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês. Sabe-se 
que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou 
seja, a 30 dias da data tomada como base (momento zero), e que a 
última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que 
é pedido o montante.
Dados: A = 100,00 i = 4% n = 5 F = ?
Acompanhe a solução. Em termos de fluxo de caixa, o problema 
pode ser esquematizado como segue:
0 1
100 100 100 100 100
2 3 4 5
4 meses F = ?
Para calcular o montante pedido, vamos utilizar somente os 
conhecimentos desenvolvidos até então. Desta forma, vamos 
calcular o montante de cada prestação no final do 5º mês, 
individualmente. Assim, o montante da primeira, obtido da 
fórmula já conhecida F = P(1 + i)n, será:
F1 = 100·(1,04)4 = 116,99
29
Engenharia Econômica
Unidade 1
O expoente 4 representa o número de meses a decorrer entre a 
data da primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu 
montante.
Essa mesma consideração é válida para todas as demais 
prestações. Assim, o montante da terceira parcela é obtido como 
segue:
F3 = 100·(1,04)2 = 108,16
Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se 
pede o valor do montante, não terá rendimento algum. 
F5 = 100·(1,04)0 = 100
Em resumo, os montantes de cada um das 5 aplicações são 
calculados como segue:
F1 = 100·(1,04)4 = 116,99
F2 = 100·(1,04)3 = 112,49
F3 = 100·(1,04)2 = 108,16
F4 = 100·(1,04)1 = 104,00
F5 = 100·(1,04)0 = 100,00
Ft = = 541,63
Sabemos que Ft = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 
Substituindo F1, …, F5 pelos seus respectivos valores:
Ft = 100·(1,04)4 + 100·(1,04)3 + 100·(1,04)2 
 + 100·(1,04)1 + 100·(1,04)0
Ft = 100·[(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou,
Ft = 100·[(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]
1 1
PGF 1
na q a
q
× −
=
−
Entretanto, o cálculo do 
montante desta forma é 
muito trabalhoso, imagine 
500 prestações.
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, temos:
Genérica:
(1 ) 1F A *
ni
i
+ −=
Voltando ao nosso exemplo:
5(1 0,04) 1F 100 541,63
0,04t
+ −= ⋅ = , 
que é o mesmo valor encontrado pelo método mais longo.
Vamos fazer outro exemplo aplicando a fórmula genérica:
Exemplo
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $ 500,00 
por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à 
taxa de 3% ao mês?
(1 0,03) 1+ −= ⋅ =
48
F 500 52.204,20.
0,03
Obs.: Facilitando a operação de matemática básica, primeiro 
some o 1 + 0,03, depois eleve a 48, diminua 1 e divida por 0,03, 
depois multiplique este fator por 500.
b. Fator de Valor Atual (FVA)
Exemplo
Vejamos, agora, a resolução do seguinte exemplo: qual o 
valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 
100,00 cada uma?
Em que (1 ) 1
ni
i
+ − é 
o Fator de Acumulação de 
Capital, representado por 
FAC(i,n) ou 
F = A· FAC(i,n)
31
Engenharia Econômica
Unidade1
Neste exemplo, o que se quer é o valor presente dessa 
série de 5 parcelas iguais. Vamos resolver o problema por 
partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um 
financiamento isolado:
F 1F P(1 ) P P F
(1 ) (1 )
n
n ni i i
= + ⇒ = ⇒ = ⋅
+ +
No problema, cada prestação A = $ 100,00 representa o 
montante (ou valor futuro) individual de um capital inicial que 
desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e por prazos que 
vão de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial 
ou o valor presente dessas prestações no “momento zero”. Então:
1 1
1P 100 96,15
(1,04)
= ⋅ =
Resumindo, os valores presentes das 5 prestações são calculados 
como segue:
1 41 4
2 52 5
3 3
1 1P 100 96,15 P 100 85,48
(1,04) (1,04)
1 1P 100 92,46 P 100 82,19
(1,04) (1,04)
1P 100 88,90
(1,04)
= ⋅ = = ⋅ =
= ⋅ = = ⋅ =
= ⋅ =
Pt = 445,18
Assim, o valor financiado (ou valor presente) que pode ser pago 
ou amortizado em 5 prestações iguais mensais e consecutivas de 
$ 100,00 cada uma, dentro do conceito de série de pagamentos, 
com termos vencidos, é de $ 445,18.
Genericamente:
(1 ) 1P A
(1 )
n
n
i
i i
+ −= ×
+ ×
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
No nosso exemplo:
( )5
5
1 0,04 1
P 100 445,18.
(1 0,04) 0,04
+ −
= ⋅ =
+ ⋅
Vamos dar outro exemplo aplicando a fórmula genérica:
Exemplo
Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, 
mensais e consecutivas, de $ 3.500,00 cada uma, considerando 
uma taxa de 5% ao mês. 
( )24
24
1 0,05 1
P 3.500 48.295,24.
(1 0,05) 0,05
+ −
= ⋅ =
+ ⋅
Tabela 1.4 - Resumo das fórmulas estudadas
Pagamentos Simples Notação Internacional Fórmula
1. Achar F dado P (F/P; i, n) (1 + i)n
2. Achar P dado F (P/F; i, n)
1
(1 + i)n
Série Uniforme
1. Achar F dado A (F/A; i; n)
(1 + i)n –1
i
2. Achar A dado F (A/F; i; n)
i
(1 + i)n – 1
3. Achar P dado A (P/A; i; n)
(1 + i)n – 1
(1 + i)n . i
4. Achar A dado P (A/P; i,n)
(1 + i)n . i
(1 + i)n – 1
Fonte: Elaboração da autora (2011).
33
Engenharia Econômica
Unidade 1
Terminologias usadas na matemática financeira e nas calculadoras 
financeiras, exemplo HP 12c:
P ou PV = Present Value, Valor Presente, Valor Atual, Capital 
Inicial, Valor de aquisição ou ainda Valor à vista.
F ou FV = Future Value, Valor futuro, Valor Nominal, Valor de 
um título, Valor do capital inicial mais juros.
A ou PMT = Periodic Payment, Pagamento, Valor da prestação 
ou Depósito periódico, Valor de uma mensalidade, Valor das 
parcelas.
n = Número de períodos (exemplo sempre o número de períodos 
a que se refere a taxa de juros).
i = Interest, taxa de juros (para as fórmulas, utiliza-se a taxa 
unitária).
a.a. = ao ano.
a.s. = ao semestre.
a.t = ao trimestre.
a.b = ao bimestre.
a.m. = ao mês.
a.d. = ao dia.
Síntese
Nesta unidade, fizemos uma rápida viagem pelos principais 
métodos de matemática financeira. Você aprendeu a calcular 
taxas de juros compostos, esta é uma ferramenta fundamental 
para a Engenharia Econômica e para a tomada de decisões sobre 
troca de equipamentos dentro de uma empresa. Além das taxas 
de juros, você aprendeu a calcular as séries de pagamentos, tanto 
o montante (futuro) quanto o principal.
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Um capital de $ 25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de 
$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente pelo método dos juros 
simples.
2. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação 
de um capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.
3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição 
financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um 
empréstimo de $ 20.000,00 será resgatado por $ 36.018,23. 
4. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
5. Parte do valor de um veículo é financiado por uma Cia. de crédito, para 
ser paga em 20 prestações iguais de $ 15.000,00 cada uma. Sabendo-
se que essa financeira cobra do mutuário uma taxa de 4% ao mês, 
calcular o valor financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na data do 
contrato.
6. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 
1.000,00 por mês, à taxa de 3% ao mês. 
7. Uma TV foi paga em n prestações de $190,00, com taxa de juros de 2% 
a.m., ao final deste tempo seu montante foi de $6.952,00. Em quanto 
tempo a TV foi paga?
8. Parte do valor de um veículo foi financiada por uma Cia de crédito, 
para ser pago em 15 prestações mensais iguais de $ 7.000,00 cada uma. 
Sabendo-se que essa financeira cobra do mutuário uma taxa de 16% 
ao ano, calcular o valor financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na 
data do contrato.
35
Engenharia Econômica
Unidade 1
9. Calcular o valor futuro de uma aplicação financeira de $ 15.000,00, 
admitindo-se uma taxa de juros de 2,5% a.m. pelo tempo de 17 meses.
10. Durante quanto tempo uma aplicação de $ 26.564,85 resultou em um 
montante de $ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% a.m.?
11. Qual o valor de um financiamento que deverá ser pago em seis 
parcelas mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias 
após a liberação dos recursos, a taxa de juros é 3,5% a.m.?
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada: 
método algébrico, HP-12c, Microsoft Excel®. São Paulo: 
Pioneira Thomson Leaning, 2002.
LAPPONI, J. C. Excel & Cálculos Financeiros. São Paulo: 
Lapponi Treinamento Editora, 1999.
PILÃO, N. E; HUMMEL, P. Matemática Financeira e 
Engenharia Econômica: a teoria e a prática da análise de 
projetos de investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise 
de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2000.
2UNIDADE 2Métodos de análise de investimentos
Objetivos de aprendizagem
 „ Aprender os principais métodos de escolha de um 
projeto.
 „ Compreender a importância dos métodos na tomada 
de decisão.
 „ Compreender a importância do custo de 
oportunidades dos projetos.
Seções de estudo
Seção 1 Os princípios fundamentais da engenharia 
econômica
Seção 2 O método do período de pay-back
Seção 3 O método do valor presente (VPL)
Seção 4 O método da taxa interna de retorno (TIR)
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Você acompanhou, na unidade anterior, os principais conceitos 
de Matemática Financeira, principalmente, devemos destacar 
os juros compostos e as séries de pagamento. Agora, você irá 
estudar quatro dos principais métodos utilizados na Engenharia 
Econômica para a escolha de projetos. Então, comece, agora, seu 
estudo para saber como esses métodos são calculados.
Seção 1 – Os princípios fundamentais da Engenharia 
Econômica 
Antes de você estudar os métodos de análise de investimento, se 
faz necessário destacar alguns princípios básicos da Engenharia 
Econômica. Princípios estes que limitam e caracterizam as 
possibilidades de emprego dos métodos. Além dos princípios 
fundamentais, vamos destacar o conceito e a importância do 
custo de oportunidade para as empresas.
A Engenharia Econômica como um conjunto de técnicas que nos 
permite avaliar diferentes alternativas de investimentos de forma 
quantitativa, não pode ser usada de qualquer forma. Por tanto, 
vamos listar alguns princípios fundamentais para o emprego 
destastécnicas. 
Segundo Hummell e Taschner (2000), alguns aspectos não devem 
ser levados em consideração quando vamos montar um modelo de 
tomada de decisão em Engenharia Econômica. São eles:
1. Não existe decisão a ser tomada considerando-se alternativa única
Isto significa que, para tomar qualquer decisão, devem ser 
analisadas todas as alternativas e devem ser no mínimo duas, 
porque se fosse apenas uma, a decisão já estaria tomada.
39
Engenharia Econômica
Unidade 2
Como exemplo, podemos utilizar o caso de um produto que já 
está há algum tempo no mercado, se ele apresentar sinais de 
baixa demanda, podemos como opção:
 „ Continuar com o produto atual no mercado, sem novas 
inversões de capital;
 „ Remodelar o produto atual, mudando embalagem, por 
exemplo;
 „ Lançar um novo produto, desde sua concepção, para 
substituir o atual.
2. Só se podem comparar alternativas homogêneas para se poder 
comparar o seu resultado
Isto significa que se as alternativas forem diferentes não podemos 
compará-las, por exemplo: o que é melhor comprar um carro Flex 
por $ 40.000,00 ou um carro a gasolina por $25.000,00? Não é 
possível tal comparação se não conseguimos a homogeneidade 
de dados de comparação, por exemplo, se os dois carros têm a 
mesma capacidade de carga, a mesma qualidade de acabamento, 
o mesmo ano de fabricação, dentre outros. E esta alternativa 
heterogênea é evidenciada também pelo fato que a diferença 
de valores das duas alternativas, no caso, $15.000,00 pode ser 
aplicada no sistema financeiro, por exemplo.
3. Apenas as diferenças de alternativas são relevantes
Isto significa que se as alternativas não forem diferentes, não 
podemos compará-las, por exemplo, numa análise para decidir 
sobre o tipo de ar-condicionado a comprar não é relevante saber o 
consumo de energia dos mesmos se ele for igual para ambos.
4. Sempre serão considerados os juros sobre o capital
As alternativas econômicas devem reconhecer o valor no 
tempo do dinheiro, isso porque, sempre existem alternativas/
oportunidades de se aplicar o dinheiro no sistema financeiro. 
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
5. Apenas o presente e o futuro são relevantes
Em economia, o passado geralmente não é considerado (sunk 
costs). Vamos pegar nosso exemplo do carro Flex do item dois. 
Imagine que você sempre foi muito cuidadoso com ele e gastou 
no último ano R$ 5.000,00. Este custo é passado não é porque 
você gastou os R$ 5.000,00 que o mercado vai valorizá-lo por 
isso. Desta forma, seu carro será avaliado pelo valor de mercado 
independente do custo de oficina dele.
A questão da Taxa de mínima atratividade (TMA)
Como você acabou de ver, o dinheiro no tempo deve ser 
considerado para escolha dentre as alternativas de investimentos, 
desta forma, como estudamos na Matemática Financeira, a 
ferramenta que desloca o dinheiro no tempo é a taxa de juros. 
E para a tomada de decisão nas três técnicas, que veremos 
nas próximas seções, temos que considerar a taxa de juros 
denominada TMA.
A taxa de mínima atratividade (TMA) é a taxa a partir da 
qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros.
Para uma empresa, a TMA seria equivalente ao seu custo de 
capital, que é a taxa de retorno mínima sobre seus investimentos 
de maneira que ela pudesse continuar com o mesmo nível 
de atividades indefinidamente. Para uma pessoa comum, a 
TMA seria, provavelmente, a rentabilidade proporcionada 
pela caderneta de poupança. Pois, caso esta pessoa guardasse 
suas economias embaixo do colchão, ela estaria perdendo 
a oportunidade de auferir o retorno da poupança. Já para o 
dono de uma empresa, a TMA seria o custo de oportunidade 
de deixar de investir em sua empresa, ou seja, se guardar o 
dinheiro embaixo do colchão deixará de auferir os lucros que a 
empresa proporcionaria. Quando se fala de empresas, a TMA 
é denominada de custo de capital e que está associado ao risco 
inerente ao ramo de atividade de cada empresa. 
41
Engenharia Econômica
Unidade 2
Por tanto, em função de onde aplicarmos nosso dinheiro, se não 
colocássemos no negócio analisado, sempre vai se ter um custo, 
que pode ser baseado na TMA, ou seja, a TMA é nosso custo de 
oportunidade.
Seção 2 – O método do período de Pay-back 
Um dos métodos mais simples de análise de investimento. O 
pay-back nada mais é do que calcular o número de períodos 
ou quanto tempo o investidor irá precisar para recuperar o 
investimento realizado. 
Muito embora o período pay-back quebre as regras fundamentais 
da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica, vamos 
começar com esta técnica mais simples para chegar ao pay-back 
descontado que leva em conta a taxa de juros dos períodos. Ele 
quebra porque não leva em consideração os juros devidos durante 
o tempo que o projeto decorre.
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), antes de aplicarmos 
qualquer técnica de análise de investimento, devo fazer a seguinte 
pergunta: qual é o objetivo da empresa que pretende investir? 
Antes o objetivo das empresas se pautava no lucro imediato. 
Modernamente, com o advento do planejamento estratégico, 
as empresas passaram a adotar a filosofia e políticas de longo 
prazo. Troca-se o lucro imediato pelos máximos ganhos em 
determinado horizonte de análise. Esta nova filosofia separa a 
contabilidade de custos da contabilidade financeira.
Vamos desenvolver os métodos de cálculo do pay-back e do pay-
back descontado a partir de um exemplo. 
Imagine que sua empresa pretende resolver algum problema de 
poluição gerado por efluentes tóxicos. Para resolver o problema, 
foram apresentados três projetos.
A tabela, a seguir, sumariza os fluxos de caixa dos três projetos de 
investimentos durante quatro anos. Você deverá fazer sua escolha 
de acordo com os métodos a serem discutidos. Suponha que a 
TMA da empresa seja de 8%.
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 2.1 - Fluxo de Caixa (FC) dos projetos
Ano A B C
0 –3.000 –3.000 –3.000
1 300 300 600
2 2.700 600 1.900
3 300 900 1.500
4 –100 3.750 800
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Quando o valor se torna positivo e/ou zera, como no caso acima, 
você para de calcular porque neste momento o projeto se paga. 
Então como conclusão podemos dizer que o projeto A se paga em 
exatamente 2 anos, na maioria dos casos é bem difícil chegar ao 
número exato tempo como veremos na demonstração de cálculo 
dos projetos B e C a seguir.
a. Período de pay-back 
Para se calcular o período de pay-back de um projeto, basta somar 
os valores dos fluxos de caixa auferidos, período a período, até que 
essa soma se iguale ao valor do investimento inicial. O período 
correspondente à ultima parcela da soma será o período de pay-
back procurado. O período de pay-back é o método mais simples 
de se analisar a viabilidade de um projeto ou investimento. Ele é 
definido como o número de períodos (anos, meses, semanas, etc.) 
para se recuperar o investimento inicial.
Use o método do período de pay-back para avaliar os projetos da 
tabela 2.1.
Resolvendo o projeto A:
Tabela 2.2 - Período de pay-back - Projeto A
Ano A FC acumulado Nota explicativa
0 –3.000 –3.000 Repete o investimento inicial que é negativo (flecha para baixo no Fluxo de Caixa (F.C.)
1 300 –2.700 É o investimento inicial menos os 300 que entraram no ano 1.
2 2.700 0 É o saldo anterior menos os 2.700 do ano 2. Neste caso, o projeto se paga no segundo ano.
3 300
4 –100
Fonte: Elaboração da autora (2009).
43
Engenharia Econômica
Unidade 2
Resolvendo os projetos B e C
Tabela 2.3 - Período de pay-back - Projeto B e C
Ano B FC acumulado C FC acumulado
0 –3.000 –3.000 –3.000 –3.000
1 300 –2.700 600 –2.400
2 600 –2.100 1.900 –.500
3 900 –1.200 1.500 1.000
4 3.750 2.550 800
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Para achar a fração de tempoentre esses dois períodos, ou seja, 
entre o último período que o projeto ainda resultava em valores 
negativos (ver FC acumulado) e o primeiro período que o projeto 
apresenta valor positivo, podemos fazer uma regra de três como 
segue:
Projeto B: 
A primeira conclusão que podíamos tirar por estes resultados 
é que o projeto se paga entre 3 e 4 anos, mas vamos ver como 
calcular o quanto é este entre.
Interpolação Linear
Interpolando:
2 550
1 200
1 200 2 550
1 200
.
.
. .
.
= ⇒
+( )
=
+b
a
a b
a
Obs: para os cálculos desconsiderar o sinal
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
O resultado é
1 200 2 550
1 200
3 12
. .
.
,
+( )
=
Como a + b é igual ao período de 1 ano, temos:
3 12 1 1
3 12
0 32,
,
,= ⇒ = = anosano
a
a
Então somamos esta fração de ano com o último ano (período 
que apresentou valores negativos) no saldo, ou seja, para o projeto 
B 3 anos, o que resultaria em 3,32.
Isto significa que o investimento será recuperado em 3,32 
anos, ou seja, aproximadamente 3 anos e quatro meses.
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. 2 anos de período de pay-back 
 „ Projeto B. 3,32 anos de período de pay-back
 „ Projeto C. 2,32 anos de período de pay-back
O melhor projeto segundo o período de pay-back é o projeto A, 
pois se paga em menos tempo. Note que este é um método 
bastante simples, já que não considera o custo de oportunidade 
do dinheiro ao longo do tempo. O pay-back descontado é uma 
técnica mais apropriada de análise de investimentos.
b. Período de pay-back descontado
Este método é muito parecido com o anterior com o adicional 
de se usar uma taxa de desconto antes de se proceder à soma dos 
fluxos de caixa, ou seja, vamos atualizar cada parcela de entrada 
do fluxo de caixa antes de diminuir do investimento inicial, 
atualizar, significa descontar a taxa de juros. Use o pay-back 
descontado para analisar os projetos da tabela 2.1. Use como taxa 
de desconto a TMA da empresa de 8%.
45
Engenharia Econômica
Unidade 2
Resolvendo o projeto A 
Tabela 2.4 - Período de pay-back descontado - Projeto A - Resolução
Ano FC Atualizando As parcelas Nota explicativa
0 –3.000 –3.000,00 O investimento inicial é feito no ponto zero, por isso, não é atualizado
1 300 277,78
Para atualizar a primeira entrada de 300, calculamos:
1
300 277,78,
(1 0,08)
=
+
é a parcela dividida pela taxa de juros, no caso a TMA, 
elevado pelo número de anos que a parcela representa.
2 2.700 2.314,82 2
2.700 2314,82
(1 0,08)
=
+
3 300 238,15 3
300 238,15
(1 0,08)
=
+
4 –100 –73,50 4
100 73,50
(1 0,08)
− = −
+
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Agora que já atualizamos as parcelas do projeto, vamos diminuir 
do fluxo de caixa:
Tabela 2.5 - Período de pay-back descontado - Projeto A 
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 300 277,78 –2.722,22
2 2.700 2.314,82 –407,40
3 300 238,15 –169,25
4 –100 –73,50 –242,75
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Você nunca vai receber o dinheiro de volta deste projeto, porque, 
mesmo depois de quatro anos, o fluxo não se tornou positivo.
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
Resolvendo o projeto B 
Tabela 2.6 - Período de pay-back descontado - Projeto B
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 300 277,78 –2.722,22
2 600 514,40 –2.207,82
3 900 714,45 –1.493,37
4 3.750 2.756,36 1.262,99
Fonte: Elaboração da autora (2009).
O investimento será recuperado em 3,54 anos, ou seja, 
aproximadamente 3 anos e meio.
Resolvendo o projeto C
Tabela 2.7 - Período de pay-back descontado - Projeto C
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 600 555,56 –2.444,44
2 1.900 1.628,94 –815,50
3 1.500 1.190,75 375,25
4 800 588,02
Fonte: Elaboração da autora (2009).
O pay-back descontado do projeto C está entre 2 e 3 anos.
O investimento será recuperado em 2,68 anos.
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. Não se recupera em 4 anos. 
 „ Projeto B. 3,54 anos de período de pay-back
 „ Projeto C. 2,68 anos de período de pay-back
O melhor projeto segundo o pay-back descontado é o projeto C, 
pois se paga em menos tempo. 
47
Engenharia Econômica
Unidade 2
Entre estes dois métodos, o mais recomendado seria o pay-back 
descontado, porque este leva em consideração o desconto do custo 
de oportunidade ao longo do tempo. Na próxima seção, vamos 
ver mais uma técnica importante para nos auxiliar na tomada de 
decisão.
Nem sempre os métodos convergirão para o mesmo 
projeto.
Seção 3 – O método do valor presente (VPL)
O método do valor presente é uma das técnicas mais usadas na 
análise de investimentos. O VPL consiste em atualizar o fluxo de 
caixa e comparar este valor atualizado com o investimento inicial 
(FC0).
O método do valor presente (VPL) consiste em trazer para a 
data zero, usando como taxa de desconto a TMA da empresa 
ou projeto, todos os fluxos de caixa do investimento e somá-los 
ao valor do investimento inicial. Ou, ainda, é uma técnica usada 
para análise de projetos. É obtido calculando-se o valor presente 
de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou recebimento) 
com base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida e 
subtraindo-se o investimento inicial.
Matematicamente, pode ser dado pela equação abaixo:
1 2
0 1 2
FCFC FC
VPL FC
(1 ) (1 ) (1 )
n
ni i i
= − + + + +
+ + +
…
Vamos calcular o VPL dos projetos da tabela 1.
A 1 2 3 4
300 2.700 300 100VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + −
+ + + +
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
VPLA = –3.000 + 277,78 + 2.314,82 + 238,15 – 73,50 = –242,75
B 1 2 3 4
300 600 900 3.750VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + +
+ + + +
VPLB = –3.000 + 277,78 + 514,40 + 714,45 + 2.756,36 = 1.262,99
C 1 2 3 4
600 1.900 1.500 800VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + +
+ + + +
VPLC = –3.000 + 555,56 + 1.628,94 + 1.190,75 + 588,02 = 963,27
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. VPL = –242,75, o projeto não deve ser aceito. 
 „ Projeto B. VPL = 1.262,99, o projeto deve ser aceito.
 „ Projeto C. VPL = 963,27, o projeto deve ser aceito.
Entre os três projetos, o melhor é o B, porque apresenta o 
maior VPL.
Vamos ver os critérios de escolha segundo o método do VPL:
Critério de decisão do VPL: 
Aceita-se projetos com VPL ≥ 0; Para uma carteira de 
projetos escolhe-se aquele com o maior VPL. Ou, se 
o VPL > 0, o projeto deve ser aceito, se < 0 deve ser 
recusado e se = 0 é indiferente, o projeto não resulta 
ganho ou prejuízo.
Vamos ver mais um exemplo:
49
Engenharia Econômica
Unidade 2
Exemplo
Um projeto de investimento inicial de R$ 120.000,00 gera 
entradas de caixa de R$ 25.000,00 os próximos 5 anos; em cada 
ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção, 
considerando um custo de oportunidade de 10% ao ano. Pede-se: 
Determinar o VPL desta operação.
Resolução:
Passo 1: vamos montar o fluxo de caixa.
Tabela 2.8 - Método do Valor Presente (VPL) - Fluxo de caixa
Ano FC Entradas Saídas Saldo FC (total)
0 –120.000,00 — — — –120.000,00
1 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
2 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
3 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
4 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
5 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Antes de calcularmos o VPL temos que fazer o saldo entre as 
entradas e saídas do projeto.
Neste caso, como todas as entradas são iguais, podemos 
simplificar o cálculo do VPL:
Passo 2: calcular o VPL.
VPL = – FC0 + FC(P/A; i%,n)
(P/A; i%,n) significa uma P/A com taxa de juros i, por um 
período n. No nosso exemplo temos (P/A, 10%,5).
Relembrando a fórmula da P/A que vimos na Unidade 1:
(1 ) 1P A
(1 )
n
n
i
i i
+ −= ×
+ ×
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
Então, temos:
 
5
5
(1 0,10) 1VPL 120.000 20.000
(1 0,10) 0,10
 + −= − +  + × 
VPL = –120.000 + 20.000(3,79)
VPL = –120.000 + 75.800 = –44.200,00, 
ou seja, o projeto deve ser recusado.
A técnica do VPL nos permite o deslocamento do dinheiro no 
tempo, no caso para a data zero (0), para efeito de comparação. 
É interessante os projetos com VPL positivo, isso porque 
representará a quantidade de dinheiro que teremos ganho, em 
dinheiro de hoje, além das expectativas representadas pela TMA 
da empresa.
Seção 4 –O método da taxa interna de retorno (TIR)
Encontrar a TIR de um investimento é encontrar o percentual de 
remuneração que o investimento oferece.
Quando calculamos a TIR de determinado investimento e/ou 
financiamento, estaremos extraindo dele o percentual de ganho 
que ele oferece ao investidor, já que todas as entradas e saídas de 
caixa serão deslocadas para a data 0, de tal forma que não sobre 
ou falte dinheiro, logo, esta será a remuneração efetiva daquele 
negócio analisado.
TIR é a taxa de desconto que zera o valor presente 
líquido dos fluxos de caixa de um projeto, ou seja, faz 
com que todas as entradas igualem todas as saídas de 
caixa do empreendimento.
51
Engenharia Econômica
Unidade 2
Matematicamente, esta taxa (TIR) pode ser encontrada 
resolvendo-se a seguinte equação:
1 2
0 1 2
FCFC
0 FC
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
n
n
FC
= − + + + +
+ + +
…
Vamos calcular a TIR dos projetos da tabela1.
 „ Projeto A: 
1 2 3 4
300 2.700 300 1000 3.000 3,39%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
= − + + + − =
+ + + +
 „ Projeto B:
1 2 3 4
300 600 900 3.7500 3.000 19,95%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 )TIR
= − + + + + =
+ + + +
 „ Projeto C:
1 2 3 4
600 1.900 1.500 8000 3.000 21,23%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 )TIR
= − + + + + =
+ + + +
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. TIR = 3,39%. 
 „ Projeto B. TIR = 19,95%.
 „ Projeto C. TIR = 21,23%.
Entre os três projetos o melhor é o C, porque apresenta a 
maior TIR.
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
O cálculo da TIR deve ser feito através de uma calculadora 
financeira ou um software com planilhas de cálculo financeiro. 
Com uma calculadora científica a única forma de se chegar 
aos resultados é por tentativa e erro. Ver, por exemplo, Vieira 
Sobrinho, (2000, p. 172).
Critério de decisão da TIR para projetos independentes e sem 
restrição orçamentária:
Escolhe-se os projetos que tenham a TIR ≥ TMA (custo de 
oportunidade). Para uma carteira de projetos, deve-se escolher 
aquele com maior TIR, desde que ela seja maior que a TMA da 
empresa.
Síntese
Você estudou, nesta unidade, quatro importantes técnicas de 
análise de investimento. O pay-back e o pay-back descontado 
que caracterizam o projeto analisado em termos de tempo de 
recuperação do investimento inicial. O VPL que atualiza o fluxo 
de caixa, o que nos permite comparar com o investimento inicial 
e tomar a decisão sobre a escolha ou viabilidade do projeto. E, 
por fim, a TIR que nos dá o resultado em termos percentuais de 
retorno de cada projeto analisado. Todos estes métodos são de 
suma importância para a escolha de um projeto de investimento 
dentro de uma organização produtiva. Além dos métodos citados, 
você estudou, também, o conceito de TMA, ou seja, a taxa que 
reflete o custo de oportunidade de investimento da empresa.
53
Engenharia Econômica
Unidade 2
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas, esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Abaixo, encontra-se os fluxos de caixa de dois projetos que uma 
empresa poderá escolher, usando a técnica de pay-back descontado, 
qual projeto você escolheria? Justifique. A TMA é 12% a.a.
Tabela 2.9 - Pay-back descontado - Fluxos de caixa de dois projetos
Ano A B
0 –48.000 –18.000
1 20.000 8.000
2 10.000 6.000
3 10.000 6.000
4 15.000 4.000
5 15.000 4.000
Fonte: Elaboração da autora (2009).
2. A partir dos projetos da questão 1, faça escolha utilizando a técnica do 
VPL. Justifique.
3. Calculando a TIR para os projetos e A e B, apresentados na questão 1, 
temos os seguintes resultados TIR(A) = 14,60% e TIR(B) = 19,54%, qual 
dos dois projetos seria escolhido por esta técnica? Por quê?
4. Um projeto de investimento inicial de $ 70.000,00 gera entradas de 
caixa de $ 25.000,00 durante os próximos 5 anos. Porém teremos gastos 
anuais de manutenção de $ 5.000,00. Se a TMA é de 8% a.a., qual o 
valor presente líquido dessa operação?
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASAROTTO FILHO; N. KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
HUMMEL, P.; TASCHNER, M. Análise e decisão sobre 
investimentos e financiamentos: Engenharia Econômica - 
teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2004.
PILÃO, N. E.; HUMMEL, P. Matemática financeira e 
engenharia Econômica: a teoria e a prática da análise de 
projetos de investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise 
de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões Financeiras e 
Análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2000. 
3UNIDADE 3Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio
Objetivos de aprendizagem
 „ Desenvolver uma análise de custo comparando com os 
benefícios do projeto.
 „ Classificar custos e receitas de um projeto de 
investimento.
 „ Compreender o cálculo e a aplicabilidade do ponto de 
equilíbrio de um projeto.
Seções de estudo
Seção 1 Custos 
Seção 2 Receitas
Seção 3 Análise de custo-benefício
Seção 4 Ponto de equilíbrio
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Além dos quatro métodos de análise de um projeto de 
investimento, estudados na unidade anterior, você precisa de 
mais alguns conceitos relacionados a uma unidade produtiva, 
ou seja, uma empresa, para completar a sua análise de 
investimento. Dentre estes, estão os custos e as receitas, dois 
fatores importantíssimos que determinarão o lucro do projeto. 
Além de você estudar os conceitos das variáveis custo e receitas, 
você estudará, também, mais um método de seleção de um 
projeto levando-se em consideração os custos e os benefícios de 
cada projeto. Nesta unidade, você vai estudar alguns exemplos 
relacionados a projetos que envolvem questões ambientais. 
Seção 1 – Custos 
Na literatura acadêmica, principalmente para os cursos de 
administração, economia e ciências contábeis, temos classificação 
de custos de forma um pouco distinta. Antes de você estudar 
os custos para a Engenharia Econômica, objeto desta unidade, 
vamos ver alguns conceitos gerais de custos e de custos 
ambientais.
Segundo De Moura (2003), os custos decorrentes de variáveis 
ambientais dentro de uma unidade produtiva podem ser 
classificados em dois tipos: custo de controle e custos de falta de 
controle.
Os Custos de Controle são:
 „ Custos de prevenção: são custos das atividades que visam 
prevenir (evitar) os problemas ambientais no processo 
industrial, no projeto, no desenvolvimento, bem como 
nas demais fases do ciclo de vida do produto.
 „ Custos de avaliação: são os custos despendidos para 
manter os níveis de qualidade ambiental da empresa, por 
meio de trabalhos de laboratóriose avaliações formais 
do sistema de gestão ambiental ou sistema gerencial que 
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se ocupe de garantir um bom desempenho ambiental da 
empresa. Engloba custos com inspeções, testes, auditorias 
da qualidade ambiental e despesas similares.
Os Custos de falta de controle são:
 „ Custos de falhas internas: é o primeiro dos custos 
decorrentes das falhas (ou falta) de controle. Estes 
custos resultam de ações internas na empresa, tais como 
correções de problemas ambientais e recuperação de 
áreas degradadas, desperdícios de material, de energia, 
de água e outros recursos naturais, além de tempo sem 
atividade de máquinas, como resultado de problemas 
ambientais causados (interdições) e re-trabalhos em 
processos causados por não conformidades ambientais. 
Em resumo, referem-se a todos os custos incorridos pelo 
não atendimento às normas, a padrões, procedimentos 
operacionais explícitos de gestão ambiental e correções 
de não conformidades. 
 „ Custos de falhas externas: compreendem os custos de 
qualidade ambiental insatisfatória e não conformidades 
fora dos limites da empresa, resultantes de uma gestão 
ambiental não adequada. Engloba os custos decorrentes 
de queixas ambientais de consumidores levando à 
existência de despesas de correção, recuperação de áreas 
externas degradadas ou contaminadas pela atividade 
da empresa, pagamento de multas aplicadas por órgãos 
ambientais de controle. Ou indenizações decorrentes 
de ações legais resultantes de disposição inadequada 
de resíduos, acidentes de transportes de produtos 
tóxicos, inflamáveis, corrosivos, prejuízos decorrentes 
de suspensões de vendas e fabricação de produtos, 
demolições de obras determinadas por autoridade 
competente, campanhas publicitárias visando explicar 
acidentes e problemas, demandas trabalhistas decorrentes 
de acidentes ambientais, etc.
 „ Custos intangíveis: são aqueles com alto grau de 
dificuldade para serem quantificados, embora se perceba 
claramente a sua existência. Como, por exemplo, 
tem-se a perda de valor da empresa (ou das ações) como 
resultado de desempenho ambiental insatisfatório, 
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baixa produtividade dos empregados como resultado 
de um ambiente poluído, contaminado ou inseguro, 
dificuldades e aumento de tempo (e custos) na obtenção 
do licenciamento ambiental como resultado de multas e 
problemas anteriormente constatados.
Vamos ver, então, o conceito de custo:
Custo é a soma de recursos (mão-de-obra, material, 
equipamentos, etc.) usados para produzir bens e 
serviços. Uma medida do que deve ser cedido para 
obter algo (mediante a compra, intercâmbio ou 
produção). Medidas correntes de custos incluem: custo 
per capita da população; custo por paciente; custo por 
serviço prestado; custo por resultado. Custo é também 
o total de dinheiro requerido para alcançar algo.
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), os custos de 
investimentos são decorrentes das transações dos ativos da empresa 
e os custos operacionais são decorrentes da operação dos ativos.
Você vai estudar, agora, a classificação de cada um dos custos 
considerados na análise de um projeto de investimento.
Custos de Investimento
O investimento pode ser classificado de duas formas: 
investimento fixo e investimento de giro.
O investimento fixo representa os equipamentos, as instalações 
industriais para operação dos equipamentos (energia, ar 
condicionado, dentre outras), a montagem e o projeto quando 
houver, as construções civis necessárias e outros como móveis.
O investimento de giro é o capital próprio adicional necessário 
para a operação do equipamento ou da nova fábrica, sendo 
constituído, principalmente, pelo estoque de matérias-primas e 
componentes, e os recursos necessários para sustentar as vendas a 
prazo.
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Custos operacionais
Os custos operacionais, normalmente, são subdivididos em custos 
de produção e despesas gerais. Os custos de produção são aqueles 
que ocorrem até a fabricação do produto. Por exemplo, tem-se o 
custo das matérias-primas ou o custo de manutenção.
As despesas gerais ocorrem do término da fabricação até a 
complementação da venda e, como exemplo, há as despesas com 
vendas e impostos sobre receitas.
Custos de produção
Os custos de produção, por sua vez, são subdivididos em custos 
diretos e indiretos. Os custos diretos referem-se aos fatores 
diretamente utilizados na fabricação dos produtos e variam, 
normalmente, de forma direta com a utilização da capacidade de 
produção. 
Os custos diretos são relacionados com a provisão dos aspectos 
diretos da atenção, incluindo material e mão-de-obra.
Os principais custos diretos são os seguintes: 
 „ Matérias-primas: materiais incorporados ao produto 
final, por exemplo, na fabricação de uma cadeira, uma 
das matérias-primas pode ser o couro para revesti-la.
 „ Embalagens.
 „ Materiais auxiliares: necessários à fabricação, mas 
não incorporados, tais como graxas, lubrificantes ou 
solventes.
 „ Fretes: gastos com o transporte dos itens anteriores.
 „ Mão-de-obra direta: o colaborador que lida com o 
produto ou opera equipamentos de fabricação, incluindo 
os encargos sociais tais como previdência social.
 „ Consumo de energia elétrica e/ou outro tipo de energia 
como gás natural, por exemplo.
 „ Consumo de água se for o caso, quando a água faz parte 
de alguma maneira do processo produtivo.
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Já os custos indiretos são os custos que não são apenas atribuíveis 
a um aspecto da produção, mas que estão distribuídos em muitos 
deles (por exemplo, a enfermaria, o escritório, o prédio, salários 
de supervisores, serviços de secretaria, etc.). A seguir, acompanhe 
exemplos de custos indiretos: 
 „ Mão-de-obra indireta: salários e encargos sociais do 
pessoal de unidades de apoio à produção, tais como 
manutenção, limpeza, administração da produção dentre 
outros. Perceba que são pessoas importantes no processo 
final de produção da empresa, mas não trabalham 
diretamente na fabricação do produto.
 „ Manutenção: peças de reposição e outros materiais.
 „ Seguros: de prédios, instalações e equipamentos.
 „ Demanda de energia elétrica: todo o restante da energia 
que não é utilizado na produção em si.
 „ Arrendamento: aluguel de prédios ou equipamentos 
industriais, caso necessário.
Despesas gerais
As despesas gerais são classificadas em variáveis e fixas, e incidem 
após o produto ter sido fabricado. 
Despesas gerais variáveis: 
 „ Impostos: normalmente, são os impostos estaduais 
(imposto referente à circulação de mercadorias, a serviços 
e transportes – ICMS) incidentes sobre as receitas. 
Os impostos federais (IPI – imposto sobre produtos 
industrializados) também incidem sobre as receitas. 
 „ Despesas com vendas: comissão aos vendedores.
 „ Despesas financeiras: despesas com desconto de 
duplicatas em bancos comerciais (apenas de curto prazo).
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Despesas gerais fixas:
 „ Despesas administrativas: salários de diretores, gerentes 
e pessoal de escritório e encargos, mais as despesas de 
escritório como telefone, cópias, internet.
 „ Despesas municipais: impostos territorial, predial e taxas 
diversas.
Além da classificação dos custos que você estudou, temos ainda 
uma classificação econômica muito importante, ou seja, a divisão 
dos custos em fixos e variáveis.
Na economia a curto prazo, alguns fatores são fixos, qualquer que 
seja o nível de produção. Normalmente, consideramos como fator 
fixo a planta da empresa e os equipamentos de capital.
Custo Fixo (CF): parcela do custo que se mantém fixa, quando 
a produção varia, ou seja, são os gastos com fatores fixos de 
produção, como aluguéis, depreciação, etc. Não