Atividade 2 Calculo I

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• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a 
derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do 
professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez 
as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II e a relação proposta 
entre elas. 
 
I. A derivada da função é igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Resposta Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De 
acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional 
é igual a , diferentemente da derivada proposta na 
afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi 
utilizada a regra do quociente para derivar. 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, 
deve-se derivar a função dada na forma implícita. 
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que 
determine o valor de . 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se 
derivar ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a 
seguir, que constatam que o valor da derivada é igual 
a De fato, temos: 
 . 
 
• Pergunta 3 
0 em 1 pontos 
 
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a 
limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de 
uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada 
lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função 
contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função 
derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias 
sentenças: 
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função é derivável em . 
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: . 
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em . 
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
F, F, F, F. 
Resposta Correta: 
F, F, V, F. 
Feedback da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é falsa, sendo 
que é derivável em , logo, . De fato: 
. 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, 
pois , pois, . De fato: . 
 
A afirmativa III é verdadeira, dado que não é derivável 
em porque não é contínua em . De fato, , 
portanto, f não é derivável em x=2. 
 
 
Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é derivável 
em , porque é contínua em . O fato de uma 
função ser contínua não garante a sua derivabilidade. 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como , como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica difícil 
explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a . 
Pois: 
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira 
y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De 
fato, a derivada de y=f(x) é igual a e é claro que ao 
aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual 
a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer 
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos 
fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas 
situações, é um cálculo muito simples. 
 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
Resposta Selecionada: 
4. 
Resposta Correta: 
4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De 
fato, para fatorar o polinômio , utiliza-se a diferenças dos 
quadrados , portanto, , e o cálculo do limite é 
justificado da seguinte forma: . 
 
 
• Pergunta 6 
0 em 1 pontos 
 
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte 
forma: funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem 
até 1ª derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim 
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma 
função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. A derivada correta é igual a . 
Inicialmente, deve-se utilizar a regra do quociente para obter a 
primeira derivada, portanto, o valor da primeira derivada é igual 
a : . Daí, deriva-se novamente para obter a segunda 
derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, 
temos: . 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da 
reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e 
da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta 
normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta 
normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o 
coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do 
valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta 
normal é igual a 
 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: 
deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, 
derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções 
constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma.4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos 
que = Derivada do Quociente. = Derivada da 
Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
• Pergunta 9 
0 em 1 pontos 
 
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados 
tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da 
derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar 
funções com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, V. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é verdadeira, se 
, então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto 
que se , então , pois a derivada de uma constante é 
igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se , 
então, , como consta na tabela de derivadas. E finalmente, 
a afirmativa IV é falsa, dado que se então, . Verifique 
 
que a função é uma função composta e, portanto, através 
da regra da cadeia 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, 
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de 
funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da regra prática 
de Ruffini para facilitar os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. 
Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, 
a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de 
Ruffini, e , portanto, o valor do limite é igual a : .