Prova por indução Para quais valores de n nos números naturais temos que n2−2n−15 ≥ 0? Para n, n = 1; Caso base: 12 – 2*(1) – 15 ≥ 0; então: (n + 1...

Para provar que n² - 2n - 15 ≥ 0 para todo n natural, vamos utilizar a prova por indução. Caso base: Para n = 1, temos que 1² - 2*1 - 15 = -16 < 0, portanto a desigualdade não é satisfeita. Hipótese de indução: Suponha que a desigualdade seja verdadeira para um certo valor k, ou seja, k² - 2k - 15 ≥ 0. Passo da indução: Vamos provar que a desigualdade também é verdadeira para k + 1. Temos que: (k + 1)² - 2(k + 1) - 15 = k² + 2k + 1 - 2k - 2 - 15 = k² - 2k - 15 + 1 - 2 Pela hipótese de indução, sabemos que k² - 2k - 15 ≥ 0. Portanto, k² - 2k - 15 + 1 - 2 ≥ -1. Simplificando, temos: (k + 1)² - 2(k + 1) - 15 ≥ -1 (k + 1)² - 2(k + 1) - 14 ≥ 0 (k + 1)² - 2(k + 1) - 14 + 16 ≥ 0 (k + 1 - 4)(k + 1 + 2) ≥ 0 (k - 3)(k + 3) ≥ 0 A desigualdade é verdadeira para k ≥ 3 ou k ≤ -3. Como estamos trabalhando com números naturais, temos que k ≥ 3. Portanto, a desigualdade é verdadeira para k + 1 = 4, 5, 6, ... Conclusão: Como a desigualdade é verdadeira para n = 4, e se for verdadeira para um certo valor k, também será verdadeira para k + 1, concluímos que a desigualdade é verdadeira para todo n natural maior ou igual a 4.