Controle Estatístico de Qualidade - Aula 4 - Gráficos de Controle para Variáveis (parte 1)

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3. Gráficos de Controle para Variáveis (parte 1)
Disciplina: Controle Estatístico da Qualidade (ESA-1077-4)
Profa.: Maria Luíza Guerra de Toledo
maria.toledo@ibge.gov.br
mailto:maria.toledo@ibge.gov.br
Introdução
• Variável – característica de qualidade medida em uma escala numérica (tamanho, largura, 
temperatura, volume,…).
• Monitora-se tanto o valor médio quanto a variabilidade da característica de qualidade.
Gráficos de controle para X-barra e R
A Base Estatística dos Gráficos
• Suponha que uma característica de qualidade seja normalmente distribuída com média m
e desvio-padrão s, sendo ambos conhecidos. 
• Se x1, x2, ..., xn é uma amostra de tamanho n, então a média dessa amostra é 
e sabemos que é normalmente distribuída com média m e desvio-padrão 
• Além disso, há uma probabilidade 1-a de qualquer média amostral cair entre 
(a) e (b).
A Base Estatística dos Gráficos
• Então, se m e s são conhecidos, as equações (a) e (b) podem ser usadas como limites de 
controle superior e inferior em um gráfico de controle para médias amostrais. 
• Vimos que é comum substituir Za/2 por 3, de modo que os limites três-sigma sejam 
empregados.
• Pelo TCL, tais resultados são aproximadamente corretos mesmo que a distribuição da 
variável não seja normal. 
• Porém, 
• na prática, em geral, não conhecemos m e s.
• Eles devem ser estimados a partir de amostras ou subgrupos preliminares, retirados quando o 
processo supostamente estava sob controle. 
• Tais estimativas devem se basear em pelo menos 20 ou 25 amostras.
A Base Estatística dos Gráficos
• Sejam as médias de cada uma das amostras. 
• Então, o melhor estimador de m, a média do processo, é a média geral, isto é
• Assim, deve ser usado como a linha central no gráfico X-barra.
• Para construir os limites de controle, é necessária uma estimativa do desvio-padrão s. 
• Sabemos que podemos estimar s, ou através dos desvios-padrão, ou das amplitudes das 
m amostras. 
A Base Estatística dos Gráficos
• No momento, vamos nos concentrar no método da amplitude. 
• Se é uma amostra de tamanho n, então a amplitude da amostra é a 
diferença entre a maior e a menor observação; isto é, 
• Sejam as amplitudes das m amostras. A amplitude média é 
A Base Estatística dos Gráficos
• Limites de Controle para o Gráfico X-barra:
• A variabilidade do processo pode ser monitorada plotando-se os valores das amplitudes 
amostrais R em um gráfico de controle. A linha central e os limites de controle para o 
gráfico R são os seguintes:
A Base Estatística dos Gráficos
Dedução das Equações:
• Existe uma relação bem conhecida entre a amplitude de uma amostra de uma 
distribuição normal e o desvio-padrão de tal distribuição. 
• A variável aleatória W=R/s é chamada amplitude relativa. 
• Os parâmetros da distribuição de W são funções do tamanho da amostra n. 
A Base Estatística dos Gráficos
• A média de W é d2. 
• Consequentemente, um estimador de s é 
• Valores de d2 para diversos tamanhos de amostra:
A Base Estatística dos Gráficos
• Assim, se é a amplitude média das m amostras preliminares, podemos usar
para estimar s. Esse é um estimador não-viciado de s.
• Usando como um estimador de m e como estimador de s, então os parâmetros 
do gráfico X-barra são
A Base Estatística dos Gráficos
• Se definirmos
então chegamos às equações finais:
A Base Estatística dos Gráficos
• Consideremos agora o gráfico R. 
• A linha central será 
• Para determinar os limites de controle, precisamos de uma estimativa de sR.
• Supondo que a característica de qualidade seja normalmente distribuída, pode ser 
determinado a partir da distribuição da amplitude relativa, W=R/s. 
• O desvio-padrão de W, digamos, d3, é uma função conhecida de n. 
A Base Estatística dos Gráficos
A Base Estatística dos Gráficos
• Então, como 
o desvio-padrão de R é
• Como s é desconhecido, devemos estimar sR por 
• Consequentemente, os parâmetros do gráfico R com os limites usuais três-sigma são:
A Base Estatística dos Gráficos
• Definindo
e
os limites de controle do gráfico R se reduzem a:
Exemplo 1
• Um processo de cozimento pós-exposição é utilizado na fabricação de semicondutores. 
• Queremos estabelecer um controle estatístico para a largura do fluxo nesse processo 
usando gráficos X-barra e R. 
• m=25 amostras, cada uma de tamanho n=5, foram extraídas desse processo quando se 
pensava que o mesmo estava sob controle. 
• O intervalo entre as amostras foi de uma hora. 
Exemplo 1
Dados de medições da largura do fluxo (em microns) a partir das amostras: 
Exemplo 1
• Ao trabalhar com gráficos X-barra e R, é melhor começar com a carta R. 
• Como os limites de controle na carta X-barra dependem da variação do processo, tais 
limites só terão sentido se a variabilidade do processo estiver sob controle. 
• A partir dos dados da tabela, a linha central da carta R é
• Um processo de cozimento pós-exposição é utilizado na fabricação de semicondutores.
Exemplo 1
• Na tabela, para n=5 temos:
Exemplo 1
Exemplo 1
• Como o gráfico R indica que a variabilidade do processo está sob controle, podemos 
construir o gráfico X-barra. A linha central é 
• Para calcular os limites, usamos A2=0,577 (n=5):
Exemplo 1
Como ambos os gráficos exibem estado de controle estatístico, concluímos que o processo 
está sob controle. 
Podemos então utilizar esses limites de controle para monitorar a produção futura. 
Estimando a Capacidade do Processo
• As cartas X-barra e R fornecem informações sobre o desempenho ou capacidade do 
processo. 
• Pela carta X-barra, podemos estimar a largura média do fluxo no processo como 
microns. 
• O desvio-padrão do processo pode ser estimado como: 
onde d2 é tabelado. 
• Os limites de especificação para a largura do fluxo são 1,50 ± 0,50 microns. 
Estimando a Capacidade do Processo
• O gráfico de controle pode ser usado para descrever a capacidade do processo de 
produzir semicondutores relativa a essas especificações. 
• Supondo que a largura do fluxo é uma variável aleatória normalmente distribuída, com 
média 1,5056 e desvio-padrão 0,1398, pode estimar a fração de não-conformes 
produzidos como
• Ou seja, aproximadamente 0,035% [350 partes por milhão (ppm)] dos semicondutores 
produzidos estarão fora das especificações.
Estimando a Capacidade do Processo
• Outra forma de expressar a capacidade do processo é em termos da razão (ou índice) da 
capacidade do processo (RCP) Cp, definida para uma característica de qualidade com 
limites superior e inferior de especificação LSC e LIC como
• Como s em geral é desconhecido, temos que substituí-lo por uma estimativa. Nesse caso, 
temos , resultando em uma estimativa de Cp.
• Para os semicondutores, , portanto
𝑪𝒑 =
𝑳𝑺𝑪 − 𝑳𝑰𝑪
𝟔𝝈
Estimando a Capacidade do Processo
Estimando a Capacidade do Processo
• A quantidade
é simplesmente a percentagem da faixa de especificação usada pelo processo. 
• Para os semicondutores, uma estimativa de P é 
Ou seja, o processo usa aproximadamente 84% da faixa de especificação.
Limites de Controle, Limites de Especificação e Limites Naturais
de Tolerância
Exercício
• A espessura de uma placa de circuito impresso é um parâmetro importante da qualidade. 
• Dados sobre a espessura (em polegadas) são dados aqui para m=10 amostras de n=3 
placas cada. 
Número da 
amostra
X1 x2 x3
1 0,0629 0,0636 0,0640
2 0,0630 0,0631 0,0622
3 0,0628 0,0631 0,0633
4 0,0634 0,0630 0,0631
5 0,0619 0,0628 0,0630
6 0,0613 0,0629 0,0634
7 0,0630 0,0639 0,0625
8 0,0628 0,0627 0,0622
9 0,0623 0,0626 0,0633
10 0,0631 0,0631 0,0633
Exercício
a) Construa gráficos X-barra e R para o processo. O processo está sob controle estatístico?
b) Estime o desvio-padrãodo processo. 
c) Quais são os limites que você esperaria que contivessem aproximadamente todas as 
medidas do processo?
d) Se as especificações são 0,0630±0,0015 polegadas, qual é o valor da RCP Cp?
MONTGOMERY, Douglas. Métodos e filosofia do controle estatístico do processo. In: 
Introdução ao controle estatístico da qualidade. 4ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
p. 95-128.
Referência: