Lista de exercícios de matemática CONCURSOS MILITARES com RESOLUÇÃO

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1- Rodrigo escreveu a sequência dos n primeiros números inteiros positivos (1, 2, 3, , n). Em seguida, 
retirou um desses números e calculou a média aritmética dos restantes, obtendo 
92
.
9
 Sendo assim, o 
número retirado é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
 
2- Se X e Y são números naturais tais que 2 2X Y 2017,− = o valor de 2 2X Y+ é: 
a) 2008010 
b) 2012061 
c) 2034145 
d) 2044145 
 
3- Considere as equações: 
 
(I) 2x bx 15 0− + = (b ) cujas raízes são os números reais α e β ( )α β 
(II) 2x kx 15 0+ + = (k ) 
 
Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação 
(II) 
 
Com base nessas informações, marque a opção correta. 
a) 3b k− é um número negativo. 
b) O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1 
c) As raízes da equação (II) NÃO são números primos. 
d) 2 2α β− é um número que é divisor de 8 
 
4- Em uma determinada indústria, cada operário tem direito a um único dia de folga na semana. Em 
uma semana específica, 157 operários trabalharam no domingo, 234 trabalharam na segunda-feira, 
250 na terça-feira, 243 na quarta-feira, 237 na quinta-feira, 230 na sexta-feira e 197 no sábado. 
 
Considerando que, nessa semana, a regra de folga foi cumprida, quantos operários trabalham nessa 
indústria? 
a) 255. 
b) 256. 
c) 257. 
d) 258. 
 
 
5- Sejam 
1
3 2
1
4
(2 10 ) 2
A
10
−
−
−
 
= e 
3 2
4 (4 10 ) 0,000005B .
2
−   = −
 
 
 Comparando essas expressões 
numéricas, conclui-se que 
a) A B= 
b) 
A
1
B
= − 
c) A 2B 0+ = 
d) A B 1 = − 
 
 
6- Qual é o valor da expressão 
 
2 2
4 4
?
(2 6) (2 6)
−
− +
 
a) 0 
b) 4 
c) 2 6 
d) 4 6 
 
 
7- Além das informações dadas por Calvin na tira abaixo, considere que os “quatro paus” aos quais ele 
se refere correspondem a R$ 400,00. 
 
 
 
Supondo a ideia de Calvin aceita por seu pai e contabilizados todos os conceitos que ele obteve o longo 
do ano em que foi feita a proposta, observou-se que o número de conceitos “D” era o quíntuplo do de 
“B” e o número de conceitos “C” excedia o de “A” em 10 unidades. Nessas condições, se a quantidade 
de conceitos “A” que Calvin tirou era um número par, então, para obter exatamente os “quatro paus” 
por ele pretendidos, o total de conceitos “B” que ele tirou era um número 
a) primo. 
b) maior que 17. 
c) quadrado perfeito. 
d) ímpar. 
 
 
8- Foi solicitado que um grupo de 64 pessoas escolhesse um número natural maior do que 3. Após 
análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram um número primo, 30 um número par, 
14 um múltiplo de 3, e 6 um múltiplo de 6. 
 
O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: 
a) 14 
b) 26 
c) 12 
d) 20 
 
 
9- Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V (verdadeiro) ou F (falsa). 
 
( ) Se p é um número inteiro, ímpar e p 2, então o maior valor de x que satisfaz a inequação 
( ) ( )p x p 2 2 x− −  − é sempre um número ímpar. 
( ) Para todo m , o conjunto solução da equação ( )2mx m x 1 0− + = é  S 1 .= 
( ) Se a menor raiz da equação (I) ( )2x m 1 x 3m 0+ − − = e a menor raiz da equação (II) 
22x 5x 3 0+ − = são iguais, então m é a outra raiz de (I). 
 
Tem-se a sequência correta em 
a) F – F – V 
b) V – V – F 
c) V – F – V 
d) F – V – F 
 
10- Uma urna contém 20 fichas, numeradas de 1 a 20. O menor número de fichas que devemos 
retirar dessa urna para termos certeza de que três das fichas retiradas estejam marcadas com três 
números consecutivos é igual a 
a) 11. 
b) 14. 
c) 15. 
d) 16. 
 
 
11- Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já 
fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu 
respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos? 
a) 23 
b) 26 
c) 29 
d) 32 
 
 
12- Analisando os conteúdos nos quais os alunos possuem maiores dificuldades de aprendizagem em 
uma escola com 500 alunos, percebeu-se que: 208 têm dificuldades de aprendizagem em 
matemática; 198, em português; 154, em física; 62, em matemática e física; 38, em português e 
física; 52, em matemática e português e 20 têm dificuldades nas três disciplinas. 
 
Por esse viés, o número de alunos que não tem dificuldades em nenhuma dessas disciplinas é de 
a) 92 alunos. 
b) 72 alunos. 
c) 60 alunos. 
d) 20 alunos. 
 
13- Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: 
 
I. A \ (B C) (A \ B) (A \ C); =  
II. C(A C) \ B A B C; =   
III. (A \ B) (B \ C) (A \ B) \ C, = 
 
é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
 
 
14- O valor da expressão 
2 2 2 2
1 1 2 2
x y x y xy
,
x y x y
− −
− −
   − +
   
   + −   
 em que x e y  e x y e x y, − é 
a) 1− 
b) 2− 
c) 1 
d) 2 
 
15- Em um grupo de 2000 pessoas, 70,0% possuem geladeira, 85,0% possuem aparelho celular e 
45,2% possuem automóvel. O menor número possível de pessoas desse grupo que possuem geladeira, 
aparelho celular e automóvel é igual a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 10. 
 
 
16- A doutora Cristiane não quer revelar o dia de seu aniversário, mas seus amigos Jorge e 
Evandro insistem. Então Cristiane propôs o seguinte problema: ABC ABC ABC BBB+ + = 
A 15 é igual ao dia de meu aniversário e B 5+ é o meu mês. 
 
Com base nessas informações, conclui-se que Cristiane faz aniversário: 
a) 15 de setembro. 
b) 15 de novembro. 
c) 30 de outubro. 
d) 30 de novembro. 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
A soma dos n primeiros números inteiros e positivos é dada por n
(1 n) n
S
2
+ 
= 
Retirando um número x desta soma, obtemos: n
(1 n) n
S x x
2
+ 
− = − 
 
Portanto, a média dos números remanescentes, é dada por: 
(1 n) n
x
92 (1 n) n 92 (1 n) n 922 x (n 1) (n 1) x
n 1 9 2 9 2 9
+ 
−
+  + 
=  − = −   − −  =
−
 
 
Notando que n 1− deverá ser múltiplo de 9. 
 
Considerando: 
(1 10) 10 92
n 1 9 x 9 37 (não convém)
2 9
(1 19) 19 92
n 1 18 x 18 6 
2 9
+ 
− =  = −  = −
+ 
− =  = −  =
 
 
Portanto, 6 é a resposta do exercício. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
De 2 2X Y 2017,− = 
( ) ( )X Y X Y 2017+  − = 
 
Como 2017 é primo, X e Y são números naturais, X Y e ( ) ( )X Y X Y 2017,+  − = 
( )
( )
X Y 2017
i
X Y 1
X Y 1
ii
X Y 2017
+ =

− =
+ =

− =
 
 
De ( )i , 
2X 2018 X 1009=  = 
 
Substituindo X 1009= na equação X Y 2017, Y 1008.+ = = 
De ( )ii , 
2X 2018 X 1009=  = 
 
Substituindo X 1009= na equação X Y 1, Y 1008.+ = = − 
Como ( )X, Y , ii não apresenta solução. 
Logo, X 1009= e Y 1008,= ou seja, 
2 2X Y 2034145.+ = 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Da equação (I) podemos escrever que: 
b
15
α β
α β
+ =

 =
 
 
Da equação (II) podemos escrever que: 
( )
8 8 k k 16
( 8) ( 8) 15 8 64 15
α β α β
α β α β α β
+ + + = −  + = − +

+  + =   +  + + =
 
 
Considerando as segundas equações de cada sistema acima, podemos concluir que: 
8 ( ) 64 8 b 8α β α β + = −  + = −  = − 
 
Resolvendo a equação (I) com b 8,= − temos: 
2x 8x 15 0 5 e 3 ( )α β α β+ + =  = − = −  
 
Logo, k 15,= − pois k 8 8.α β− = + + + 
 
Julgando as opções, obtemos: 
[A] Verdadeira, pois 
3( 8) ( 15) 0.− − −  
[B] Falsa, pois o módulo de 5 ( 3)− − − é 2. 
[C] Falsa. As duas raízes são números primos. 
[D] Falsa. 
2 2( 5) ( 3) 16− − − = (múltiplo de 8). 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Sabendo que o total de funcionários será dado pelo número de funcionários presentes no dia mais o 
número de funcionários de folga, logo, o total de funcionários será a somade todos os funcionários que 
folgam por cada dia da semana, ou seja: 
 
Total Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado (I)= + + + + + + 
 
Dessa maneira, temos a seguinte situação, de acordo com os dados: 
157 Domingo Total
234 Segunda Total
250 Terça Total
243 Quarta Total
237 Quinta Total
230 Sexta Total
197 Sábado Total
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
 
 
Reescrevendo as equações em função do total e substituindo na equação (I), temos: 
 
Total Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
Total (Total 157) (Total 234) (Total 250) (Total 243) (Total 237) (Total 230) (Total 197)
6 Total 1548
Total 258 funcionários.
= + + + + + +
= − + − + − + − + − + − + −
 =
=
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
1
11 1 11 2 12 13 32 1 43 2 34 42 2 4 4 4 4
1
4
(2 10 ) 2
A 2 10 2 10 2 10 10 10 2 10 10 40
10
−  
− − − −− − − 
− − 
−
 
= =  =  =   =   =  
 
3 2 6 6
3 34 4 4 4
3 4
3 4
(1 10 ) 0,000005 16 10 5 10 5 40
B 2 10 2 10
2 2 2 16
2 10 40
10 40 A
2
− − −
− −
−
−
      = − = − = −   = −  =
 
 
−  
= = −  = −
 
 
Logo, 
A
1.
B
= − 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Desde que 2
, se 0
,
, se 0
α α
α
α α

= 
− 
 temos 
 
2 2
4 4 2 2
6 2 6 2(2 6) (2 6)
6 2 ( 6 2)
4.
− = −
− +− +
= + − −
=
 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Sejam a, b, c e d, respectivamente, os números de conceitos A, B, C e D. 
De acordo com as informações, obtemos 
 
+ + + =

= +
 =
50a 10b 5c d 400
c a 10
d 5b
 
 
Então, 
 
+ + + + =  + =
 = −
50a 10b 5(a 10) 5b 350 55a 15b 350
3b 70 11a.
 
 
Sabendo que a é par, isto é, 
= a 2k, k , vem 
 
= −3b 70 22k. 
 
Portanto, por inspeção, k só pode ser 1 e, assim, 2b 16 4 ,= = que é um quadrado perfeito. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Vamos, inicialmente, considerar os seguintes conjuntos: 
A : conjunto dos números primos maiores que 3. 
B : Conjunto dos números pares maiores que 3. 
C : Conjunto dos múltiplos de 3 maiores que 3. 
D B C :=  conjunto dos múltiplos de 6 maiores que 3. 
 
Organizando as informações do problema através de diagramas: 
 
 
 
Temos então a seguinte equação: 
x 12 24 6 8 64 x 14+ + + + =  = 
 
Considerando que todo número primo maior que 3 é ímpar, O número de pessoas que escolheu um 
número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: 
x 12 14 12 26+ = + = 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
(Verdadeira) 
 
( ) ( )
2
2
2
p x p 2 2 x
px p 4 2x
(2 p) x 4 p (como p>2)
p 4
x
p 2
x p 2
− −  −
− +  −
−   −
−

−
 +
 
 
Como p é impar, qualquer p + 2 também será ímpar. 
 
(Falsa) 
 
2mx – mx – m = 0 
 mx = m 
 x = 1 ( m  0) 
 
Obs.: Se m = 0, a equação terá infinitas soluções. 
 
(Verdadeira) 
 
Determinando as raízes da equação 2x2 + 5x – 3 = 0, temos x= ½ ou x = –3. 
 
Substituindo x = –3 na equação (I) ( )2x m 1 x 3m 0+ − − = , temos: 
 
(–3)2 + (m – 1)  (–3) – 3m = 0 
9 – 3m + 3 – 3m = 0 
6m = 12 
m = 2 
Fazendo m = 2 na equação (I), temos: x2 + (2 – 1)  x – 3  2 = 0  x2 – 5x + 6 = 0, cujas raízes são 2 e –3, 
concluindo então que m = 2 é raiz da equação (I). 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
O número máximo de bolas com no máximo duas consecutivas é 14. Abaixo temos um exemplo desta 
situação: 
1, 2, 4, 5, 7, 8,10,11,13,14,16,17,19, 20. Portanto com apenas mais uma bola teremos três 
consecutivas. Logo a resposta é 15. 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Do enunciado, o ano de nascimento de Aristeu é 19ab e de seu irmão é 20cd, com a, b, c e d naturais 
e pertencentes ao intervalo  0, 9 . 
A idade de Aristeu é dada por: ( )2018 1900 10a b 118 10a b.− + + = − − 
A idade do irmão de Aristeu é dada por: ( )2018 2000 10c d 18 10c d.− + + = − − 
Assim, temos: 
( )
( )
109 2b 11a i118 10a b 9 a b
18 10c d 0 c d 18 2d 11c ii
 = +− − = + + 
 
− − = + + = + 
 
 
Nas condições dadas, a solução das equações (i) e (ii) é única e dada por: 
a 5, b 9, c 0= = = e d 9.= 
 
Portanto, a idade de Aristeu é 2018 1995 23− = e a de seu irmão é 2018 2009 9.− = 
Logo, a soma das idades dos dois irmãos é 23 9 32.+ = 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Utilizando o diagrama de Venn temos: 
 
 
 
Subtraindo o total de cada matéria pelas intersecções temos: 
 
 
 
Logo, somando todos os valores e subtraindo 500 temos: 
500 428 72− = 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
I. Verdadeira. De fato, seja x um elemento de A (B C),−  isto é, 
 
x A (B C) x A x (B C)
x A (x B x C)
(x A x B) (x A x C)
x (A B) (A C).
 −      
     
       
  −  −
 
 
Portanto, 
 
A (B C) (A B) (A C).−  = −  − 
 
II. Verdadeira. Seja x um elemento de (A C) B, − ou seja, 
 
C
x (A C) B (x A x C) x B
x A x B x C
x A B C.
  −      
     
   
 
 
Por conseguinte, 
 
C(A C) B A B C. − =   
 
III. Falsa. Sejam A {k},B= = e C .= Logo, (A B) (B C) ,−  − = (A B) C {k}− − = e, portanto, 
(A B) (B C) (A B) C.−  −  − − 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Resolvendo a expressão do enunciado, tem-se: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
2 2
2
1 1 y x
xy x y xy x yx y x y xy x y x y
1 1 y xx y x y x y x yx y x y
x y xy
y xxy x yy x xy 1
y x x y x y 1xy
− −
− −
 − 
−           +  +− +    =  =                  ++  − +  −+ −        +   
    
  −  + −    =       + +  −    
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
y x (y x)1 1 (x y)
1
x y x y x y x y x y
+  − −  −
 = = = −
+ − +  − −
 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Sejam os conjuntos A, B e C, respectivamente, formados por pessoas que possuem geladeira, 
aparelho celular e automóvel. 
Do enunciado, 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n A B C 2000
70
n A 2000 n A 1400
100
85
n B 2000 n B 1700
100
45,2
n C 2000 n C 904
100
  =
=   =
=   =
=   =
 
 
Lembremos que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C
n A B C n A B C n A n B n C n A B n A C n B C i
  = + + −  −  −  +  
   =   − + + +  +  +  
 
 
Lembremos também que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n A B n A n B n A B n A B n A n B n A B ii
n A C n A n C n A C n A C n A n C n A C iii
n B C n B n C n B C n B C n B n C n B C iv
 = + −    = + − 
 = + −    = + − 
 = + −    = + − 
 
 
Somando as equações ( ) ( )ii , iii e ( )iv , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A C n B C 2n A 2n B 2n C n A B n A C n B C v +  +  = + + −  −  −  
 
Substituindo a equação ( )v na equação ( )i , 
 
 
Para que ( )n A B C  seja mínimo, basta que ( ) ( ) ( )n A B n A C n B C  +  +   seja máximo, logo, 
devemos ter ( ) ( )máximo máximon A B ,n A C  e ( )máximon B C . 
Note que, ( ) ( ) ( )máximo máximo máximon A B n A C n B C 2000. =  =  = 
 
Assim, 
( )  
( )
mínimo
mínimo
n A B C 6004 2000 2000 2000
n A B C 4
  = − + +
  =
 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
De acordo com as informações acima, podemos concluir que A 1= ou A 2.= 
E que: 
300A 30B 3C 111B 300A 3C 81B 100A C 27B C 27B 100A.+ + =  + =  + =  = − 
 
Considerando A 1,= temos C 27B 100,= − ou seja o único valor possível para B é 4, pois 
108 100 8− = (valor possível para C). 
 
Considerando A 2,= temos C 27B 200,= − ou seja não existe um valor possível para B a fim de obter 
um C de apenas um algarismo. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n A B C n A B C n A n B n C 2n A 2n B 2n C n A B n A C n B C
n A B C n A B C n A n B n C n A B n A C n B C
n A B C 2000 1400 1700 904 n A B n A C n B C
n A B C 6004 n A B n A C n B C
     =   − + + + + + −  +  +   
   =   + + + −  +  +  
   = + + + −  +  +  
   = −  +  +  
Portanto, o dia do aniversário será 1 15 15 = e o mês de aniversário será 4 5 9.+ = 
 
A alternativa [A] está correta.