Condução de Calor: Equação de Fourier

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Condução unidirecional em regime 
estacionário/permanente: equação de Fourier em 
coordenadas cartesiana, cilíndrica e esférica.
Transferência de Calor e Massa
GCA112
Junho/2020
Lavras - MG
–Aula 05 –
Prof. Bárbara Costa
barbara.costa@estudante.ufla.br
Prof. Bárbara Costa
O que vamos aprender ?
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Mecanismo de Transmissão de Calor: Condução
Lei de Fourier
Condução de Calor em Paredes Planas
Condução de Calor em configurações Cilíndricas
Condução de Calor em configurações Esféricas
Importância do estudo da condução
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O que é Condução ?
Ocorre quando existe um gradiente de temperatura em
um meio estacionário. 
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𝑞𝑥" =
𝑞𝑥
𝐴
= − 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
n
qx"
qy" qn"
 𝑞 " = − 𝑘 ▽ 𝑇 = −𝑘 ( 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
)
Obs.: (kx = ky = kz) e k depende da estrutura física do material – relacionado ao estado da matéria.
▽ Operador gradiente tridimensional
Campo escalar de temperatura
Condutividade térmica – propriedade de transportek
T (x, y, z)
O Fluxo é uma grandeza vetorial:
Lei de Fourier
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A, T1 A, T2
Δx
ΔT = T1 – T2
qx
Lei de Fourier
Forma unidirecional
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𝑞𝑥 ∝ 𝐴
Δ𝑇
Δ𝑥
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A, T1 A, T2
Δx
ΔT = T1 – T2
qx
𝑞𝑥 = − 𝑘 ∙ 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Taxa de calor por condução 
Condutividade térmica do material 
Área da seção transversal
Razão da variação de temperatura pela 
distância na direção x do fluxo de calor 
qx
k
A
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Lei de Fourier
Forma unidirecional
Fig.: Faixa de condutividades térmicas de vários estados da
matéria a temperaturas e pressões normais.
Em geral
ksólido > klíquido > kgases
Devido ao espaçamento
intermolecular nos
estados da matéria.
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Lei de Fourier
𝑞𝑥 ∝ 𝐴
Δ𝑇
Δ𝑥
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A, T1 A, T2
Δx
ΔT = T1 – T2
qx
𝑞𝑥 = − 𝑘 ∙ 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑞𝑥" = − 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑞𝑥
𝐴
= − 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Forma unidirecional
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Condução de calor em uma parede plana
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x
T1
L
T2
0
qx
A
k
𝑞𝑥 = −𝑘 ∙ 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑞𝑥𝑑𝑥 = −𝑘 ∙ 𝐴 𝑑𝑇 𝑞𝑥 0
𝐿
𝑑𝑥 = −𝑘 ∙ 𝐴 𝑇
1
𝑇
2 𝑑𝑇
𝑞𝑥𝑥 |
𝐿
0 = −𝑘 ∙ 𝐴 T |
𝑇
2
𝑇
1
𝑞𝑥(𝐿 − 0) = −𝑘 ∙ 𝐴 (T2 – T1)
𝑞𝑥𝐿 = 𝑘 ∙ 𝐴 (T1 – T2) 𝑞𝑥 =
𝑘 ∙𝐴
𝐿
(T1 – T2)
𝑞𝑥 =
𝑘 ∙ 𝐴
𝐿
Δ𝑇
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Exemplo 1
Uma sala de aula é mantida na temperatura de 18 ºC por um equipamento de ar condicionado. Esta
sala possui 20 m de comprimento, 8 m de largura e 3m de altura. As paredes da sala possuem 20 cm de
espessura e são feitas com tijolos de alvenaria com condutividade térmica é 0,7 W/m K, e as áreas das
janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes podem estar até 38 ºC em um
dia de verão. Para efetuar cálculos mais simplificados, podemos desconsiderar a troca de calor
realizada pelo piso e teto e ainda trocas ocorridas por convecção e radiação. Qual a taxa de calor que o
ar condicionado precisa retirar da sala para manter essas condições ?
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Para calcular a taxa de calor que o ar condicionado precisa retirar da sala para manter essas
condições, teremos que calcular a taxa de calor que entra da parte externa da sala para a parte
interna. E esse calor, entra na sala através das paredes. Desconsiderando as áreas do teto e
piso, e a influencia das janelas, a área das 4 paredes da sala é:
A
3 m 
6 m 
38ºC
18ºC
qx
k
𝐴 = 2 8 ∙ 3 + 2 20 ∙ 3 = 168 𝑚2
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Considerando que a área das quinas das paredes, onde deve ser levada em conta a transferência de calor 
bidimensional, é pequena em relação ao resto, podemos utilizar a equação que descreve a condução para paredes 
planas:
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𝑞𝑥 =
𝑘 ∙ 𝐴
𝐿
Δ𝑇
𝑞𝑥 =
0,7 𝑊/𝑚 𝐾 ∙168 𝑚2
0,20𝑚
(311,15 − 291,15)K
𝑞𝑥 =
117,6 𝑊 𝑚/ 𝐾
0,20𝑚
(20)K
𝑞𝑥 = 11,760 𝑊
Daí, a taxa de calor que o ar condicionado precisa retirar da sala para manter essas condições é igual a taxa de calor 
que entra na sala, que é igual a: 
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Condução de calor atraves de 
configurações cilindricas
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𝑞𝑟 = − 𝑘 ∙ 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝐴 = 2 𝜋 𝑟 𝐿
𝑞𝑟 = − 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝑟 𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟
1
𝑟
𝑑𝑟 = − 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿)𝑑𝑇 𝑞𝑟 
𝑟
1
𝑟
2 1
𝑟
𝑑𝑟 = − 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿) 
𝑇
1
𝑇
2
𝑑𝑇
𝑞𝑟 ln 𝑟 |
𝑟
2
𝑟
1
= − 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿) (T)| 𝑇2
𝑇
1
𝑞𝑟 ln 𝑟2 − ln 𝑟1 = − 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿) (T2 – T1)
𝑞𝑟 ln
𝑟
2
𝑟
1
= 𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿) (T1 – T2) 𝑞𝑟 =
𝑘 ∙ (2 𝜋 𝐿)
ln
𝑟2
𝑟1
Δ𝑇
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Condução de calor através de uma 
configuração esférica
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𝑞𝑟
T1
T2
r2
r1
k
𝑞𝑟 = −𝑘 ∙ 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝐴 = 4𝜋𝑟2
𝑞𝑟 = −𝑘 ∙ (4𝜋𝑟
2)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟
1
𝑟2
𝑑𝑟 = −𝑘 ∙ 4𝜋 𝑑𝑇 𝑞𝑟 
𝑟
1
𝑟
2 1
𝑟2
𝑑𝑟 = −𝑘 ∙ 4𝜋 
𝑇
1
𝑇
2
𝑑𝑇 𝑞𝑟 
𝑟
1
𝑟
2
𝑟−2𝑑𝑟 = −𝑘 ∙ 4𝜋 
𝑇
1
𝑇
2
𝑑𝑇
𝑞𝑟(−𝑟
−1)| 𝑟2
𝑟
1
= −𝑘 ∙ 4𝜋 (𝑇)| 𝑇2
𝑇
1
𝑞𝑟 −𝑟2
−1 − −𝑟1
−1 = −𝑘 ∙ 4𝜋 (𝑇2 − 𝑇1)
𝑞𝑟 −
1
𝑟
2
− −
1
𝑟
1
= −𝑘 ∙ 4𝜋 (𝑇2 − 𝑇1) 𝑞𝑟(
1
𝑟
1
−
1
𝑟
2
) = −𝑘 ∙ 4𝜋 (𝑇2 − 𝑇1)
𝑞𝑟 =
𝑘 ∙4𝜋
(
1
𝑟
1
−
1
𝑟
2
)
(𝑇1 − 𝑇2) 𝑞𝑟 =
𝑘 ∙4𝜋
(
1
𝑟
1
−
1
𝑟
2
)
(Δ𝑇)
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Importância do estudo da Condução
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A G R A D E Ç O P E L A A T E N Ç Ã O ! ! !
b a r b a r a . c o s t a @ e s t u d a n t e . u f l a . b r
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Referências
1 - BERGMAN, T L et al Fundamentos de transferência de calor e de 
massa 7 ed Rio de Janeiro, RJ LTC, c 2014 xvi, 672 p (Minha 
Biblioteca)
2 - ÇENGEL, Yunus A GHAJAR, Afshin J Transferência de calor e 
massa uma abordagem prática 4 ed Porto Alegre, RS AMGH Ed 2012 
xxii 902 p (Minha Biblioteca)
3 - WELTY, James R RORRER, Gregory L FOSTER, David G 
Fundamentos de transferência de momento, de calor e de massa 6 
ed Rio de Janeiro, RJ LTC, 2017 703 p (Minha Biblioteca)
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