Aula 2 - Sinais e Sistemas

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Prof. Dr. Walterley A. Moura
contato: walterley@gmail.com
DEPARTAMENTO DE ELETROELETRÔNICA
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SINAIS E SISTEMAS
3
SINAIS
• Sinais: Conjunto de dados ou informações. 
Formalmente é definido como uma função de uma ou mais
variáveis, a qual veicula informações sobre a natureza de
um fenômeno físico.
FORMAS DE 
COMUNICAÇÃO
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• Unidimensional: sinais de voz via 
telefone, etc.
• Multidimensional: sinais de 
Imagem, voz, etc.
SINAIS DE 
EQUIPAMENTOS 
MÉDICOS 
HOSPITALARES
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• Batimento cardíaco
• Pressão sanguínea
• Temperatura
• Nível de glicose
PREVISÃO DE TEMPO
• Variação da temperatura
• Variação da irradiação solar
• Variação da velocidade do 
vento
• Variação do índice pluviométrico 
Exemplo de Sinais
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• Batimento cardíaco
Fonte: https//www.polar.com
• Índice Glicêmico
Fonte: https://www.atletx.com.br
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• Irradiância Solar
Fonte: própria
• Temperatura de um painel fotovoltaico 
fixo e com rastreamento solar e velocidade do vento
Fonte: própria
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Performance Ratio do Sistema Fotovoltaico 
com Inclinação Fixa e do Sistema 
Fotovoltaico com Rastreamento Solar.
Fonte: própria
Os sistemas são transformadores de informação.
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1.2 SISTEMAS
• Processam os sinais, modificando-os ou extraindo informações 
adicionais
• Tudo que nos cerca é algum tipo de sistema.
• Os sinais em geral está associado a algum tipo de 
sistema.
• Um sistema é definido como uma entidade que manipula um ou
mais sinais para realizar uma função, produzindo novos sinais.
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EXEMPLO DE SISTEMAS
CIRCUITO ELÉTRICO
Sistema simples
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MOTOR A COMBUSTÃO
Sistema complexo
12
AUTOMÓVEL
Sistema mais complexo – possui subsistemas
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ANTENA PARA RASTREAR SINAIS DO ESPAÇO
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O
u
tr
o
s 
 e
x
e
m
p
lo
s
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APLICAÇÕES
Aplicação em 
Imagens
• Reconhecimento de padrões
• Visão robótica
• Realce de imagem
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Aplicação em 
Controle
• Análise espectral
• Posição e velocidade
• Filtragem
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Aplicação em Áudio
• Codificação
• Reconhecimento
• Síntese de fala
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Aplicação Militares
• Comunicações seguras
• Radar e detecção remota
• Controlo de mísseis
• Balística
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Classificação de Sinais
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a) Sinais contínuos e discretos no tempo
b) Sinais analógicos e digitais
c) Sinais periódicos e não periódicos
d) Sinais de energia e potência
e) Sinais determinístico e probabilístico
Os sinais classificam em:
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a.1) Sinais de tempo contínuo 
São sinais que podem assumir qualquer valor real.
 Exemplo: y(t)= e-t sen 2t é um sinal na qual a variável 
independente “t” pode assumir qualquer valor real.
10ms
Fonte: própria
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a.2) Sinais de tempo discretos
São sinais especificados para valores discretos, pertencentes 
a um conjunto.
Ex. 1: x[n] é um sinal na qual n  {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Ex .2: Gráfico de uma sinal de tempo discreto
Fonte: própria
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a) Sinal de Tempo Contínuo b) Sinal de Tempo Discreto
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Obs.:
 O sinal x[n] pode ser considerado como os
termos de uma sucessão. Assim, podemos
escrever
 Tanto para sinais contínuos como para
sinais discretos, o valor de “x” pode ser
pertencer ao conjunto dos números reais
ou conjunto dos números complexos.
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b) Sinais Analógicos e Digitais
Sinal analógico: são sinais que podem assumir qualquer valor de
amplitude.
Sinal Digital: é aquele cuja amplitude pode assumir apenas
alguns números finitos de valores.
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c) Sinais periódicos e não periódicos
• Um sinal é periódico se para alguma constante positiva T0
(para sinais de tempo contínuo) ou N0 (para sinais de
tempo discreto), temos:
• O menor valor de T0 e N0 positivos que satisfaz as
equações acima e chamado de período fundamental.
Sinal periódico com período T0.
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d) Sinais de Energia e Potência
• Um sinal de energia finita é um sinal de energia;
• Um sinal de potência não nula finita é um sinal de
potência.
e) Sinais Determinísticos e Aleatórios
• Um sinal cuja descrição física é completamente
conhecida, seja na forma matemática ou gráfica é
um sinal determinístico;
• Um sinal cujos valores não podem ser preditos
precisamente, mas são conhecidos apenas em termos
probabilísticos, são sinais aleatórios.
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Modelos úteis de sinais de tempo discreto
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 Por conveniência, frequentemente nos referimos a
sequência de amostra unitária como um impulso em
tempo discreto ou simplesmente como um impulso;
 O impulso em tempo discreto não sofre das complicações
matemáticas do impulso em tempo contínuo.
30
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Exemplo de uma sequência para ser representada como
uma soma em escala de impulsos com “delay”.
• Representação gráfica de 
um sinal
• Representação analítica do 
sinal.
32
Modelos úteis de sinais de tempo contínuo
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Exemplos:
Escrever o sinal abaixo em termos do degrau unitário.
a)
b)
c)
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Operações úteis com sinais
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Sinais com simetria par e simetria ímpar
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38
Propriedades:
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Exercício: Encontre a parte par e a ímpar do sinal discreto dado abaixo.
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Estudo dos Sinais periódicos
Sinal periódico em tempo
contínuo.
42
Sinal periódico em tempo discreto
com período igual a N = 3.
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i) Deslocamento temporal:
Operações úteis com sinais
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ii) Escalonamento temporal:
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iii) Reversão temporal:
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iv) Operações combinadas: 
47
48
Tamanho do Sinal
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O tamanho do sinal deve levar em conta sua amplitude
que varia ao longo do tempo e a duração deste sinal.
Ex. 1: Seja o sinal dado abaixo.
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O tamanho do sinal está relacionado com sua amplitude,
largura, área. Entretanto, para um sinal qualquer a sua
amplitude varia, por exemplo, com o tempo. Dessa forma,
temos que considerar não apenas a amplitude mas,
também, sua duração.
Se quisermos medir, por exemplo, o tamanho de uma caixa
devemos então, considerar suas dimensões e peso.
Podemos considerar para um sinal a área sob o eixo
horizontal uma possível medida. Assim, estamos
considerando não somente a sua amplitude, mas também a
sua duração.
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a.1) Energia do Sinal
Define- se a energia do sinal as equações abaixo
• Tempo contínuo:
• Tempo discreto:
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a.2) Potência do Sinal
Se a amplitude do sinal não convergir a zero quando o tempo
“t” tende ao infinito a energia do sinal tende ao infinito. Assim,
uma medida mais significativa do tamanho do sinal e a energia
média. Esta medida é chamada de potência do sinal.
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Exemplos: Determinar a potência dos sinais abaixo.
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Classificação dos Sistemas
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a) Sistemas sem memória
Um sistema é dito sem memória se a saída para cada valor
da variável independente num dado instante depende da
entrada somente naquele dado instante.
Ex.:
i) Lei de OHM. O Valor da tensão num determinada instante
depende da corrente naquele dado instante.
ii) O valor de y[n] em qualquer instante particular n0
depende somente do valor de x[n] naquele mesmo instante.
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b) Sistemas com memória
• Um sistema é dito com memória apresenta um mecanismo que
guarda a informação sobre os valores da entrada em instantes que
não o atual. Estes tipo de sistema diz-se que possuem hereditariedade.
• Memória em um sistema corresponde à presença de um mecanismo
que retém ou guarda aa informação sobre os valores de entrada em
instantes que não são o atual.
Ex.1: Tensão no Capacitor em tempo contínuo:
Ex.2: Somador em tempo discreto:
Ex.2: Somador em tempo discreto:
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c) Sistemas invertíveis
• Se o sistema é invertível então existe o seu inverso, de
modo que, colocado em cascata com o sistema
original produz uma saída igual a entrada.
sistema
x(t) y(t)
Ex.1: y(t) = 5x(t) então o seu inverso será w(t)= y(t)/5
sistema
x(t) y(t) Sistema
inverso
w(t)=x(t)
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d) Sistema causal
• Um sistema é causal se a saída, em qualquer instante, depender do valores
da entrada somente nos instantes presente e passados.
• Estes tipos de sistemas é chamada também de não antecipativos.
• Ex.: Um circuito RC é um sistema causal visto que os valores da tensão no
capacitor depende somente dos valores presentese passados da fonte de
tensão.
• Todos os sistemas sem memória são causais pois, a saída, responde somente
ao valor de entrada.
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e) Estabilidade
• Um sistema é estável quando pequenas entradas levam a respostas
que não são divergentes.
• Para verificarmos se um sistema é estável , basta usar a estratégia de
procurar uma entrada limitada que leva a uma saída limitada, ou seja,
um sistema BIBO (bounded input bounded output).
Ex.1: Seja o sistema S1 dado por:
Para x(t)=1, temos como resposta y(t)=t, que é ilimitada, não
importa a constante que escolhamos, o módulo de y(t) sempre
excederá esta constante para algum t.
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Ex.2: Seja o sistema S2 dado por:
O sistema S2 é estável. Seja K uma constante positiva arbitrária e
que x(t) seja um sinal arbitrário limitado por K. Estamos supondo
que
Usando a definição de S2; temos:
Podemos concluir que se a entrada é limitada por K podemos
garantir que a saída é limitada por eK. Assim, podemos dizer que S2
é estável.
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f) Invariância no tempo
• Um sistema é invariante no tempo se o comportamento e as
características do sistema são fixo ao longo do tempo.
• Um circuito RC é invariante no tempo se os valores da resistência
e da capacitância não variarem ao longo do tempo, ou seja,
permanecem constante.
• Se os valores de R e de C mudam ou flutuam ao longo do tempo,
esperamos que o resultados do experimento depende do
instante em que ele é executado.
• Propriedade de sistema invariante no tempo: Se y(t) é a saída
correspondente a entrada x(t), um sistema invariante no tempo
terá y(t-t0) como saída quando x(t-t0) for a entrada.
Ex.1: Verificar se o sistema é invariante no tempo.
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g) Linearidade
• Um sistema é linear em que se pode aplicar o princípio da
superposição.
• Se a entrada é uma combinação linear de diversos sinais, a saída é a
superposição das resposta de cada um desses sinais.
• Um sistema é linear se:
i) Se a entrada é x1(t) +x2(t) a saída é y1(t) + y2(t)
ii) Se a entrada é ax1(t) a saída é ay1(t).
Ex.1: Verificar se os sistemas abaixo é linear.
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Resposta de um sistema linear
• Por questões de simplicidade, discutiremos somente sistemas de uma única entrada e uma
única saída, ou seja, sistema SISO (single-input, single output).
• A saída de um sistema para t ≥ 0 é resultado de duas causas independentes, ou seja:
i) Condição inicial do sistema (estado do sistema) para t = 0;
ii) Entrada x(t) para t ≥ 0
• Se o sistema é linear, a saída deve ser a soma das duas componentes resultantes destas
duas causas.
• Portanto, a resposta de um sistema linear pode ser expressa com a soma das duas
componentes:
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Modelo de Sistemas: Descrição Entrada-Saída
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1.9 Modelo de Sistemas: Descrição Entrada-Saída
• O primeiro passo na análise de um sistema é a construção do modelo do sistema, o
qual é a expressão matemática ou regra que aproxima satisfatoriamente o
comportamento dinâmico do sistema.
• A descrição de um sistema em termos de medida nos terminais de entrada e saída
é chamado de descrição entrada-saída.
a) Sistemas Elétricos
• Para o circuito RLC dado abaixo, determine a equação de entrada-saída que
relaciona a tensão de entrada x(t) com a corrente de saída y(t).
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Aplicando a Lei de Kirchhoff da tensões e uma malha:
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• Consequentemente, obtemos a seguinte expressão para a expressão:
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• Observem que o termo:
i) não é um termo algébrico que multiplica y(t) mas, um operador que “opera” em
y(t);
ii) devemos executar as seguintes operações: calcular a derivada segunda de y(t)
e somá-la 3 vezes a derivada primeira de y(t) e 2 vezes;
iii) finalmente, o polinômio em “D” multiplicado por y(t) representa uma certa
operação diferencial em y(t).
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Apêndices
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Apêndice 1
Propriedade da função impulso unitário e degrau 
unitário de tempo discreto
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Apêndice 2
Propriedade da função impulso unitário e degrau unitário 
de tempo contínuo
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Apêndice 3
Teorema do Valor Médio
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78
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Apêndice 4
Exponenciais complexas de tempo contínuo
• Considere o sinal:
• O sinal x(t) é periódico com período T, ou seja,
• Se 0 ≠ 0, então o período fundamental é T0, ou seja o menor valor positivo
de T é dado por:
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• Sinais exponenciais periódicos complexos têm papel importante na maior parte da nossa
abordagem dos sinais e sistemas.
• Servem de elementos básicos úteis para outros sinais.
• Será extremamente útil considerarmos o conjunto de sinais complexos harmonicamente
relacionados. Um conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas é um
conjunto de exponenciais periódicas com frequências que são múltiplas de uma única frequência
fundamental positiva 0.
• A condição necessária para que uma exponencial complexa seja periódica com período T0, é que:
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• Sinais complexos harmonicamente relacionados
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i) Quanto maior o módulo de 0, maior a taxa de
oscilação do sinal.
ii) O sinal é periódico para qualquer valor de 0.
Propriedades do sinal exponencial 
complexo de tempo contínuo: 
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Apêndice 5
Exponenciais complexas de tempo discreto
Apesar de haver muitas semelhanças entre os sinais de
tempo contínuo com tempo discreto, existe uma
quantidade significativa de diferenças.
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• Considere o sinal exponencial complexo de tempo discreto:
• O sinal exponencial na frequência 0+2 é o mesmo na frequência
0.
• O sinal na frequência 0 é idêntico aos sinais de frequência 0 ± 2, 0
± 4 e assim por diante.
• Quando aumentamos 0 a partir de zero, obtemos sinais que oscilam
cada vez mais rápido até alcançar 0 = .
• Aumentando 0, diminuímos a taxa de oscilação até chegar em 0 =
2, o que gera a mesma sequência constante para que 0 = 0.
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• Para que sinal exponencial de tempo discreto seja periódico com
período N > 0, devemos ter:
• Para satisfazer a condição:
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Aumenta a oscilação 0 < 0 < 
N = 16, N = 8,
N = 4, N = 2,
N = 1,
Exemplos:
91
Diminui a oscilação  < 0 < 2
N = 4, N = 8, N = 16,
N = 32, N = 1,
Exemplos:
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Sinal aperiódico
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Comparação entre os sinais:
Sinais diferentes para valores 
diferentes de 0
Sinais idênticos para valores de 0
espaçados por múltiplos de 2
Periódico para qualquer valor de 0
Periódico somente se 0 = 2m/N, 
para valores inteiros de m e N
Frequência fundamental 0 Frequência fundamental 0 /m
Período fundamental 2/0 Período fundamental 2m/0