Demonstração por Indução

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10/04/2020 EPS
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Marque a alternativa que prova corretamente que todo número é diferente do seu sucessor.
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
CEL0688_A2_201802299173_V4 
Lupa Calc.
 
 
Vídeo PPT MP3
 
Aluno: FLAVIO BATISTA LOBATO BARROS Matr.: 201802299173
Disc.: FUNDAMENTOS ANÁLISE 2020.1 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). P(1) é verdadeira. De fato: 1 ¹ s(1), já que 1 não é sucessor de
número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio.
Hipótese de Indução. Supor P(n) verdadeira, ou seja, n ¹ s(n).
Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). 
Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). Etapa Indutiva. s(n) = s(s(n)), pois a função s : N ® N é injetiva. Mas
a afirmação s(n) ¹ s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de
P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de
seus sucessores.
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Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que:
Analise a convergência da .
Determine qual o limite superior e se a série é convergente ou divergente.
Marque a alterna�va que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: 
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
 
2.
O conjunto imagem da função é não enumerável.
O conjunto imagem da função é enumerável.
O menor valor que a função assume é igual a 0,001.
maior valor que a função assume é igual a 2.
f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo.
 
3.
A integral terá resultado 2, portanto a série é convergente.
A integral terá como resultado 2, portanto a série é divergente.
A integral terá resultado 1/2, portanto a série é convergente.
A integral terá resultado 3, portanto a série é convergente.
A integral terá como resultado infinito, portanto a série é divergente.
 
4.
Dado X con�do em N, suponha exis�rem dois elementos mínimos para X: p X e q X.
Como p X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer
elemento de X, e já que q X, temos que p > q. Da mesma forma, q X é elemento
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p X,
temos que q ≤ p. Portanto, p = q. 
 Dado X con�do em N, suponhamos por absurdo que exis�rem dois elementos mínimos
para X: p X e q X. Como p X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior
do que qualquer elemento de X, e já que q X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q 
X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e
já que p X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
 
Dado X con�do em N, suponha exis�rem dois elementos mínimos para X: p X e q X .
Como p X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer
elemento de X, e já que q X temos que p = q. Da mesma forma, q X é elemento
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p X,
temos então esse elemento é único.
 
Dado X con�do em N, suponha exis�rem dois elementos mínimos para X: p X e q X.
 Como p X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer
elemento de X, e já que q X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q X é elemento
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p X ,
temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
 
Como p X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q X é
∞
∑
n = 1
( )1
√n
∈ ∈
∈
∈ ∈
∈
∈ ∈ ∈
∈ ∈
∈
∈ ∈
∈
∈ ∈
∈
∈ ∈
∈
∈ ∈
∈
∈ ∈
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Marque a alternativa que prova corretamente por indução que 
a N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
Seja a série .
Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método u�lizado para
essa demonstração
elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já
que p X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
 
 
5.
Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indu�va: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Etapa Indu�va: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade
foi verificada.
Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indu�va: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade
foi verificada.
Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a
propriedade foi verificada.
 Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indu�va: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 =
Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a
propriedade foi verificada.
 
6.
A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série
alternada.
A série converge e podemos demonstrar utilizando a série
alternada.
A série converge e podemos demonstrar utilizando a série
geométrica.
A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série
geométrica.
A série converge e podemos demonstrar utilizando a série-p.
∈
∀
∈
∞
∑
n = 1
( )
k − 1
k2
k
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Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
O conjunto dos números racionais é:
 
7.
{ x∈ R : x > 3}
{ x ∈ N : x > 7}
{ x ∈ Z : x > -3 }
{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
{ x ∈ R : 3 < x < 5}
 
8.
enumerável e infinito.
não enumerável e finito.
enumerável e finito.
não enumerável e infinito.
subconjunto dos naturais
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
Exercício inciado em 10/04/2020 18:45:58. 
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