Lista de Exercícios - Funções de duas e três variáveis + Respostas

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios - Funções de duas e três variáveis 
 Domínio; Imagem; Curva de Nível; Limites e Continuidades 
1 
Prof. Carlos Eduardo Félix Correia 
 
1. Seja ℤ = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 determine: 
a) O domínio da função 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25} 
b) 𝑓(3, −4) 0 
c) 𝑓(−2, 1) 2√5 
d) 𝑓(𝑢, 3𝑣) √25 − 𝑢2 − 9𝑣2 
2. A função ℊ está definida por ℊ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 − 4𝑦𝑧2. Encontre: 
a) ℊ(1,3, −2) − 47 
b) ℊ(2𝑎, −4𝑏, 3𝑐) 8𝑎3 + 144𝑏𝑐 
c) ℊ(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 𝑥6 − 4𝑦2𝑧2 
d) ℊ(𝑦, 𝑧, −𝑥) 𝑦3 − 4𝑧𝑥2 
3. Dada a função 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 𝑒 ℊ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦, determine ℎ(𝑥, 𝑦) se ℎ =
𝑓 ∘ 𝑔 e o domínio de ℎ. 𝐷ℎ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥2 + 𝑦 > 0} 
4. Dada a função 𝑓(𝑥) = sin−1 𝑥 𝑒 ℊ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4, ache a 
função 𝑓 ∘ 𝑔 e seu domínio. 
 𝐷ℎ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅
3|4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 5} 
5. Encontre o domínio 𝔻 para as funções: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥 ∈ 𝑅 𝑒 𝑥 ∈ 𝑅} 
b) ℊ(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝐷𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4} 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 1 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥 ∈ 𝑅 𝑒 𝑥 ∈ 𝑅} 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑦 ≠ 𝑥} 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2𝑥+𝑦−7
√1−𝑥2−𝑦2
 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑥2 + 𝑦2 < 1} 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(6 − 2𝑥 − 3𝑦) 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|𝑦 < −
2
3
𝑥 + 2} 
 
Lista de Exercícios - Funções de duas e três variáveis 
 Domínio; Imagem; Curva de Nível; Limites e Continuidades 
2 
Prof. Carlos Eduardo Félix Correia 
 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅
3|4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 25} 
h) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
√−𝑥2−𝑦2−𝑧2+100
 
 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅
3|4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 100} 
i) 𝑤 = ln(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 16) 
 𝐷𝑤 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅
3|4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 > 16} 
j) 𝑧 = ln(−𝑥2 − 4𝑦2 + 4) 
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2|
𝑥2
2
+
𝑦2
1
< 1} 
6. Esboce as curvas de nível da função 𝑧 = 𝑥2𝑦 nos níveis 𝑘 = −1 e 𝑘 = 1. 
7. Esboce o gráfico da função 𝑧 = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 
8. Calcule os limites 
a) lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥2−2
3+𝑥𝑦
 −
2
3
 
b) lim
𝑥→2
𝑦→1
4+𝑥
2−𝑦
 6 
c) lim
𝑥→
𝜋
2
𝑦→0
 
𝑦+1
2−cos 𝑥
 
1
2
 
d) lim
𝑥→−1
𝑦→3
𝑦2+𝑥
(𝑥−1)(𝑦+2)
 −
4
5
 
e) lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥4−𝑦4
𝑥2+𝑦2
 0 
f) lim
𝑥→1
𝑦→2
𝑥𝑦−𝑦
𝑥2−𝑥+2𝑥𝑦−2𝑦
 
2
5
 
9. Mostre que o limite lim
𝑥→0
𝑦→0
2𝑥2−𝑦2
𝑥2+2𝑦2
 não existe.