distribuição de frequencia

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Distribuição de
frequência
Sumário
▪Construção de tabelas de frequência com e sem
intervalos;
▪Interpretação das tabelas;
▪Representação gráfica: histograma, polígono de 
frequências simples e polígono de frequência 
acumulada.
Distribuição de frequência
Consiste na construção de uma tabela a partir dos dados
brutos, onde se considera a frequência com que cada
observação ocorre.
A interpretação dos resultados obtidos em tabelas de
frequências pode ser auxiliada pela análise gráfica.
distribuição deAlém de resumir a informação,
frequência tem por finalidade:
▪ Representar a forma como se distribuem os valores
das variáveis (localização da maioria dos valores,
simetria, número de picos e formato das caudas).
probabilidade poderia ser adequado para
▪ Indicar qual modelo de distribuição de
esses
dados, pois fornece uma ideia empírica da distribuição
da população.
▪ O formato é muito sensível ao número de observações 
disponíveis.
As características dessas tabelas variam de acordo com o
tipo de variável em estudo:
▪Variáveis qualitativas ou quantitativa discreta - Se a
variável é do tipo categórica ou numérica discreta (com
poucos valores), devemos obter as frequências para cada
nível da variável.
▪Variáveis quantitativas contínuas - Se a variável é do
tipo numérica contínua, devemos agrupar os dados:
1º) construir intervalos de mesma amplitude;
2º) obter as frequências para cada intervalo.
Conceitos
1.Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a
coleta dos dados.
2.Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de
frequência crescente ou decrescente.
3. Classes de frequência: é o intervalo de variação de uma
variável. As classes são representadas por i.
4.Número de classes (i): não há uma fórmula exata para o
cálculo do número de classes, mas a mais usual é a Regra
de Sturges.
5. Limites de classe: são os valores extremos de cada
classe. Limite superior (lsi) e limite inferior (lii). Ex.: 1 |- 3
2
i
lsi + liiPm =
Tipos de frequências
1.Frequência simples absoluta (fi): é o número de vezes
que o elemento aparece na amostra ou o número de
elementos pertencentes a uma mesma classe.
2. Frequência relativa (fri): é a relação entre a frequência
absoluta e o número total de observações (n).
3. Frequência percentual (fp):
4. Frequências acumuladas: É o total acumulado (soma)
de todas as classes anteriores até a classe atual.
Pode ser: frequência acumulada absoluta (Fi), frequência
acumulada relativa (Fri) ou frequência acumulada percentual (Fp).
n
fifri =
f p = f ri . 1 0 0
Distribuição de Frequência sem 
intervalos de classes
Frequência simples absoluta
Na primeira coluna colocamos, em ordem crescente, apenas
os valores distintos que ocorreram e na segunda coluna
colocamos o número de vezes que este valor se repete no
conjunto de dados.
Aluno Num. Filhos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1
0
2
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
27 0
Exemplo:
1. Dados brutos tabelados
Construção da tabela de frequências
2. Ordená-los de forma crescente 
(rol) e verificar quais os valores
distintos que ocorreram.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2
Valores distintos: 0 1 2
i xi fi
1 0 22
2 1 4
3 2 1
Total 27
Distribuição de frequência absoluta para a
variável número de filhos
i - classes
Xi – Num. de filhos (nesse
caso, não há intervalos)
fi - frequência
A soma da frequência simples 
absoluta deverá ser sempre igual 
ao número de observações (n).
fi
Sabemos que 22 alunos, dentre os 27, não possuem
filhos.
Em termos relativos, devemos fazer a frequência dividido pelo
total de observações.
friFrequência relativa
i xi fi fri
1 0 22 22/27=0,8148
2 1 4 4/27=0,1481
3 2 1 1/27=0,0370
Total 27 1
Frequência percentual
i xi fi
1
2
0
1
fri fp
22 0,8148 81,48%
4 0,1481 14,81%
fri.100
fp
3 2 1 0,0370 3,70% 27 100%
Total 27 1 100%
Ou regra de três
Alunos %
22 x
Fi
Vamos agora supor que desejamos saber a quantidade de
alunos que possuem 1 ou menos filhos e 2 ou menos
filhos.
absolutaExiste uma frequência chamada frequência
acumulada (abaixo de), denotada por Fi.
Frequência acumulada absoluta
Ou
22+4+1=27
i xi fi Fi
1 0 22 22
2 1 4 22+4 = 26
3 2 1 26+1 = 27
Total 27 -
Os valores nos locais destacados são SEMPRE iguais!!!
i X i fi fp Fi Fp
1 0 11 27,5% 11 27,5%
2 1 8 20,0% 19 47,5%
3 2 12 30,0% 31 77,5%
4 3 5 12,5% 36 90,0%
5 4 4 10,0% 40 100%
Total 40 100 % -- --
Exemplo
Tabela 1. Distribuição de frequência do número de filhos por
funcionário de uma empresa
Frequências acumuladas
i X i
fi fp Fi Fp
1 0 11 27,5% 11 27,5%
2 1 8 20,0% 19 47,5%
3 2 12 30,0% 31 77,5%
4 3 5 12,5% 36 90,0%
5 4 4 10,0% 40 100,0%
Total 40 100,0% -- --
Interpretação
Tabela 1. Distribuição de frequência do número de filhos por funcionário de 
uma empresa
Vamos interpretar os valores da terceira classe!!!
Podemos afirmar que, dentre os 40 funcionários, 12 possuem
exatamente 2 filhos; 30% possuem exatamente 2 filhos; 31
funcionários possuem nenhum, 1 ou 2 filhos (2 filhos ou menos);
77,5 % possuem nenhum, 1 ou 2 filhos.
1. Um dado foi lançado 12 vezes e foram registrados os
seguintes resultados:
5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4
Construa a tabela de frequências sem intervalos de classes
para estes dados.
Responda:
a) Qual a frequência das faces abaixo de 4?
b) Qual a porcentagem que corresponde as faces maiores ou
iguais a 3?
Exercícios
i xi fi fri Fi Fri
1 1 2 0,17 2 0,17
2 2 1 0,08 3 0,25
3 3 3 0,25 6 0,50
4 4 3 0,25 9 0,75
5 5 2 0,17 11 0,92
6 6 1 0,08 12 1,00
TOTAL 12 1
Devido à grande variabilidade de resultados, não temos
mais os resultados da variável ordenados de forma
crescente. Temos intervalos de resultados da variável
ordenados de forma crescente.
É comumente utilizada para variáveis contínuas.
Distribuição de frequência
com intervalos de classe
Exemplo: Idade de alunos– ordem crescente
Aluno Idade Aluno Idade
1 17 15 22
2 18 16 23
3 18 17 23
4 18 18 24
5 18 19 24
6 18 20 27
7 18 21 27
8 19 22 29
9 20 23 30
10 21 24 32
11 21 25 35
12 21 26 41
13 22 27 49
14 22
Quantos resultados diferentes?
15 resultados diferentes!
Precisamos aprender a tornar os 27 dados da variável 
IDADE inteligíveis!!
Em um total de 27 dados, obtivemos 15 resultados
diferentes, que são: 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 27; 29;
30; 32; 35; 41 e 49.
Embora esta redução de 27 para 15 seja significativa, o
número de classes (15) ainda é grande. É quase um
consenso entre os autores que, quando o número de
resultados distintos é superior a 8, deve-se agrupar os
dados por intervalos de classes.
É preciso saber qual é a maior e a menor idade dos 
alunos.
AT = valor máximo – valor mínimo
AT = 49 – 17 = 32 anos.
Distribuição de Frequência com Intervalos de Classe
Passo 1 – ordenar os valores e verificar 
os diferentes resultados
Passo 2 – calcular a amplitude total (AT)
Passo 3 – calcular o número de intervalos de classe (i)
Vamos determinar quantos intervalos de classe serão utilizados.
Para conhecer o número de classes (i), utilizamos a 
Regra de Sturges :
i = 1 + 3,3 . log n
onde:
i = número de classes;
n = número de observações;
log = logaritmo.
i = é sempre arredondado para o INTEIRO mais próximo.
i = 1 + 3,3 . log 27 
I = 5,72 => i = 6
Usaremos 6 
intervalos
Procura-se geralmente de 5 a 15
classes. Usar menos de 5 classes há
muita perda de informação; mais de
que 15, a tabela passa a ficar muito
extensa e dificulta a interpretação.
i
Todos os intervalos devem ter o mesmo h, ou seja, o mesmo
tamanho, de modo que a amplitude total (AT = 32 para a
idade) deve ser distribuída igualmente nos por todos os seis
intervalos (i = 6 para a idade).
h =
AT
=
Max −Min
deve-se usar o valor já
arredondado de i 6
i
h =
32 
= 5,33
h=6
Arredondar o valor paramais, sempre!
Poderia ser h=5?
Passo 4 – calcular a amplitude do intervalo de classe (h)
Lembre-se que cada intervalo é composto de dois limites: o
inferior (à esquerda), e o superior (à direita).
Em cada classe ls = li + h. Assim, cada classe tem seu 
próprio limite inferior e superior. Logo,
Lembre-se: a notação |- inclui o valor à esquerda e exclui o
valor à direita. Cada valor da variável só pertence a um único
intervalo.
Passo 5 – organizar os intervalos das classe
i Idades (anos) fi
1 17 |- 22
2 22 |- 27
3 27 |- 32
4 32 |- 37
5 37 |- 42
6 42 |- 47
Total 27
Se i=6 e h= 5
Valor máximo da idade (49 anos) não está
incluso no último intervalo. E agora?
PODE? ls = li+h
17+5 =22
22+5=27
27+5=32
...
i Idades (anos) fi
1 17 |- 23
2 23 |- 29
3 29 |- 35
4 35 |- 41
5 41 |- 47
6 47 |- 53
Total 27
Se i=6 e h= 6
Valor máximo da idade (49 anos) está 
incluso no último intervalo, então OK!
17+6 =23
23+6=29
...
i Idades (anos) fi
1 17 |- 23 15
2 23 |- 29
3 29 |- 35
4 35 |- 41
5 41 |- 47
6 47 |- 53
Total 27
Intervalos de classe e distribuição de frequências da Idade
dos alunos
Contar o número de 
alunos com idade maior 
ou IGUAL a 17 e MENOR
do que 23
Vai até 22,9999...
Passo 6 – contar a frequência em cada classe
i Idades (anos) fi
1 17 |- 23 15
2 23 |- 29 6
3 29 |- 35 3
4 35 |- 41 1
5 41 |- 47 1
6 47 |- 53 1
Total 27
Intervalos de classe e distribuição de frequências da Idade dos
alunos
Passo 7 – calcular as demais frequências
i Idades
(anos)
fi fp Fi Fp
1 17 |- 23 15
2 23 |- 29 6
3 29 |- 35 3
4 35 |- 41 1
5 41 |- 47 1
6 47 |- 53 1
Total 27
O Pm divide o intervalo em duas partes exatamente iguais, 
ou seja,
2
i i
i
ls + li
Pm =
Assim, para i = 3, temos
2
3
Pm =
35+ 29
= 32
O ponto médio é o valor que representa a classe e jamais é 
arredondado
Passo 8 – calcular o ponto médio (Pm)
i Idades (anos) fi Pm
1 17 |- 23 15
2 23 |- 29 6
3 29 |- 35 3
4 35 |- 41 1
5 41 |- 47 1
6 47 |- 53 1
Total 27
Histogramas, polígono de 
frequência e polígono de 
frequência acumulada
Representação gráfica
• Para representar graficamente dados agrupados em
uma distribuição de frequências, podemos utilizar um
histograma, um polígono de frequências ou um
polígono de frequências acumuladas.
• Um histograma pode representar a distribuição de
frequência simples absoluta ou a relativa para intervalos
de classe.
Colocamos no eixo x 
os limites de cada 
intervalo de classe e 
em y a frequência 
das classes (também 
podemos usar a fp).
Para construção da primeira
classe, devemos deixar antes no
eixo dos x um espaço ( no mínimo)
igual ou superior a amplitude de
classe.
Figura 1 – Histograma da Idade dos alunos.
O polígono de frequência é obtido unindo-se os pontos
médios da parte superior de cada retângulo do histograma
com segmentos de reta.
Figura 2. Polígono de frequência absoluta para idade dos alunos.
O que podemos concluir observando o histograma?
1. Um grupo de estudantes do ensino médio foi submetido a um 
teste de matemática resultando em:
a) Construa a tabela com os outros tipos de frequências e o ponto 
médio.
b) Construa o histograma.
c) Se a nota mínima para aprovação é 6, qual será a
porcentagem de aprovação?
d) Alunos com nota inferior a 4 estão em exame. Quantos alunos
estão nesta condição?
Nota Frequência
0 |– 2 14
2 |– 4 28
4 |– 6 27
6 |– 8 11
8 |–10 4
Exercícios
2. Suponha que os dados abaixo referem-se a temperatura
(ºC) ao amanhecer nos últimos 20 dias na cidade de
Cachoeira do Sul.
10,1 7,3 8,5 5,0 4,2 3,1 2,2 9,0 9,4 6,1
3,3 10,7 1,5 8,2 10,0 4,7 3,5 6,5 8,9 6,1
a)Construa uma tabela de frequências agrupando os dados 
em intervalos de amplitude 2 (h=2), iniciando em 1.
b) Construa o histograma.
c) Qual intervalo de temperatura foi mais frequente?
Distribuição de Frequência: 
Histogramas com classes de amplitudes desiguais
Em um histograma, as classes devem SEMPRE ter a
mesma largura?
Não necessariamente!
Existem casos em que é mais adequado agrupar os
dados em classes com larguras/amplitudes
desiguais.
Exemplo: classificação de pessoas por faixas etárias
(infantil, juvenil, adulto, sênior, etc). Essas faixas não
têm a mesma amplitude.
Distribuição de Frequência: 
Histogramas com classes de amplitudes desiguais
A representação gráfica dos dados requer a
transformação dos valores de frequência absoluta em
densidade de frequência.
Isso é fundamental, pois devemos manter a área dos
retângulos proporcionais à frequência da classe.
Densidade de frequência = frequência da classe
amplitude da classe (h)
Valores relativosValores absolutos
(x100) tenho a %
Dados de 250 empresas classificadas segundo o número de 
empregados (Bussab e Morettin, 2013).
A altura das barras (eixo vertical) representam a densidade
de frequência.
Figura 7. Exemplo de histograma com classes desiguais (valores relativos).
Interpretando histogramas quanto
ao seu formato
Um histograma nos permite visualizar a forma da
distribuição desses dados, a localização do valor
central e a dispersão dos dados em torno do
valor central.
•O valor médio está localizado no centro do histograma;
•A frequência é mais alta no meio e diminui gradualmente em
direção aos extremos;
•Ocorre quando não existem restrições aos valores que a 
variável de controle pode assumir.
Simétrico ou em forma de sino
•O valor médio está localizado fora do centro do histograma;
•A frequência diminui gradativamente em um dos lados e de 
modo um tanto abrupto do outro lado.
Assimétrico
Assimetria negativa
Assimetria positiva
•O valor médio está localizado fora do centro do
histograma;
•A frequência diminui abruptamente de um dos lados e 
suavemente em direção ao outro.
Despinhadeiro ou precipício
Ilhas isoladas ou pico isolado
•Parte do gráfico é relativamente simétrica com o acréscimo
de algumas classes mais afastadas de menores frequências;
•Ocorre quando dados de outra distribuição, diferente da 
distribuição da maior parte das medidas, são incluídos.
Bimodal ou com dois picos
•A frequência é mais baixa no centro do histograma e existe 
um “pico” em cada lado;
•Ocorre quando dados de duas distribuições, com médias
muito diferentes, são misturados.
Achatado ou Platô
•Todas as classes possuem mais ou menos a mesma
frequência, exceto aquelas das extremidades;
•Ocorre quando dados de duas distribuições, com médias 
não muito diferentes, são misturados.
as alturas dosDigamos que temos histogramas para
estudantes de duas turmas diferentes.
Poderíamos sobrepor os desenhos para fazer uma análise 
comparativa das turmas? Que cuidados devemos tomar?
Para fazermos análises comparativas de conjuntos de
dados diferentes, os intervalos de classes devem ser os
mesmos!
Algumas considerações...
Em seguida, vamos começar a estudar as características
de uma distribuição de frequências:
a) Posição central, que informa onde se localiza o centro
da distribuição;
b) A dispersão, que se refere à variabilidade dos dados;
c) A assimetria, que representa a concentração dos 
valores em um dos extremos da distribuição
de achatamento dad) A curtose, que é o grau 
distribuição.
Barbetta, Reis, Bornia (2010)
Exercício Avaliado
Montar a tabela com os dados com intervalos de classe e as frequências (absoluta, 
relativa e percentual). Faça o gráfico para esses dados (histograma) e uma 
reflexão/conclusão.
Entregar manuscrito, com identificação do aluno, na próxima aula (18/09).
Notas de 40 alunos
5,5 10,0 9,9 7,8 8,0 8,9 2,0 3,0 8,9 3,8
4,5 7,3 3,8 8,8 7,5 3,4 1,0 4,0 7,5 5,8
8,0 6,9 5,0 3,0 6,5 9,9 1,1 7,4 5,5 7,5
6,4 10,0 6,0 9,9 10,0 8,9 8,0 10,0 8,6 9,5
Notas
TOTAL
𝑓𝑖 𝑓𝑟𝑖 𝑓𝑝𝑖
Referências
• Morettin, P.A.; Bussab, W.O. Estatística Básica. 8 ed. São Paulo: 
Saraiva, 2013.
• Barbetta, P.A.; Reis, M.M.; Bornia, A.C. Estatística Para Cursosde
Engenharia e Informática. 3 ed. São Paulo: Atlas,2010.• Crespo, A. A. Estatística fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva,2009.
• Portnoi, M. Distribuição de frequência. 2005. Disponível em: 
https://www.eecis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_estatistica/2005_ 
2/lecture_slides/Aula04-Est.Descritiva-DistribuicaoFrequencia.pdf.
http://www.eecis.udel.edu/%7Eportnoi/classroom/prob_estatistica/2005_
http://www.eecis.udel.edu/%7Eportnoi/classroom/prob_estatistica/2005_