At1_ciclo2_Chrystian_Vilela_Valleta

Prévia do material em texto

CLARETIANO – CENTRO UNIVERSITÁRIO 
 GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA – SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO E 
LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
CHRYSTIAN VILELA VALLETA – RA: 8067883 
 
 
 
 
SÉRIES DE FOURIER 
 
 
 
 
CAMPINAS/2018
4 
 
 CHRYSTIAN VILELA VALLETA – RA: 8067883 
 
 
 
 CONCEITOS E APLICAÇÕES DE SÉRIE DE FOURIER 
 
 
 
 
 
Atividade realizada para conceituar e citar 
exemplos das aplicações da Série de 
Fourier, referente à disciplina de Sistemas 
de Comunicação e Laboratório de 
Sistemas de Comunicação, sob 
orientação do Professor / Tutor Fernando 
Marco Perez Campos, da Instituição de 
Ensino Claretiano – Centro Universitário 
 
 
 
 
 
CAMPINAS/2018 
 
 
5 
 
 
 SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. ATIVIDADE.................................................................................6 
2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1.ATIVIDADE 
 
Conceitue e cite exemplos das aplicações da Séries de Fourier. Estabeleça uma 
relação entre as Séries de Fourier e os tipos de sinais utilizados em sistemas de 
comunicação. 
 
 
Fourier, ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos, foi levado a 
desenvolver suas séries. Ao proclamar que essa propagação deveria se dar por 
ondas de calor e levando em conta que, a forma mais simples de uma onda é uma 
função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, pode ser decomposta como 
uma soma de senos e cossenos com amplitudes, fases e períodos escolhidos 
convenientemente. Representar uma função periódica através de uma soma de 
senoides. 
Basicamente, às Séries de Fourier são, uma forma de representar funções como 
séries infinitas de senos e cossenos. Sua expressão geral é: 
 
𝒂𝟎
𝟐
+ ∑ (𝒂𝒏 . 𝐜𝐨𝐬
𝒏𝝅𝒙
𝑳
+ 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑳
)
∞
𝒏=𝟏
 
 
Explicando a fórmula: 
Os termos a0, an e bn, são coeficientes, números, que variam dependendo da função 
que queremos representar. 
O n presente tanto no seno como no cosseno vem do índice da série, ou seja, 
fazendo n= 1,2,3 ... encontramos os termos do somatório. Como queremos escrever 
um f(x) em forma de série, a variável x está dentro do somatório. 
O L vem do período da função, no qual se deseja representar. 
 
 Função periódica é aquela função que se repete “a cada período”. 
 
7 
 
 
Na Série de Fourier: 
𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 
 
Substituímos x por (x +2L): 
 
𝒄𝒐𝒔 (
𝒏𝝅(𝒙 + 𝟐𝑳
𝑳
) = 𝒄𝒐𝒔 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
+ 𝟐𝒏𝝅) = 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 
 
O mesmo acontece para o seno: 
𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 
 
𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅(𝒙 + 𝟐𝑳
𝑳
) = 𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
+ 𝟐𝒏𝝅) = 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 
 
Portanto, 𝑐𝑜𝑠
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 e 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑳
 são funções de período 2L. Como à Série de Fourier 
envolve a soma desses termos (em combinação linear), podemos dizer que a função 
representada, também é 2L periódica. 
Então, aquele L da fórmula tem à ver com o período de f(x). 
Mas aquela formula da Série de Fourier, não terá utilidade, se não tivermos os 
coeficientes an e bn, que são dados pelas seguintes fórmulas: 
 
𝒂𝒏 =
𝟏
𝑳
∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑳
𝒅𝒙 , 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 …
𝑳
−𝑳
 
 
𝒃𝒏 =
𝟏
𝑳
∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑳
𝒅𝒙 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 …
𝑳
−𝑳
 
 
8 
 
 
n = 0, temos: 
𝒂𝟎 =
𝟏
𝑳
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝑳
−𝑳
 
 
Para f(x) 2L periódica, temos: 
𝒇(𝒙) =
𝒂𝟎
𝟐
+ ∑ (𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑳
+ 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑳
)
∞
𝒏=𝟏
 
 
 
Alguns exemplos da aplicação da Série de Fourier: 
 
O desenvolvimento da Série de Fourier de uma função periódica simples, à 
chamada “onda quadrada” ou “função degrau”, cujo gráfico é mostrado na figura 
abaixo. Essa função pode ilustrar uma sucessão de “bits” com valores 1 e 0. 
 
 
No primeiro período: 
f(x) = 1 (de 0 a π) 
f(x) = 0 (de π a 2π) 
 
O mesmo se repete para os demais períodos. Essa é a vantagem de uma função 
periódica, basta ver o que acontece em um período, que saberemos o que 
acontecerá nos demais. 
 
9 
 
 O primeiro coeficiente, a0, é simplesmente a média de f(x) no período. É notável na 
figura que, esse valor médio é ½. 
 
a0 = ½. 
 
 
Para obter o coeficiente a1, primeiro multiplicamos f(x) por sen(x). Vamos obter a 
curva vista ao lado, que é na mais é que, meia onda de uma senóide. Como falado 
anteriormente, à área sob essa meia onda é S=2. Logo, à altura do retângulo, que é 
o valor médio do produto f(x) sen(x), deve ser 1/ . (Pois, (1/ ) x 2 = 2.) Portanto: 
a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/ . 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
O coeficiente a2, é duas vezes a média de f(x) sen(2x), no período. É visto na figura 
que, esse valor médio é zero. Logo: 
a2 = 0. 
 
 
O coeficiente a3 é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Podemos notar que, na 
figura, as partes sombreadas desse produto se anulam, e resta apenas uma onda, 
cuja à área é 2/3. Logo, o valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3 . Sendo 
assim, o coeficiente será: 
a3 = 2/3 . 
 
 
Em andamento, com esse processo para os demais coeficientes, fica claro que o 
resultado total é o seguinte: 
a0 = 1/2; 
an = 0 - para todo n PAR; 
an = 2/n - para todo n ÍMPAR. 
cos(x), são nulos 
 
 
11 
 
Portanto, à série de Fourier para a onda quadrada é: 
 
f(x)=1/2+(2/ ) sen(x)+(2/(3 )) sen(3x)+(2/(5 )) sen(5x)+(2/(7 )) sen(7x) + ... 
 
A figura à seguir, mostra um gráfico da onda quadrada juntamente com o gráfico da 
expansão com os primeiros 5 termos da série de Fourier, isto é, com os termos 
explicitados na equação anterior. 
 
 
A próxima figura mostra a onda quadrada e sua expansão com os 15 primeiros 
termos da série de Fourier. Nota-se que, quanto maior o número de termos na 
expansão, melhor será à aproximação com a forma da função original. 
 
 
 
Estabelecendo uma relação entre as Séries de Fourier e os tipos de sinais utilizados 
em sistemas de comunicação, podemos observar que, em diversas aplicações, é 
interessante mudar as amplitudes relativas dos componentes, em frequências de um 
sinal, ou talvez se faz necessário, eliminar por completo alguns componentes em 
12 
 
frequência, este processo, recebe o nome de filtragem. Os sistemas lineares 
invariantes no tempo que mudam a forma de espectro são chamados de filtros 
conformadores de frequências. Os sistemas que são projetados para deixar passar 
algumas frequências essencialmente não distorcidas e que atenuam significati-
vamente ou eliminam outras, são chamados filtro seletivas em frequências. 
Os coeficientes da série de Fourier da saída de um sistema LIT são aqueles da 
entrada multiplicados pela resposta em frequência do sistema. 
Em consequência, a filtragem pode ser realizada conveniente com o uso de 
sistemas LIT com uma resposta em frequência escolhida e métodos no domínio da 
frequência nos proporcionam as ferramentas ideias para examinar essa classe tão 
importante de aplicações. 
Exemplo de aplicabilidade entre um sistema de analógico e um sistema digital. 
Mensagem analógica: É caracterizada por dados cuja valores variam sobre um faixa 
contínua, como por exemplo, à temperatura, à pressão do ar. 
Mensagens digitais: São constituídas de um alfabeto finito de símbolos, como por 
exemplo, o código Morse, que é constituído dos símbolos, tais como, ponto (.) e 
espaço (−), a língua portuguesa constituída de um número finito de palavras, etc. Se 
uma mensagem é binária, então somente dois símbolos serão utilizados. Se a 
mensagem é construída por X símbolos, então a mesma é “X-ária” (ternária, 
quaternária, etc). 
Transmissão analógica: O sinal cuja amplitude varia continuamenteé transmitido 
através de um canal de comunicação. A reprodução do sinal analógico no receptor é 
bastante difícil, posto que pequenas distorções geradas pelo canal e/ou ruído 
corrompem a mensagem transmitida. 
Transmissão digital: 0 e 1s são transmitidos na forma de pulsos de tensão. Assim 
sendo, se ocorrer alguma distorção devido ao canal e/ou ruído, é possível detectar 
os pulsos recebidos pelo receptor, até um certo limite. Pode-se afirmar que, a 
transmissão digital apresenta imunidade superior ao ruído em relação à transmissão 
analógica. 
Analógico versus Digital uma fonte de informação analógica pode ser convertida 
para o formato digital, Amostragem (Teorema de Nyquist), o sinal deve ser 
amostrado a uma frequência mínima, igual ao dobro da máxima frequência contida 
13 
 
no sinal. Quantização está associada ao nível de precisão exigida pela aplicação, 
que possibilite representar o sinal de forma adequada. Quanto maior for o número 
de níveis, maior será a quantidade de bits, para representar uma amostra do sinal. 
Representação digital - Código de linha Símbolos discretos são finalmente 
mapeados para formas de ondas físicas, sendo o exemplo, à onda quadrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S; NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas. 
 
Sites: 
www4.feb.unesp.br - Acesso em 12 de Setembro de 2018 
www.searadaciencia.ufc.br - Acesso em 12 de Setembro de 2018 
www.univasf.edu.br - Acesso em 12 de Setembro de 2018 
www.respondeai.com.br - Acesso em 12 de Setembro de 2018 
 
 
 
 
http://www.univasf.edu.br/
http://www.respondeai.com.br/