POLÍGRAFO ESTATÍSTICA EC

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POLÍGRAFO 
DE 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUCRS – ESCOLA DE CIÊNCIAS 
Disciplina de ESTATÍSTICA 
Profa. Rossana Fraga Benites 
 
 
 
2 
 
 
1. Estatística Descritiva: 
 
1.1. Introdução e Conceitos: 
 População: 
Conjunto de todos os elementos que possuem, pelo menos, uma característica em 
comum, cujo comportamento interessa analisar. 
Amostra: 
Subconjunto da população, selecionado de acordo com determinados critérios. 
Estatística Descritiva: 
O objetivo principal é descrever os fatos. Compreende a organização, resumo, 
apresentação, análise e cálculo de medidas ou coeficientes que possam descrever um 
conjunto observado. 
Estatística Inferencial: 
Consiste em obter e generalizar conclusões para a população, a partir de valores 
amostrais. 
 Classificação das Variáveis: 
Nominais Ordinais
Qualitativas
Discretas Contínuas
Quantitativas
Variáveis
 
 
 
 1.2. Distribuição de Frequências: 
É uma tabela na qual se encontram os possíveis valores de uma variável aleatória, 
agrupados em classes ou não, com as respectivas frequências observadas. 
 
Distribuição de frequências por ponto: 
 Tabela... : Título 
Nº de filhos Nº de casais 
0 14 
1 18 
2 9 
3 6 
4 3 
Total 50 
 Fonte: ... 
 
 
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3 
 
 
 
Distribuição de frequências por intervalo: 
 Tabela... : Título 
Tempo (min) Nº de alunos 
 0 | 20 4 
20 | 40 9 
40 | 60 15 
60 | 80 17 
 80 | 100 5 
Total 50 
 Fonte: ... 
Elementos característicos de uma distribuição de frequências: 
- Frequência absoluta: 
fi: nº de observações de cada valor ou intervalo de valores. 
- Frequência relativa: 
n
f
=fr ii
 
- Frequência acumulada: 
∑ii f=F
 
∑ ii fr=Fr
 
- Ponto médio: 
2
ii
i
lsli
x


 
- Amplitude de um intervalo: 
ii lsh 
-
ili
 
- Tipos de intervalos: 
Aberto: 0  10 
Fechado: 0 || 10 
Aberto à direita e fechado à esquerda: 0 | 10 
Aberto à esquerda e fechado à direita: 0 | 10 
 
 
1.3. Representação Gráfica: 
 
Histograma de frequências: 
Consumo de água. em m³, de 75 contas da 
CORSAN
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
 0 ----| 10 10 ----| 20 20 ----| 30 30 ----| 40 40 ----| 50 50 ----| 60
 
 
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4 
 
 
 
 
 
Gráfico de Linhas: 
 
Evolução do preço do dólar comercial
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
12/98 02/99 04/99 06/99 08/99
Data
Va
lo
r d
o 
dó
la
r
 
 
 
 Gráfico de Setores (Pizza): 
 
 
 
 Gráfico de Colunas: 
 
Conceito dos alunos de uma turma de Estatística 
27%
35%
16%
22%
A
B
C
D
 
 
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5 
 
Número de cópias de jornal que circulam diariamente
72.047
58.247
30.000
25.467 23.848
18.343
8.941
6.551 6.281 5.697
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
Ja
pã
o
EU
A
R
ús
si
a
Al
em
an
ha
Ín
di
a
In
gl
at
er
ra
Fr
an
ça
Br
as
il
Itá
lia
Po
lô
ni
a
País
M
ilh
ar
es
 d
e 
ex
em
pl
ar
es
 
 
 
 
 
1.4. Medidas de Tendência Central 
 
1.4.1 Média aritmética simples: 
 
A média aritmética simples, para uma população, é dada por 
 
Dados não agrupados Dados agrupados 
N
x
N
1i
i

 
N
x.f
k
1i
ii

 
 
onde xi: valores observados ou ponto médio 
 fi: frequência absoluta 
 N: tamanho da população 
 k: nº de valores ou intervalos 
 
 
Para uma amostra, a média aritmética simples é calculada por 
 
Dados não agrupados Dados agrupados 
n
x
X
n
1i
i

 
n
x.f
X
k
1i
ii

 
 
 
 
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onde xi: valores observados ou ponto médio 
 fi: frequência absoluta 
 n: tamanho da amostra 
 k : nº de valores ou intervalos 
 
Propriedades: 
1. A média de um conjunto de números sempre pode ser calculada. 
2. Para um dado conjunto de números, a média é única. 
3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor de um conjunto, 
a média ficará, respectivamente, somada ou subtraída do valor da 
constante. Analogamente, multiplicando-se ou dividindo-se por uma 
constante cada valor de um conjunto, a média ficará multiplicada ou 
dividida, respectivamente, pela constante. 
4. A soma dos desvios dos números de um conjunto em relação à média é 
zero, isto é, 
  0)μx( i
. 
5. A média é sensível a todos os valores de um conjunto. Assim, se um valor 
se modifica, a média também se modifica. 
 
 
1.4.2 Mediana: 
 
É a medida que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados, 
isto é, 
 
2
1NxMed 
 
OBS: Se N é par, a mediana é a média aritmética simples dos dois valores 
centrais. 
 
1.4.3 Moda: 
 
A moda é a observação mais frequente. Caso não haja observação mais 
freqüente, a distribuição é amodal. Podemos ter um conjunto unimodal (com 
uma moda), bimodal (com duas modas) ou multimodal (com três ou mais 
modas). 
 
 
1.5. Medidas de Variabilidade: 
 
1.5.1. Amplitude Total: 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
 
1.5.2. Variância: 
 
 
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A variância, para uma população, é dada por 
Dados não agrupados Dados agrupados 
 
N
μx
σ
N
1i
2
i
2




 
 
N
xf
k
1i
2
ii
2




 
onde xi: valores observados ou ponto médio 
 fi: frequência absoluta 
 N: tamanho da população 
 : média populacional 
 k: nº de valores ou intervalos 
 
 
 
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8 
 
Se o conjunto observado for uma amostra, então a variância é dada por 
Dados não agrupados Dados agrupados 
 
1n
Xx
S
n
1i
2
i
2




 
 
1n
Xxf
S
k
1i
2
ii
2




 
onde xi: valores observados ou ponto médio 
 fi: frequência absoluta 
 n: tamanho da amostra 
 
X
: média amostral 
 k : nº de valores ou intervalos 
 
Fórmulas abreviadas: 
 
 Dados não agrupados Dados agrupados 
População 
2
N
1i
2
i
2 μ
N
x
σ 

 2
k
1i
2
ii
2 μ
N
xf
σ 

 
Amostra 
1n
Xnx
S
n
1i
22
i
2




 
1n
Xnxf
S
k
1i
22
ii
2




 
 
 
1.5.3. Desvio padrão: 
População Amostra 
2σσ 
 
2SS 
 
 
 Propriedades: 
 
1. Para as distribuições normais, temos que: 
(a) 68,27% dos casos estão entre  -  e  + . 
(b) 95,45% dos casos estão entre  - 2 e  + 2. 
(c) 99,73% dos casos estão entre  - 3 e  + 3. 
 
2. Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor de um conjunto 
de dados, o desvio padrão não se altera. Multiplicando-se ou dividindo-se 
por uma constante cada valor de um conjunto, o desvio padrão tambémfica multiplicado ou dividido, respectivamente, pela constante. 
 
 
 
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1.5.4. Dispersão relativa e Coeficiente de Variação: 
 
A variação determinada por qualquer medida de dispersão é 
denominada dispersão absoluta. Entretanto, uma variação igual em duas 
distribuições com médias diferentes, pode ser inteiramente diferente. Para 
compararmos estes dois conjuntos, utilizamos a dispersão relativa, definida 
por: 
 
Média
absoluta Dispersão
relativa Dispersão 
 
 Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a média é a aritmética, a 
dispersão relativa é denominada coeficiente de variação, e é dado por 
μ
σ
γ 
 e pode ser expresso em percentagem. 
Para a amostra, o coeficiente é dado por 
X
S
g 
 
 
2. Probabilidade: 
 
 Experimentos Aleatórios: 
 São experimentos cujos resultados variam de uma observação para a outra, mesmo 
quando mantidas as condições de experimentação. 
 Características: 
1. Cada experimento aleatório poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas 
condições. 
2. Não se conhece um particular valor do experimento antes que este ocorra, 
porém, conhecemos todos os possíveis resultados. 
3. Quando repetimos um experimento um grande número de vezes, surge uma 
regularidade. 
 
 Espaço Amostral (S ou ): 
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O espaço 
amostral com um número finito ou infinito enumerável de valores é dito espaço discreto, e 
o espaço amostral com um número infinito não-enumerável de pontos é dito espaço 
contínuo. 
 
 Eventos Aleatórios: 
São os resultados possíveis de cada experimento aleatório. Um evento é, portanto, 
um subconjunto do espaço amostral. Os eventos são denotados por letra maiúscula. 
 
Definição de Probabilidade: 
Seja A um evento de S. Então, a probabilidade de A ocorrer é dada por 
 
 
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10 
 
n
h
=)A(P
 
onde h: número de resultados favoráveis ao evento A 
 n: número total de resultados. 
 
Propriedades da Probabilidade: 
Seja A um evento de S 
1. 0P(A)1. 
2. Se
A
 é o complemento de A, então, 
1=)A(P
-P(A) 
3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então, 
)B(P+)A(P=)BA(P 
-P(A

B) 
4. Se A1, A2, ... , An são eventos mutuamente exclusivos, então, 
)A(P+...+)A(P+)A(P=)A...AA(P n21n21 
 
 
Distribuição Normal: 
 
Seja X uma v.a.c. tal que E(X)= e Var(X)=
2
, onde 
 x
 e σ >0. 
Então, X tem distribuição Normal com média  e variância 
2
, se sua função 
densidade de probabilidade é dada por: 
 22
2)x(
e
2
1
)x(f 



 
Notação: X~N( ; σ) 
 
 Distribuição Normal Padrão: 
 Seja X uma v.a.c. tal que X~N( ; σ). Então, a v.a.c. 
σ
μX
=Z
-
 tem 
distribuição Normal com média 0 (zero) e desvio padrão 1 (um), isto é, Z~N(0;1). 
A função densidade de Z é dada por: 
 
2
z
e
π2
1
=)z(f
2 -
 
 
 
 
 
 
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 0 
 
3. Amostragem: 
População
N
(Parâmetros)
Amostra
n
(Estatísticas)
Inferência
Representatividade
 
 
 
Amostragem: Processo de obtenção de amostras, geralmente com o objetivo de 
fazer inferência. A amostragem pode ser feita com ou sem reposição. Para 
amostragem com reposição, o número de amostras possíveis de tamanho n é dado por 
nN
e, para amostragem sem reposição, por 
n
NC
. 
 
Algumas razões para o uso de amostras: 
1. Minimização de custos, quando precisão absoluta não é necessária. 
2. Economia de tempo, quando há necessidade de resultados mais rápidos do que 
seria possível com um censo. 
3. Permite concentrar a atenção em casos individuais. 
4. Na indústria, alguns testes são destrutivos e só podem ser feitos com uma 
amostra de produtos. 
5. Em populações infinitas (exemplo: experimento agrícola para testar 
fertilizantes). 
6. Onde os erros não relacionados à amostra são grandes, uma amostra pode dar 
melhores resultados que um censo. Os erros não amostrais são mais fáceis de 
controlar em operações de pequena escala. 
 
 
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Principais técnicas de amostragem: 
 
Amostragem Aleatória Simples: 
Todos os elementos da população têm mesma probabilidade de pertencer à amostra, 
isto é, 1/N. A amostragem pode ser feita com ou sem reposição. 
Principal limitação: Requer uma listagem dos itens da população. 
 
 
 
Amostragem Sistemática: 
Escolhe-se cada k-ésimo item de uma lista, onde k=N/n. Requer lista aleatória de 
itens da população. Deve-se observar se os itens da lista apresentam-se grupados ou 
com caráter periódico. 
Principal limitação: Requer uma listagem aleatória dos itens da população. 
 
Amostragem Estratificada: 
Divide-se a população em subgrupos (estratos) de itens similares, procedendo-se à 
amostragem em cada estrato. Se os subgrupos forem homogêneos, a variabilidade 
será menor, necessitando de um tamanho menor de amostra. 
 
Amostragem por Conglomerado: 
Dispõem-se os itens da população em subgrupos heterogêneos, representativos da 
população global. 
 
OBS: Freqüentemente, um plano de amostragem incorpora várias técnicas. 
 
 
 
 
 
4. Estimação: 
 
Estimação é o processo que consiste em generalizar estatísticas amostrais para 
parâmetros populacionais desconhecidos. A estatística amostral utilizada para fins 
de estimação é chamada de estimador e o valor obtido para uma particular amostra é 
denominado estimativa. A estimação pode ser feita por ponto ou por intervalo. 
 
4.1. Principais estimadores por ponto: 
 
Parâmetro Estimador 
 
X
 
 
 
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2σ
 
2S
 
σ
 S 
 P 
 
 Intervalos de Confiança 
 
 Sejam 
ss σ e μ
a média e o desvio padrão da distribuição amostral de uma 
estatística S. Então, se a distribuição amostral de S é aproximadamente Normal, 
temos que S está compreendido nos intervalos: 
1. [
ss σ μ 
] com probabilidade 0,6827 
2. [
ss σ 2 μ 
] com probabilidade 0,9545 
3. [
ss σ 3 μ 
] com probabilidade 0,9973 
Os intervalos acima são intervalos de confiança para S. A probabilidade que um 
intervalo contenha o valor do parâmetro, denotada por 1-, é denominada grau de 
confiança. Portanto,  é a probabilidade de erro na estimação por intervalo. 
 
 
4.2.1. Intervalo de Confiança para a Média (população infinita ou 
amostragem com reposição): 
 
1. Variância populacional conhecida: 
O intervalo de confiança para a média é dado por: 
 [ 
n
zX c
.
] 
 onde z
n
c
.
 é o erro máximo absoluto de estimação da média 
 
cz
: valor crítico de z, determinado pelo grau de confiança. 
 
2. Variância populacional desconhecida: 
Neste caso, o intervalo de estimação é dado por: 
[ 
n/S.tX c
] 
 onde 
n/S.tc
é o erro estimado 
 
ct
: valor crítico de t, de acordo com o grau de confiança e 
 gl (graus de liberdade), onde gl=n-1. 
 OBS: Se 
30n 
, a distribuição é aproximadamente Normal. 
 
 
 
4.2.2. Intervalo de Confiança para a Proporção:PUCRS – ESCOLA DE CIÊNCIAS 
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 Suponha que P é a proporção de “sucessos” em uma amostra com reposição (ou 
população infinita), de tamanho n

30, selecionada de uma população Binomial, na 
qual  é a probabilidade de sucessos. Então, o intervalo de confiança para  é dado 
por: 
 
 
n
PPzP c
)(
.


1
 
onde 
n
PPzc
)(
.
1
 é o erro máximo absoluto de estimação da proporção 
 
cz
: valor crítico de z, determinado pelo grau de confiança. 
 
 
 
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15 
 
 
4.2.3. Cálculo do tamanho mínimo de amostra: 
 
 Para estimar a média, população infinita ou amostragem com reposição: 
 2
x
E
.z
n







 

 
 
Para estimar a proporção, população infinita ou amostragem com reposição: 
2
p
2
E
)p1.(p.z
n


 
 
 
 
5. TESTES DE HIPÓTESES 
 
Hipóteses Estatísticas: 
Ho: hipótese nula 
H1: hipótese alternativa 
 
Testes de Hipóteses: 
 Regra que divide o espaço amostral em duas regiões: uma de rejeição e outra 
de não rejeição de Ho. A partição é, em geral, obtida utilizando-se uma estatística 
amostral. 
 
Erros associados ao teste de hipóteses: 
 
Decisão 
Ho Verdadeira Ho Falsa 
Rejeitar Ho Erro Tipo I 
 
____ 
Não rejeitar 
Ho 
______ Erro Tipo II 
 
 
Nível de significância: 
 Probabilidade de rejeição de uma hipótese verdadeira Ho. É fixado antes da 
extração das amostras. 
 
Testes unilaterais: 
 
 
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16 
 
 
Testes Bilaterais: 
 
 
ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES 
Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses: 
I. Determinar as hipóteses nula e alternativa apropriadas. 
II. Selecionar a estatística de teste que será utilizada. 
III. Especificar o nível de significância  para o teste. 
IV. Usar o nível de significância para estabelecer uma regra de decisão que levará à 
rejeição ou não de H0. 
V. Coletar os dados amostrais e calcular a estatística de teste. 
VI. Comparar o valor da estatística do teste com o(s) valor (es) crítico(s) 
especificado(s) na regra de decisão para determinar se H0 deve ser rejeitado ou 
não; ou calcular o valor p, baseado na estatística de teste. Comparar o valor p com 
, para determinar se H0 deve ser rejeitado ou não. 
VII. Concluir, baseado na decisão tomada. 
 
NOTAS E COMENTÁRIOS 
 
1. Muitas aplicações de teste de hipóteses têm um objetivo de tomada de decisão. A conclusão 
rejeitar H0 fornece o suporte estatístico para concluir que H1 é verdadeiro e tomar a decisão 
apropriada, seja ela qual for. A declaração “não rejeitar H0“ embora não conclusiva, 
freqüentemente força os gerentes a se comportarem como se H0 fosse verdadeiro. Nesse caso, 
os gerentes precisam estar cientes do fato de que tal comportamento pode resultar num erro 
do Tipo II. 
2. O valor p, o nível de significância observado, é uma medida da plausibilidade dos resultados da 
amostra quando a hipótese nula é assumida como verdadeira. Quanto menor o valor p, menos 
provável é que os resultados da amostra venham de uma população onde a hipótese nula é 
verdadeira. A maioria dos softwares estatísticos fornece o valor p associado a um teste de 
hipóteses. O usuário pode então comparar o valor p ao nível de significância  e tirar conclusão 
do teste de hipóteses sem se referir a uma tabela estatística. 
 
 
1.1. Teste para a média: 
 
 Hipóteses: 
H0: =0 
 
 
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17 
 
H1: 0 
 
 Estatística: 
 
1. Para 2 conhecida: 
Χ
σ
oμΧ
cΖ


 
 
2. Para 2 desconhecida: 
n
S
oμΧ
ct


 
 
 
1.2. Teste para a proporção: 
 
 Hipóteses: 
H0: =0 
H1: 0 
 
 Estatística: 
 
n
)π1(π
oπΡ
cΖ



 
1.3. Teste para a comparação de proporções: 
 
 Hipóteses: 
H0:1 =2 
H1:1 2 
 
 Estatística: 
   
pˆ1qˆ 
nn
pˆ
qˆpˆ 
n
1
n
1
ππΡΡ
cΖ
21
21
21
212 XX1 













 ;
 
 
1.4. Teste para a comparação de médias: 
 
 Hipóteses: 
H0:1 =2 
H1:1 2 
 
 
 
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18 
 
 Estatística: 
 
1. Para variâncias populacionais conhecidas: 
   
21
2
nn
cZ
2
2
2
1
21
σσ
μμXX



1
 
 
2. Para variâncias populacionais desconhecidas e equivalentes: 
 
    
   
2nn
S1nS1n
n
1
n
1
μμΧΧ
ct
21
2
22
2
11
21
2121













 ; gl=n1+ n2-2 
 
3. Para variâncias populacionais desconhecidas e diferentes: 
 
   
2
2
2
1
2
1
2 121
n
S
 + 
n
S
μ -μ - - 
ct
XX

 ; 
1
S
1
S
SS
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
nn
gl































 
 4. Amostras Pareadas: 
 
 
  gl1n ;
μ
ct
n
S
D
D
D 


 
 
1.5. Teste para a comparação de variâncias: 
 
 Hipóteses: 
H0: 
2
1
σ
 = 
2
2
σ
 
H1: 
2
1
σ
 
2
2
σ
 
 
 Estatística: 
 
1 
S
S
cF 2
2
2
1 
 ; 
)1n,1n(
21

 
gl
 
 
 
1.6. Teste de independência: 
 
 
 
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19 
 
Hipóteses: 
H0: Não há evidências de associação entre as duas variáveis 
H1: Há evidências de associação entre as duas variáveis 
 
 
 Estatística: 
 Qui-Quadrado: 

 



r
i
c
j
cr
ij
ijij
E
EO
1 1
)1)(1(
2
2 ~
)(

 
 Onde r: número de linhas e c: número de colunas. 
Obs: Se p<α, rejeitamos H0. 
 
 
6. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
 Correlação Linear Simples: 
 A correlação linear procura medir o grau da relação entre duas variáveis aleatórias 
quantitativas. Na população, a correlação é denotada por . Na amostra, a relação entre as 
variáveis pode ser quantificada pelo coeficiente de correlação linear de Pearson: 
 
)Yny)(Xnx(
Y.X.ny.x
r
2222 



 
 O coeficiente r varia de –1 a +1, dependendo do grau da relação entre as variáveis e 
da forma com que se relacionam (direta ou inversamente). 
 
Diagramas de Dispersão: 
1. Para uma correlação linear perfeita e direta entre as variáveis (=1), temos 
X:var. independente
Y:var.dependente
 
 
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20 
 
2. Para uma correlação linear perfeita e inversa entre as variáveis (=-1), temos 
3. Para uma correlação linear inversa entre as variáveis (-1<<0), temos: 
 
 
4. Para uma correlação linear direta entre as variáveis (0<<1), temos 
 
 
5. Para uma correlação linear próxima de zero (0), temos 
X:var. independente
Y:var.dependenteX:var. independente
Y:var.dependente
X:var. independente
Y:var.dependente
 
 
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21 
 
 
OBS: Se as variáveis X e Y são independentes, então =0. A recíproca não é 
verdadeira. 
 
 Teste para o coeficiente de correlação: 
 Hipóteses: 
0ρ:H
0ρ:H
1
0


 
 
Estatística: 
 
α;2n2c
t~
r1
2n
.rt 



 
 
 Coeficiente de Determinação (Explicação): 
 O percentual da variância de Y que pode ser explicado pela variância de X, é dado 
pelo coeficiente de determinação. Na população é 2 e na amostra r2. 
 
Regressão Linear Simples: 
 Uma vez determinada uma correlação linear significativa entre duas variáveis 
aleatórias, procura-se descrever a relação entre elas através de uma função, que é o 
principal objetivo da análise de regressão. 
 Situações mais utilizadas: 
- Quando duas variáveis medem a mesma coisa, e uma delas é dispendiosa ou de 
difícil coleta. 
- Para explicar valores de uma variável em termos da outra. 
- Para predizer valores de uma variável. 
 
Equação Linear na população: 
 
iuXY  
 
Y: variável dependente 
X:var. independente
Y:var.dependente
 
 
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22 
 
X: variável independente 
: coeficiente linear 
: coeficiente angular 
ui: erro aleatório 
 
Método dos Mínimos Quadrados: 
 
- A soma dos desvios dos pontos em relação à reta é zero. 
- A soma dos quadrados de tais desvios é mínima. 
 
 Modelo (quando o erro é desprezível): 
bXaYˆ 
 
 a: ponto de intersecção da reta com o eixo Y 
 b: coeficiente angular (inclinação) 
 
 Cálculo dos coeficientes da reta: 
 
 
 22 xxn
y.xy.xn
b
XbYa






 
 
Teste para a regressão: 
 
Hipóteses: 
0β:H
0β:H
1
o


 
Estatística: 
 
α;2n
b
0
c t~S
βb
t 


 
22
E
b
Xnx
S
S



 
2n
y.xbyay
S
2
E



 
 
X:var. independente
Y:var.dependente
 
 
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23 
 
Predição: 
 As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para 
predizer o valor de uma variável, dado um valor determinado de outra 
variável. Se a reta de regressão se ajusta bem aos dados, então podemos 
utilizar sua equação para fazer predições, desde que não ultrapassem os 
limites dos valores disponíveis. Entretanto, só devemos utilizar a equação da 
reta de regressão, se houver uma correlação linear significativa. 
 
Limitações associadas à regressão e correlação: 
 
1. Se não há correlação linear significativa, a equação de regressão não deve ser utilizada 
para fazer predições. 
2. Um coeficiente de correlação “significativo” não indica causalidade, mas pode indicar uma 
ligação comum a outros eventos. 
3. Uma correlação “significativa” não é, necessariamente, uma correlação importante. 
4. A interpretação dos coeficientes de correlação e determinação está baseada na hipótese 
de uma distribuição Normal bivariada para a população e, para cada variável, variâncias 
condicionais iguais. 
5. Para as análises de correlação e regressão pressupõe-se um modelo linear. Para relações 
não lineares, pode existir uma transformação que a linearize. 
6. Se a estimação de Y envolve a predição de um resultado que ainda não ocorreu, os dados 
utilizados para calcular a equação de regressão podem não ser importantes. 
7. A estimação de Y através da regressão deve ser feita para valores de X no intervalo que 
serviu de base para a equação de regressão. 
8. A estimação de Y através da regressão não deve ser feita para uma população diferente 
daquela de onde provêm os dados amostrais.