AL_Aula_4

Prévia do material em texto

Independência Linear
Seção 5.3
Fábio S. Bemfica
EC&T - UFRN
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Definição
Se S = {v1, v2, · · · , vr} é um conjunto não-vazio de vetores, então a
equação vetorial
k1v1 + k2v2 + · · ·+ krvr = 0
tem pelo menos uma solução, a saber,
k1 = 0, k2 = 0, · · · , kr = 0 .
Se esta é a única solução, então o conjunto S é chamado linearmente
independente. Se existirem outras soluções, então S é um conjunto
linearmente dependente.
Exemplo
Se ~v1 = (2,−1, 0, 3), ~v2 = (1, 2, 5,−1) e ~v3 = (7,−1, 5, 8), então o
conjunto de vetores S = {~v1, ~v2, ~v3} é linearmente dependente pois
3~v1 + ~v2 − ~v3 = 0. Resolução no quadro!
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Exemplo
Os polinômios
p1 = 1− x , p2 = 5 + 3x − 2x2, e p3 = 1 + 3x − x2
formam um conjunto linearmente dependente em P3, pois
3p1 − p2 + 2p3 = 0. Resolução no quadro!
Exemplo
Os vetores unitários ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) são
linearmente independentes pois
k1~ı + k2~ + k3~k = (k1, k2, k3) = ~0⇒ k1 = k2 = k3 = 0
é a única solução.
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Theorem (Teorema 5.3.1)
Um conjunto S de dois ou mais vetores é:
(a) linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos
vetores de S pode ser escrito como uma combinação linear
dos outros vetores de S .
(b) linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em
S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros
vetores em S .
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Demonstração.
Prova (a): Vamos fazer o caminho inverso. Seja S = {v1, v2, · · · , vr} um
conjunto de dois ou mais vetores. Se S é linearmente dependente, então
k1v1 + k2v2 + · · ·+ krvr = 0
admite soluções não nulas para os k´s. Sendo assim, se ki 6= 0 podemos
escrever vi como uma combinação linear dos outros vetores pois a equação
acima resulta
vi =
k1
ki
v1 +
k2
ki
v2 + · · ·+
ki−1
ki
vi−1 +
ki+1
ki
vi+1 + · · ·+
kr
ki
vr .
Prova (b): essa propriedade é uma conseqüência do ı́tem (a).
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Theorem (Teorema 5.3.3)
Seja S = {~v1, ~v2, · · · , ~vr} um conjunto de vetores em Rn. Se r > n, então
S é linearmente dependente.
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Demonstração.
Suponha que
~v1 =

v11
v21
...
vn1
 , ~v2 =

v12
v22
...
vn2
 , · · · , ~vr =

v1r
v2r
...
vnr

a equação k1~v1 + k2~v2 + · · ·+ kr~vr = ~0 pode ser escrita como o sistema linear de
r equações à n incógnitas ki
v11k1 + v12k2 + · · ·+ v1rkr = 0
v21k1 + v22k2 + · · ·+ v2rkr = 0
...
vn1k1 + vn2k2 + · · ·+ vnrkr = 0
O sistema acima tem mais incógnitas ki do que as n equações pois r > n.
Obrigatoriamente o sistema terá soluções não-triviais, ou seja, S será linearmente
dependente. Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Independência Linear
Exemplo
Seja o conjunto S = {~v1 = (1, 0), ~v2 = (0, 1), ~v3 = (2, 4)} no R2.
Claramente vemos que
~v3 = 2~v1 + 4~v2 .
Ou seja, um conjunto linearmente independente no R2 contém apenas dois
vetores. Note que podemos escolher {~v1, ~v3} como esse conjunto, e não
necessariamente os vetores canônicos ~v1 e ~v2.
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Exerćıcios Referentes à Seção 5.3 do livro texto
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Exerćıcios Referentes à Seção 5.3 do livro texto
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3
Respostas Referentes à Seção 5.3 do livro texto
Fábio Sperotto Bemfica Independência LinearSeção 5.3