lista9

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia Mecânica 
Disciplina: Cálculo II 
Professora: Nathália C. Ortiz da Silva 
 
Lista 9 – Integral Definida e Teorema Fundamental do Cálculo 
 
1) Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam contínuas e que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
1
= −4; ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6
5
1
 e ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
5
1
= 8. 
Use as propriedades de integrais definidas para calcular as seguintes integrais: 
𝑎) ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
2
2
 
𝑏) ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
1
5
 
𝑐) ∫ 3 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
2
1
 
𝑑) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
5
2
 
𝑒) ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
5
1
 
𝑓) ∫[4𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
5
1
 
 
2) Determine a integral definida dos exercícios abaixo: 
𝑎) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
√2
1
 
𝑏) ∫ 𝜃 𝑑𝜃
2𝜋
𝜋
 
𝑐) ∫ 𝑡2 𝑑𝑡
1/2
0
 
𝑑) ∫ 7 𝑑𝑥
1
3
 
𝑒) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
𝑓) ∫(2𝑡 − 3)𝑑𝑡
2
0
 
𝑔) ∫ (1 +
𝑧
2
) 𝑑𝑧
1
2
 
ℎ) ∫ 3𝑢2 𝑑𝑢
2
1
 
𝑖) ∫(3𝑥2 + 𝑥 − 5) 𝑑𝑥
2
0
 
𝑗) ∫(2𝑥 + 5) 𝑑𝑥
0
−2
 
𝑘) ∫ (3𝑥 −
𝑥3
4
) 𝑑𝑥
4
0
 
𝑙) ∫(𝑥2 + √𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
𝑚) ∫ 𝑥−6/5 𝑑𝑥
32
1
 
𝑛) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 
𝑜) ∫ 2 sec2 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/3
0
 
𝑝) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃
3𝜋/4
𝜋/4
 
𝑞) ∫
1 + cos 2𝑡
2
 𝑑𝑡
0
𝜋/2
 
𝑟) ∫ (8𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝑑𝑦
𝜋/2
−𝜋/2
 
𝑠) ∫ (𝑟 + 1)2 𝑑𝑟
−1
1
 
𝑡) ∫ (
𝑢7
2
−
1
𝑢5
) 𝑑𝑢
1
√2
 
𝑢) ∫
𝑠2 + √𝑠
𝑠2
 𝑑𝑠
√2
1
 
 𝑣) ∫ 𝑒3𝑥 𝑑𝑥
ln 2
0
 
𝑤) ∫
4
1 + 𝑥2
 𝑑𝑥
1
0
 
3) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
: 
𝑎) 𝑦 = ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡
√𝑥
0
 
𝑏) 𝑦 = ∫ √𝑡 𝑑𝑡
𝑥4
0
 
𝑐) 𝑦 = ∫ 𝑒−𝑡 𝑑𝑡
𝑥3
0
 
𝑑) 𝑦 = ∫ √1 + 𝑡2 𝑑𝑡
𝑥
0
 
𝑒) 𝑦 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡2) 𝑑𝑡
0
√𝑥
Gabarito – Lista 9 
 
1) a) 0 b) −8 c) −12 d) 10 e) −2 f) 16 
2) a) 
1
2
 b) 
3𝜋2
2
 c) 
1
24
 d) −14 e)10 f) −2 g) −
7
4
 h) 7 i) 0 j) 6 k) 8 
l) 1 m) 
5
2
 n) 2 o) 2√3 p) 0 q) −
𝜋
4
 r) 
2𝜋3
3
 s) −
8
3
 t) −
3
4
 u) √2 − √8
4
+ 1 
v) 
7
3
 w) 𝜋 
3) a) 
cos √𝑥
2√𝑥
 b) 4𝑥5 c) 3𝑥2𝑒−𝑥
3
 d) √1 + 𝑥2 e) −
1
2
𝑥−1/2𝑠𝑒𝑛 𝑥