AULA 3 - Produtos notáveis e Fatoração

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AULA 3: Produtos Notáveis e Fatoração
· Apresentação
Nesta aula vamos aprender a reconhecer e aplicar os produtos notáveis e a fatoração.
Produtos notáveis
Determinados produtos, por aparecerem no estudo da matemática com muita frequência, são chamados de notáveis e seu desenvolvimento por multiplicação deve ser evitado. Para tal, devemos conhecer previamente o seu desenvolvimento.
Veremos uma relação de produtos notáveis mais utilizados.
	Quadrado de uma soma
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
	Quadrado de uma diferença
(a-b)2 = a2 - 2ab +b2
	Diferença entre dois quadrados
(a+b)(a-b)2 = a2 - b2
	Cubo de uma diferença
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
	Soma de dois cubos
(a+b)(a2-ab+b2)=a3 + b3
	Diferença de dois cubos
(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
	Quadrado da soma de três termos
(a+b+c) = a2 + b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc
	
Vejamos os exemplos abaixo:
a) (x+2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 		e) (x+1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
b) (2y-3)2 = 4y2 - 12y + 9 			f) (x-1)3 = x3 -3x2 +3x +1
c) (3x-2)2 = 9x2 -12x + 4 			g) (x+1) (x2 – x +1) = x2 -1
d) (2x+y) (2x-y) = 4x2 – y2			 h) (x-1)(x2+x+1) = x3 -1
i) (x+y+2z)2 = x2 + y2 + 4z2 + 2xy+ 4xz+ 4yz
Diversas vezes, podemos utilizar os produtos notáveis para facilitar cálculos que podem oferecer muito trabalho. Observe os exemplos abaixo:
272 = (20+7)2 =						332 = (35-2)2 = 352-2.35.2+22 =
202 +2.20.7+72 = 400+280+49 = 729 		1225 -140+4 = 1089
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa transformar essa expressão em outra equivalente, expressa em produto de dois ou mais fatores de grau inferior ao da expressão dada.
Vejamos os principais processos de fatoração:
Evidenciação
Consiste na aplicação inversa da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição ou subtração. Devemos colocar em evidência o fator comum a todos os termos da expressão dada em seguida dividir cada termo da expressão pelo fator evidenciado.
Exemplos: 						a) 2x+8=2.x + 2.4 = 2(x+4)
b) ax2 +bx = ax.x+bx = x(ax+b) 			c) 4x2y-8xy2+4xy = 4xy(x-2y+1)
Grupamento ou agrupamento
Esse método consiste na aplicação do processo de evidenciação mais de uma vez. Observe os exemplos abaixo:
Exemplos:
a) am+bm+na+bn = m(a+b)+n(a+b) = (a+b)(m+n)
b) (x3+x2)+(x+1)= x2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x2+1) = x3+x2+x+1
Identificação
Devemos identificar a expressão dada como sendo um dos produtos notáveis.
Exemplos:
a) x2-9= (x+3)(x-3)				 d) X3+27 = (x+3)(x2-3x+9)
b) X3-1 = (x-1)(x2+x+1) 				e) X2-1 = (x+1)(x-1)
c) X2-5x+6 = (x-3)(x-2)
MDC e MMC de expressões algébricas
MDC
Máximo Divisor Comum (MDC) - É o produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes.
MMC
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) – É o produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.
Para determinarmos o MDC ou o MMC de várias expressões algébricas, dedemos fatorar cada uma das expressões e, em seguida, aplicar a definição de MDC ou de MMC conforme seja solicitado.
Determine o MDC e o MMC das expressões:b) x3+8 = (x+2)(x2-2x+4)
x2+2x = x(x+2)
x2-4 = (x+2)(x-2)
x2+8x+12 = (x+2)(x+6)
MDC: x+2
MMC: x(x+2)(x-2)(x+6)(x2-2x+4)
a) 2x+2y =2(x+y)
x2+2xy+y2 = (x+y)2
X2-y2 = (x+y)(x-y)
MDC: x+y
MMC: 2(x+y)2(x-y)
Frações algébricas
Frações algébricas são aquelas em que um dos seus termos é uma expressão algébrica.
Exemplo: 			x−23x-23
Operações com frações algébricas
As frações algébricas obedecem a todas as regras das frações ordinárias.
1. Leia com atenção as afirmações e relacione cada termo ao seu conceito correspondente.
(1) Fatoração 		(2) MMC 		(3) MDC 
( ) É o produto dos fatores comuns elevado aos menores expoentes.
( ) de uma expressão algébrica significa a transformação dessa expressão em outra equivalente expressa em produtos de dois ou mais fatores de grau inferior ao da expressão dada.
( ) é o produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.ditos