ESTATISTICA - PROBABILIDADE PARTE 1

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Estatística e Probabilidade 
 
 
 
Probabilidade – Parte 1 
 
 
 
 
 
Professora: Juliana de Almeida Costa 
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Objetivo: 
• Entender o conceito de espaço amostral, eventos, 
probabilidade; 
• Ao final do conteúdo ser capaz de fazer os exercícios; 
 
 
 
 
Probabilidade - Conceitos Básicos 
 
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EXPERIMENTO - Um experimento é qualquer processo 
que permite fazer observações, e que o resultado está 
sujeito a incertezas. Temos como exemplos: o lançamento 
de um dado para observar a face vencedora; o 
comprimento e o peso; a seleção de um eleitor para indicar 
seu candidato nas próximas eleições; o levantamento da 
resistência de compressão em diversas vigas metálicas, 
etc. 
Podemos ter experimentos determinísticos ou aleatórios. 
 
 
Probabilidade - Conceitos Básicos 
 
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• Experimentos determinísticos: são aqueles cujos resultados 
são sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em 
condições semelhantes. Por exemplo, nascimento de um bebê (é 
certo que haverá o nascimento). 
 
• Experimentos aleatórios: são aqueles cujos resultados não são 
sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em 
condições semelhantes, ou ainda, é o experimento que - a cada 
repetição - é impossível prever, com absoluta certeza, qual resultado 
será obtido. Além disso, a ocorrência de um deles exclui a 
possibilidade de ocorrência dos demais (o que chamamos de eventos 
mutuamente exclusivos). Por exemplo, o sexo do bebê que nasceu 
(pode ser masculino ou feminino). 
 
 
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Exemplo 1: O lançamento de uma moeda é um 
experimento aleatório, uma vez que, em cada 
lançamento, mantidas as mesmas condições, não podemos 
prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima. 
Por outro lado, se colocarmos uma panela com água para 
ferver e anotarmos a temperatura de ebulição da água, o 
resultado será sempre 100℃. Logo, este é um experimento 
determinístico. 
 
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ESPAÇO AMOSTRAL - O espaço amostral (Ω) de um 
experimento aleatório (E) é o conjunto de todos os 
resultados possíveis desse experimento. 
 
Exemplo 2: 
Por exemplo, no lançamento de um dado honesto, temos: 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
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EVENTO - é qualquer resultado possível obtido da 
realização de um experimento E, ou seja, evento é 
qualquer subconjunto do espaço amostral Ω. O evento é 
denominado simples, se consistir em um único resultado, e 
composto se consistir em mais de um resultado. Quando o 
experimento é realizado, um determinado evento A ocorre, 
se o resultado experimental estiver contido em A. 
Geralmente, ocorre exatamente um evento simples, mas 
diversos eventos compostos também podem ocorrer 
simultaneamente. 
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EXEMPLO 3: Seja, por exemplo, os eventos A, B ,C, D e 
E: 
A: observar face ímpar no lançamento de um dado. 
𝐴 = {1, 3, 5} 
B: observar face maior do que 4. 𝐵 = {5, 6} 
C: observar face par. 𝐶 = {2, 4, 6} 
D: observar face maior do que cinco. 
𝐷 = {6}(𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠). 
E: observar face maior ou igual a 7.𝐸 = ∅ 
 
 
 
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Tipos de eventos 
 
Evento Impossível é o evento igual ao conjunto vazio 
(∅ 𝑜𝑢 { }). A probabilidade de ocorrer é zero. Exemplo é o 
evento E do exemplo anterior. 
Evento certo é o evento igual ao espaço amostral S. A 
probabilidade de ocorrer é certa, ou seja, igual a 1. 
Exemplo 4- F: observar face menor do que 7. F = {1, 2, 
3, 4, 5, 6} 
 
 
 
 
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Exemplo 5: Três cartas são retiradas, sem reposição, de 
um baralho que tem três cartas de cada uma das cores 
azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral 
para esse experimento e liste os eventos: 
A : todas as cartas selecionadas são vermelhas. 
B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta 
são selecionadas. 
C : três diferentes cores ocorrem. 
D : todas as 4 cores ocorrem. 
 
 
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Exemplo 5: 
 
 
Probabilidade - Conceitos Básicos 
 
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Operação com eventos - Usamos, frequentemente, 
diagramas para mostrar a relação entre conjuntos, sendo 
esses diagramas também utilizados para descrever a 
relação entre os eventos. São os chamados diagramas de 
Venn. 
• União: A  B é o evento que ocorre se (e somente se) A 
ocorre, ou B ocorre, ou ambos ocorrem 
simultaneamente. 
 
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Exemplo 6: Consideremos o experimento do lançamento de 
duas moedas, onde o espaço amostral é Ω = {KK, KC, CK, 
CC}. Sejam os eventos A = “ocorrência de exatamente 1 
cara” e B = “duas faces iguais”. Seja C o evento “pelo 
menos uma cara”.𝐴 ∪ 𝐵=? e B ∪ C? 
Solução: 
Então A = {KC, CK} e B = {CC, KK} ; logo, A ∪ B = Ω e A ∩ 
B = ∅. Seja C o evento “pelo menos uma cara”; então C = 
{KC, CK, KK} e B ∪ C = Ω e B ∩ C 6= ∅. 
 
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Intersecção: A  B é o evento que ocorre se (e somente se) A e B 
ocorrem simultaneamente. 
 
 
 
 
Obs.: se A  B = , então A e B são ditos mutuamente exclusivos 
(excludentes) ou disjuntos. 
 
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Exemplo 7: Consideremos o experimento “lançamento de 
dois dados” e os eventos A =“soma 
das faces é um número par” e B = “soma das faces é um 
número maior que 9”. Calcule A ∩ B. 
 
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Complementar: 𝐴 é o evento que ocorre se (e somente 
se) A não ocorrer. 
 
 
 
 
Exemplo 8: Consideremos o lançamento de um dado e 
seja A = “face par”. Determine: 𝐴 
 
 
 
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Diferença - A diferença entre dois eventos A e B, 
representada por A − B, ou equivalentemente, por A ∩ B, é 
o evento formado pelos pontos do espaço amostral que 
pertencem a A mas não pertencem a B. 
 
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Exemplo 9: Consideremos novamente o lançamento de 
dois dados e os eventos A = “soma das faces é par” e B = 
“soma das faces é maior que 9”. Determine as duas 
diferenças, A – B e B − A. 
 
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Definição clássica de probabilidade 
Seja E um evento de um espaço amostral Ω finito, cujos 
elementos são igualmente prováveis. 
Define-se a probabilidade do evento E como 
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A probabilidade de ocorrer um evento E é sempre um valor 
entre 0 e 1, ou seja, entre 0% e 100%: 
 
 
Quando a probabilidade de um evento for 0, isso significa 
que não há possibilidades desse evento ocorrer. Por isso, 
dizemos que é um evento impossível. Em contrapartida, 
se a probabilidade for igual a 1, isto é, a 100%, isso indica 
que com certeza ocorrerá tal evento. Por isso dizemos que 
é um evento certo. 
 
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Exemplo 10:Lança-se um dado. Sejam os eventos: 
A: obter número 5; 
B: obter número 1 ou 6; 
C: obter número 7; 
D: obter um número de 1 a 6. 
 Calcular a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos 
citados. Inicialmente, vamos escrever o espaço amostral e 
os conjuntos que representam cada um dos eventos 
citados: 
Ω = {1,2,3,4,5,6} 
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Exemplo 10:𝐴 = 5 ; 𝐵 = 1,6 ; C= (pois não existe o 
número 7 no dado); D={1,2,3,4,5,6} 
Utilizando a definição de probabilidade, temos: 
 P(A) = 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 
 P(B) = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33% 
P(C) = 0/6 = 0, ou seja, o evento C é chamado de evento 
impossível. 
P(D) = 6/6 = 1 ou 100%, ou seja, o evento D é chamado de 
evento certo. 
 
Exercício: 
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1. Dar um espaço amostral para cada experimento abaixo: 
a) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados; observa-se os 
números das faces de cima. 
b) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequencia de caras e 
coroas. 
2. Considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes 
eventos:A = soma par 
 B = soma ≥ 9 
 C = máximo das faces é 6 
Calcule 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴, 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐵 − 𝐶. 
 
 
Exercício: 
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3. Escolha aleatoriamente (a expressão "aleatória" nos indicará que o 
espaço é equiprovável) uma carta de um baralho com 52 cartas. 
Seja: A = {a carta é de ouros}; B = {a carta é uma figura}. Calcular 
P (A) e P (B). 
4. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha 
é escolhida e observado seu numero. Seja Ω = {1,2,3, … , 29,30}. 
Descrever os eventos: 
a) O número obtido é par, 
b) O número obtido é ímpar, 
c) O número obtido é primo, 
d) O número obtido é maior que 16, 
e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5, 
f) O número obtido é múltiplo de 3 ou de 8, 
g) O número obtido não é múltiplo de 6. 
 
 
 
 
Gabarito: 
25 
1. Resposta letra A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta letra B: 
 
 
 
Gabarito: 
26 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
3. P(A)=1/4 e P(B)=3/13