ESTATISTICA -MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL e DISPERSAO(06)

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Estatística e Probabilidade 
 
 
 Moda 
Medida de dispersão: 
 Amplitude 
 desvio médio 
 
 
 
 
Professora: Juliana de Almeida Costa 
1 
2 
 
 
Objetivo: 
• Entender o conceito de moda, medida de dispersão; 
• Ao final do conteúdo ser capaz de fazer os exercícios; 
 
 
 
 
Moda 
3 
É o valor que mais frequentemente ocorre em um conjunto de valores. 
No caso, a distribuição é descrita como sendo unimodal. Para 
pequenos conjunto de dados, onde não há repetição dos valores, não 
existe moda (amodal). Quando dois valores, não adjacentes, são quase 
iguais ao ter frequências máximas associadas com eles, a distribuição é 
descrita como sendo bimodal. As distribuições de medidas com várias 
modas são chamadas distribuições multimodais. 
 
Exemplo: Oito vendedores venderam as seguintes quantidades de 
unidade de ar-condicionado: 8,11,5,14,11,16 e 11. 
Resolução: A moda para este grupo de valores é o valor com maior 
frequência, ou seja, moda=11. 
 
 
Moda para dados agrupados 
4 
Fórmula de calcular a moda de dados agrupados: 
 
 
 
 
Moda para dados agrupados 
5 
Onde: 
 
 
 
 
 
Moda para dados agrupados 
6 
Exemplo 1: Considere a distribuição: 
 
Classe 
modal 
Moda para dados agrupados 
7 
lasse 
modal 
Medidas de dispersão 
8 
lasse 
modal 
Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersão 
ou afastamento dos valores observados em torno de um valor central 
representativo chamado média. Informa se um conjunto de dados é 
homogêneo (pouca variabilidade) ou heterogêneo (muita 
variabilidade). 
As medidas de tendência central não são suficientes para caracterizar 
totalmente uma sequência numérica. Se observarmos as sequências: 
 
X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10. 
Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13. 
Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13. 
 
concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são 
sequências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade 
de dados. 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão 
9 
lasse 
modal 
 
Na sequência Z não há variabilidade de dados, visto que todos os 
valores coincidem com a média. Na sequência Y, a média 13 
representa bem a série, mas existem elementos da série levemente 
diferenciados da média 13, ou seja, há baixa variabilidade. Na 
sequência X existem muitos elementos bastante diferenciados da 
média 13, indicando uma alta variabilidade ao redor da média. 
 
Para avaliar o grau de variabilidade dos dados em torno da média, 
usaremos as medidas de dispersão: amplitude total(desvio 
extremo),desvio médio, variância(desvio quadrático) e desvio padrão. 
 
Medidas de dispersão: 
Amplitude Total 
10 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de frequência por intervalos de 
classe. É a diferença entre o limite superior do último intervalo de 
classe e o limite inferior do primeiro intervalo de classe, ou seja: 
 
 
 
Exemplo 2: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38 
 
𝐴𝑇 = 38 − 10 = 28 
 
A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito 
limitada pois, sendo uma medida que depende apenas dois valores 
externos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores 
internos. 
 
 
𝑨𝑻 = 𝑳𝒊 − 𝒍𝒊 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
11 
lasse 
modal 
 
O desvio médio ou média dos desvios é a média 
aritmética dos valores absolutos dos desvios 
tomados em relação à média ou a mediana. Sua 
vantagem é que leva em conta todos os elementos. 
Aqui, apresentaremos as fórmulas utilizando a 
média. 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
12 
lasse 
modal 
Dados não agrupados 
Sejam os elementos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 de uma 
amostra, portanto n valores da variável x, com 
média igual a 𝑥 . O desvio médio da variável 
aleatória de x é, 
𝐷𝑚 =
 𝑥𝑖 − 𝑥 
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Onde n é o numero de elementos dos conjunto. 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
13 
lasse 
modal 
Dados não agrupados 
Exemplo 3: 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
14 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de frequência por 
valores simples 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição 
de frequência, usaremos o desvio médio dos valores 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ponderados pelas respectivas frequências 
absolutas: 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛 como no calculo da média 
aritmética. 
Assim, 
𝐷𝑚 =
 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Onde 𝑓𝑖 = 𝑛 é frequência absoluta total. 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
15 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por valores simples. 
Exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
16 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por valores simples. 
 
 
Numero de 
peças com 
defeitos (𝐱𝐢) 
Numero de 
meses (𝐟𝐢) 
 
𝐱𝐢 − 𝐱 
 
𝐱𝐢 − 𝐱 𝐟𝐢 
0 2 2,73 5,46 
1 3 1,73 5,19 
 2 6 0,73 4,38 
 3 8 0,27 2,16 
 3 4 1,27 5,08 
 5 2 2,27 4,54 
 6 1 3,27 3,27 
Total 26 - 30,08 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
17 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por valores simples. 
Solução: 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
18 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de frequência 
por classes. 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de 
frequência, usaremos o desvio médio dos pontos médios 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 de cada classe ponderados pelas respectivas 
frequências absolutas: 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛. 
Assim, 
𝐷𝑚 =
 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Onde 𝑓𝑖 = 𝑛 é frequência absoluta total e 𝑥𝑖 é o ponto médio. 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
19 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por classes. 
Exemplo 5: 
 
 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
20 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por classes. 
 
 Escores Alunos (𝐟𝐢) 𝒙𝒊 𝐱𝐢 − 𝐱 𝐱𝐢 − 𝐱 𝐟𝐢 
𝟑𝟓 ⊢ 𝟒𝟓 5 40 22,24 111,20 
𝟒𝟓 ⊢ 𝟓𝟓 12 50 12,24 146,88 
𝟓𝟓 ⊢ 𝟔𝟓 18 60 2,24 40,32 
6𝟓 ⊢ 𝟕𝟓 14 70 7,76 108,64 
𝟕𝟓 ⊢ 𝟖𝟓 6 80 17,76 106,56 
8𝟓 ⊢ 𝟗𝟓 3 90 27,76 83,28 
Total 58 - - 596,88 
Medidas de dispersão: 
desvio médio 
 
21 
lasse 
modal 
Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por classes. 
Solução: 
 
 
Exercício: 
22 
1. Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. 
 
Exercício: 
23 
 
2. Determine a idade modal dos alunos da universidade X: 52, 19, 45, 
22, 50, 25, 52, 23, 19, 25. 
3. Calcular o desvio-médio da seguinte distribuição amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 
5 2 
7 5 
8 3 
9 4 
11 2 
Exercício: 
24 
 
4. Seja a amostra: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 a) a média; 
b) o desvio médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
idade 𝒇𝒊 
𝟏𝟎 ⊢ 𝟐𝟎 10 
𝟐𝟎 ⊢ 𝟑𝟎 7 
𝟑𝟎 ⊢ 𝟒𝟎 3 
TOTAL 20 
GABARITO 
25 
 
1. A) 50,28kg e B) Distribuição de frequência sem classes. Não é 
necessário cálculo. Basta identificar o peso de maior frequência, 
que é igual a 47 kg . 
2. Moda = 19 e 52 (bimodal), pois são os valores que mais se 
repetem (repetiram duas vezes). 
3. 1 ,20 
4. a) 21,5 b) 6,5