Aula 6 - Processos em Eng Química - Interpolação e Regressão Linear

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PROCESSOS EM 
ENGENHARIA 
QUÍMICA
Prof. Me. Elenilson Tavares Cabral
170101295@prof.uninassau.edu.br
AJUSTE DE DADOS
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SUMÁRIO
1. Interpolação.
2. Regressão por Mínimos Quadrados.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
Em geral, os dados são fornecidos em um conjunto discreto de valores
entre um contínuo de possibilidades. Entretanto, pode ser necessário fazer
estimativas em pontos que estão entre os valores discretos.
Além disso, você pode precisar de uma versão simplificada de uma função
complexa. Uma forma de fazer isso é calcular valores da função em alguns
valores discretos no intervalo de interesse. Então, uma função mais
simples pode ser desenvolvida para ajustar esses dados. Ambas as
aplicações são conhecidas como ajuste de curvas.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
Há duas abordagens gerais para o ajuste de curvas, as quais são
distinguidas entre si com base na quantidade de erro associada com os
dados. Primeiro, quando os dados exibirem um grau significativo de erro
ou “ruído”, a estratégia será encontrar uma única curva que represente a
tendência geral dos dados.
Como cada ponto individual pode estar incorreto, não será feito nenhum
esforço para passar a curva por todos os pontos. Em vez disso, a curva é
escolhida para seguir o padrão dos pontos considerados como um grupo.
Uma abordagem dessa natureza é chamada de regressão por mínimos
quadrados.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
Segundo, quando se souber que os dados são muito precisos, a
abordagem básica é ajustar uma curva ou uma série de curvas que
passam diretamente por cada um dos pontos. Tais dados usualmente se
originam de tabelas.
Exemplos são os valores da densidade da água ou da capacidade térmica
dos gases como função da temperatura. A estimativa de valores entre
pontos discretos bem conhecidos é chamada interpolação.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
(a) Regressão por mínimos quadrados.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
(b) Interpolação linear.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
(c) Interpolação curvilínea.
AJUSTE DE DADOS
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Introdução
Segundo, quando se souber que os dados são muito precisos, a
abordagem básica é ajustar uma curva ou uma série de curvas que
passam diretamente por cada um dos pontos. Tais dados usualmente se
originam de tabelas.
Exemplos são os valores da densidade da água ou da capacidade térmica
dos gases como função da temperatura. A estimativa de valores entre
pontos discretos bem conhecidos é chamada interpolação.
Às vezes, são usados dados experimentais na predição de como esses
dados poderiam ser estendidos além do intervalo no qual foram medidos,
um procedimento chamado de extrapolação.
AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
A dureza de muitos metais depende do tamanho dos grãos que
o compõem. O teste de espécimes com diferentes tamanhos de
grãos resulta em um conjunto discreto de números (d –
diâmetro médio do grão, σy – tensão limite de escoamento),
conforme mostrado na tabela abaixo.
AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
Por exemplo, a figura mostra os pontos da tabela
anterior e uma curva descrita por uma função de
potência (σ = C.dm) que melhor se ajusta a esse
conjunto de dados. Pode-se observar que a curva
reproduz a tendência geral dos dados, embora
não seja exatamente igual a nenhum dos pontos
medidos.
O procedimento de ajuste de curvas também é
usado para determinar os valores dos parâmetros
(coeficientes) nas equações. Isso pode ser feito
com muitas funções diferentes e com polinômios
de várias ordens.
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Há uma grande variedade de formas alternativas para expressar um polinômio
interpolador. O polinômio interpolador por diferenças divididas de Newton está entre
as fórmulas mais populares e úteis. As versões de primeiro e segundo graus por
possuem interpretação visual simples.
1. Interpolação linear: A forma mais simples de interpolação é ligar dois pontos
dados com uma reta. Matematicamente, tem-se:
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
A técnica, chamada de interpolação linear, é descrita
graficamente na figura usando semelhança de
triângulos.
A equação anterior pode ser reorganizada para
fornecer:
Que é a fórmula de interpolação linear. A notação f1(x)
indica que esse é um polinômio interpolador de
primeiro grau.
AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2 usando uma
interpolação linear. Primeiro, faça o cálculo interpolando entre
ln(1) = 0 e ln(6) = 1,791759. Então, repita o procedimento, mas
use o intervalo menor de ln(1) a ln(4) = 1,386294. Observe que
o valor verdadeiro de ln(2) é 0,6931472.
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
2. Interpolação Quadrática: uma estratégia para melhorar a estimativa é introduzir
alguma curvatura na curva ligando os pontos. Se estiverem disponíveis três pontos,
isso pode ser conseguido com um polinômio de segundo grau (também chamado de
polinômio quadrático ou uma parábola). Uma fórmula particularmente conveniente
para esse propósito é:
Multiplicando os termos:
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Ou ainda:
Com:
Todas as equações para f2(x) são formulações alternativas equivalentes do único
polinômio de segundo grau ligando os três pontos.
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Um procedimento simples pode ser usado para determinar os valores dos
coeficientes. Para b0, a para f2(x) com x = x0 pode ser usada para calcular:
Que por sua vez será utilizada para calcular:
Finalmente, calcula-se:
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Exemplo
Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2 usando uma
interpolação quadrática. Com:
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
A análise anterior pode ser generalizada para ajustar um polinômio de grau n a n+1
pontos dados. O polinômio de grau n é:
Como foi feito anteriormente com as interpolações linear e quadrática, os pontos
dados podem ser usados para calcular os coeficientes b0, b1,..., bn. Para um
polinômio de grau n, n+1 pontos dados são necessários: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)),..., (xn,
f(xn)).
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Usamos esses pontos dados e as seguintes equações para calcular os coeficientes:
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Onde a função com colchetes corresponde a diferenças divididas finitas. Por
exemplo, a primeira diferença dividida finita é representada em geral por:
A segunda diferença dividida finita, que representa a diferença das duas primeiras
diferenças divididas, é expressa em geral por:
AJUSTE DE CURVAS
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Interpolação
Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton
Descrição gráfica da natureza recursiva das diferenças divididas finitas:
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Quando um erro substancial estiver associado aos
dados, a interpolação polinomial é inapropriada e
pode produzir resultados insatisfatórios quando
usada para prever valores intermediários. Dados
experimentais, em geral, são desse tipo.
Dados experimentais, em geral, são desse tipo. Por
exemplo, a figura (a) mostra sete pontos de dados
obtidos experimentalmente exibindo variações
significativas. A inspeção visual dos dados sugere
uma possível relação entre y e x. Isto é, a
tendência geral indica que valores mais altos de y
estão associados com valores mais altos de x.
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Agora, se um polinômio interpolador de grau seis
for ajustado a esses dados, figura (b), ele irá
passar exatamente por todos os pontos.
Entretanto, por causa da variabilidade dos dados, a
curva vai oscilar muito nointervalo entre os pontos.
Em particular, os valores interpolados em x = 1,5 e
x = 6,5 parecem estar bem além do intervalo
sugerido pelos dados.
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Uma estratégia mais adequada para tais casos
seria determinar uma função aproximadora que
ajustasse a forma ou tendência geral dos dados
sem necessariamente passar pelos pontos
individuais. A Figura (c) ilustra como uma reta pode
ser usada para caracterizar a tendência geral dos
dados sem passar por nenhum dos pontos
particulares.
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Regressão Linear
O exemplo mais simples de aproximação por
mínimos quadrados é ajustar uma reta a um
conjunto de pares de observação: (x1, y1), (x2, y2),
..., (xn, yn). A expressão matemática do ajuste por
uma reta é:
onde a0 e a1 são coeficientes representando a
intersecção com o eixo y e a inclinação,
respectivamente, e e é o erro ou resíduo entre o
modelo e a observação, o qual pode ser
representado, depois de se reorganizar a equação
anterior, por:
𝑦𝑖 = 𝑎0,𝑖 + 𝑎1,𝑖 ⋅ 𝑥𝑖 + 𝑟𝑖
𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑎0,𝑖 − 𝑎1,𝑖 ⋅ 𝑥𝑖
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Regressão Linear
Esse critério tem diversas vantagens, incluindo o fato de que ele fornece uma única
reta para um dado conjunto de dados. Antes de se discutir essas propriedades,
será apresentada uma técnica para determinar os valores de a0 e a1 que minimizam
a equação para SR.
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Ajuste por Mínimos Quadrados
Para determinar os valores de a0 e a1, a Equação para SR é derivada com relação a
cada coeficiente:
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Ajuste por Mínimos Quadrados
Igualando essas derivadas a zero será obtido um SR mínimo. Se isso for feito, as
equações podem ser expressas como
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Ajuste por Mínimos Quadrados
Agora, percebendo que a0 = n.a0, pode-se expressar essas equações como um
conjunto de duas equações lineares simultâneas em duas variáveis (a0 e a1):
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Regressão por Mínimos Quadrados
Ajuste por Mínimos Quadrados
Essas são as chamadas equações normais. Elas podem ser resolvidas
simultaneamente:
Esse resultado pode, então, ser usado junto com a equação para
determinar:
onde ¯y e ¯ x são as médias de y e x, respectivamente.
AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
Ajuste uma reta aos valores de x e y nas primeiras duas
colunas da tabela abaixo por uma regressão linear.
AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
Calcule o desvio padrão total, o erro padrão da estimativa e o
coeficiente de correlação para os dados:
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Linearização de modelos não-lineares
A regressão linear fornece uma técnica poderosa para ajustar a
melhor reta aos dados. Entretanto, ela é baseada no fato de
que a relação entre as variáveis dependentes e independentes
é linear. Esse não é sempre o caso e o primeiro passo em
qualquer análise de regressão deveria ser traçar e inspecionar
visualmente os dados para verificar se um modelo linear se
aplica.
Por exemplo, a figura mostra alguns dados que são obviamente
curvilíneos. Em alguns casos, técnicas como regressão
polinomial são apropriadas. Para outros, podem ser usadas
transformações para expressar os dados em uma forma que
seja compatível com a regressão linear.
AJUSTE DE CURVAS
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Regressão por Mínimos Quadrados
Linearização de modelos não-lineares
Um exemplo é o modelo exponencial:
onde α1 e β1 são constantes. Esse modelo é usado em muitos campos da engenharia
para caracterizar quantidades que aumentam (β1 positivo) ou diminuem (β1 negativo) a
uma taxa que é diretamente proporcional a seu próprio valor absoluto. Por exemplo, o
crescimento populacional ou o decaimento radioativo podem exibir tal comportamento
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AJUSTE DE CURVAS
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Exemplo
Ajuste a equação:
aos dados da tabela abaixo usando uma transformação
logarítmica dos dados.
Calcule a energia de ativação (E) para a decomposição
do HI a partir dos seguintes dados:
3838TAXA DE REAÇÃO QUÍMICA
Influência da Temperatura Sobre “Ri”
T (K) 580 620 660 700 740
k (L/(mol.s)) 5,02x10-6 5,87x10-5 5,10x10-4 3,46x10-3 1,91x10-2
Calcule a energia de ativação (E) e o fator de frequência
(A) para os seguintes dados de reação:
3939TAXA DE REAÇÃO QUÍMICA
Influência da Temperatura Sobre “Ri”
T (Kelvin) Ca (-rA)
750 0,7 3,20E-04
800 0,6 4,80E-03
850 0,55 4,40E-02
900 0,53 3,60E-01
950 0,23 3,30E-01
1000 0,11 2,60E-01
−𝑟𝐴 = 𝑘 ⋅ 𝐶𝐴
2,5