5º ED ESTATICA NAS ESTRUTURAS (ENGENHARIA )

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MODULO 11) CApoio fixo – 2 reaçõesApoio móvel – 1 reação na verticalSomatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo)8.2-VB.4-3.6= 0VB = 0,5 tfSomatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)HA= 0Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)VA-8+VB+3=0VA= 5,5 tfR: VA = 5,5tf HA = 0 tf VB 0,5 tf.
2) AApoio fixo – 2 reaçõesApoio móvel – 1 reação da verticalCarga distribuída é aplicada no centro (8tf)Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo)8.2-By.4-3.6= 0VB = 0,5 tfSomatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)Ax+20=0HA= 20tfSomatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)VA-8+VB+3=0VA= 5,5 tfR: HA = 20tf VA = 5,5 tf VB = 0.5 tf.3) CApoio fixo – 2 reaçõesApoio móvel – 1 reação na verticalCarga distribuída é aplicada no centro (40 kN)Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo)5+10.2-40.1-10.2+Ay.2=0VA= 17,5 kNSomatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)10+Bx+15=0
HB= -25 kNSomatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)VA-40+HB-10=0HB= 32,5 kN* R: VA= 17,5 kN , HB= -25 kN, VB= 32,5 kN4) DApoio móvel A – 1 reação na horizontal e momentoApoio móvel B – 1 reação na verticalCarga distribuída dividida em um triângulo e um retângulo. (10 tf e 20 tf respectivamente)Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo)MA – By.2 +20.3 +10.2-10.4=0MA= By.2-73,4Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)HA= 10kNSomatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)VB-20-10+10=0VB=20kNMA=33,4 kNmR: MA = 33,3 kNm HA = 10 kN VB = 20 kN HB = 0.
5) EApoio fixo – duas reaçõesApoio móvel – uma reação em ângulo de 30°, dividida em duas reações (horizontal e vertical)Carga distribuída é aplicada no centro (40 kN)Somatório do Momento em A é igual a 0 (horário positivo)5+Bx.2+15.2-By.2+40.3=0Bx= -77,5 + BySomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positi vo)15+Bx+10-RAx = 025+Bx-RA.sen30=025+(-77,5+By)-RA.sen30=0By= 52,5+RA.sen30Somatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)RAy-10+By-40=0RA.cos30+52,5+RA.sen30-50=0RA= 1,75 kN
VB= 51,5 kNHB= 25,91kNR: RA = 1,75 kN HB = 25,9 kN VB = 51.5 kN.
6) A∑ fx=0F1.sen30°-F2+Rb.sen30°=01500.0,5-1000+Rb.0,5=0Rb=250Nfy = 0F1.cos30°- F2+Rb.cos30°=01500.0,8+Rb.0,8=0Rb=1500NM = 0Rb – F2.4=0Rb=1000.4Rb=4000 N.m7) EPonto A = Duas ReaçõesPonto B = Uma ReaçãoSomatório das Forças Horizontais = 0AH = 0Somatório dos Momentos A = 0- 100*10*6*3 - 100*10*4 + 6*VB = 0VB = (18000 + 4000) / 6VB = 3,67kNSomatório das Forças Verticais = 0VA - 100*10*6 - 100*10 + VB = 0VA = 6000 + 1000 - 3670VA = 3,3kN8) Bfy = 0H=0Em y-150k+Va+Vb-100k=0Va+Vb=250k
Va=100kNMa = 0-150k.4+Vb.20-100k.24=0Vb=150k
MODULO 21) AEngaste – duas reações e o momentoCarga distribuída é aplicada no centro (4 kN)Somatório das Momento no engaste é igual a 0 (horário positivo)M+5.2+4-4.1=0M= -10 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)Rx= -5kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)Ry=4 kNSeção 1Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-2,4.0,6=0M= 1,44 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= -5kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V= -2,4 kN.Seção 2Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-4.3=0M= 12 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= -5kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V= 4 kN.Seção 3Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)5.2+4.2-10+M=0M= -8 kN.m
Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V= 5 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)N= -4 kN.Seção 4Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10+4.2=0M= 2 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 5kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V= - 4 kN2) CApoio fixo B – duas reaçõesApoio móvel A – uma reação na verticalCarga distribuída é aplicada no centro (40 kN)Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo)5+10.2-40.1-10.2+Ay.2=0Ay= 17,5 kNSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)10+Bx+15=0Bx= -25 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)Ay-40+By-10=0By= 32,5 kN.Seção 1Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M=0Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V+10=0V= -10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)17,5+N=0N= - 17,5 kN.Seção 2Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10.1,2=0M= 12 kNmSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V+10=0
V= -10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)17,5+N=0N= - 17,5 kN.Seção 3Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10.2=0M=20 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V+10=0V= -10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)17,5+N=0N= - 17,5 kN.Seção 4Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+40.1-32,5.2+10.4=0M= 15 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)- N-25+15=0N = - 10kNSomatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V-40+32,5-10=0V= 17,5 kN.Seção 5Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+10.2=0M= 20 kN.mSomatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N+15-25=0N= -10 kNSomatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V+32,5-10=0V= -22,5 kN.Seção 6Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+10.2=0M= 20 kNSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)-N+15=0N= 15 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V-10=0V=10 kN
3) EApoio móvel A – uma reação na horizontal e momentoApoio móvel B – uma reação na verticalCarga distribuída dividida em um triângulo e um retângulo. (10 tf e 20 tf respectivamente)Somatório das Momento em A é igual a 0 (horário positivo)MA – By.2 +20.3 +10.2-10.4=0MA= By.2-73,4Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)Ax= 10kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)By-20-10+10=0By=20kNMA=-33,4 kNm.Seção 1Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M=0Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V= 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)N= - 10 kN.Seção 2Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+10.2=0M= 20 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)V= 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)N= - 10 kN.Seção 3Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+10.2=0M= 20 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= - 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V= - 10 kN.Seção 4Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-33,4-10.0,5-2,5.0,33+20.1=0
M= 19,22 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= - 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V-10-2,5+20=0V= -7,5 kN.Seção 5Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-33,4=0M= 33,4 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= - 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)- V+20 = 0V= 20 kN.Seção 6Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-33,4=0M= 33,4 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= - 10 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)V=04) BApoio fixo B – duas reaçõesApoio móvel A – uma reação na verticalCarga distribuída é aplicada no centro (40 kN)Somatório das Momento em B é igual a 0 (horário positivo)-10.4+Ay.2-40.1+10.2=0Ay= 30kNSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)Bx= 0Somatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo)-10-40-10+Ay+By=0By=30kN.Seção1Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M=0Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)V+10=0V=-10 kN
.Seção 2Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10.2=0M=20 kN.mSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório da forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)V+10=0V= -10 kN.Seção 3Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10.2=0M= 20 kNmSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)V-30+10=0V= 20 kN.Seção 4Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M-10.3+30.1-20.0,5=0M= 10 kNmSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)-V+10-30+20=0V=0 kN.Seção 5Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)-M+10.2=0M= 20kNmSomatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)-V+10=0V= 10 kN.Seção 6Somatório das momento no corte é igual a 0 (horário positivo)M=0Somatório das forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo)N= 0 kNSomatório das forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo)-V+10=0V= 10 kN
5) AApoio fixo B – duas reações em ângulo, dividir horizontal e verticalApoio móvel A – uma reação na verticalForças em ângulo, dividir em horizontal e vertical (H= 3 kN, V= 4kN)∑ B = 0 (horário positivo)20.2-Ay.8+20+4.4+3.4=0Ay= 11kN∑x = 0 (direito positivo)3-15+Bxh+Byh=0Bxh+Byh=12Bxh=12-Byh∑ y =0 (pra cima positivo)-4+Ay-20+Byv-Bxv=0Byv-Bxv=13Bxh = Bxcos30 = 6 kNBxv= Bxsen30 = 3,46 kNByh= Rycos60 = 6 kNByv= Rysen60 = 10,39 kNSubstiruindo:Bxh = 12- ByhBx= (12-0,5By) / 0,866Byv-Bxv=130,866By – ((12-0,5By)/0,866).0,5=13By= 12Bx= 6,92.Seção 1∑M= 0 (horário positivo)M=0∑x = 0 (direito positivo)N=-12 kN∑y= 0 (pra cima positivo)V= 7kN.Seção 2∑M=0 (horário positivo)-M+7.2=0M=14 kN∑x= 0 (direito positivo)N=-12 kN∑y = 0 (pra cima positivo)V-20+7=0
V= -13kN.Seção 3∑M= 0 (horário positivo)M=20 kNm∑x =0 (direito positivo)-N-15=0N=-15 kN∑y= a 0 (pra cima positivo)V=0.Seção 4∑M=0 (horário positivo)M=20 kNm∑x= 0 (direito positivo)-N-15=0N=-15 kN∑y= 0 (pra cima positivo)V=0.Seção 5∑M= 0 (horário positivo)M+3.4-11.4=0M= 32kNm∑x= 0 (direito positivo)V+3=0V= 3kN∑y= 0 (pra cima positivo)N+4-11=0N= 7kN.Seção 6∑M=0 (horário positivo)-M+3.2=0M= 6kNm∑x=0 (direito positivo)V+3=0V= 3kN∑y= 0 (pra cima positivo)-N-4=0N= -4kN.Seção 7∑M=0 (horário positivo)M-11.4=0M= 44kNm∑x= 0 (direito positivo)N=0∑y= 0 (pra cima positivo)
V+11=0V= -11kN6) CApoio fixo – duas reaçõesG= 2 kN∑M= 0M+2.2,5=0M= -5 kNm∑x=0Rx=0∑y= 0Ry-2=0Ry= 2kN.Corte∑M=0-M+2.2,5=0M= 5 kNm∑x= 0V=0∑y= 0N+2=0N= -2kN7 ) ASomatória das Forças Horizontais no Corte = 0- F1 + F2Sen30 + N = 0N = -1000 + 1500*0,5N = 250NSomatório das Forças Verticais no Corte = 0F1*Cos + V = 0V = -1500*0,8V = -1200NSomatório dos Momentos no Corte = 0M + F1Cos*d1 = 0M = -1500*0,8*2M = -2400 N.m8)EPonto A = Duas ReaçõesPonto B = Uma ReaçãoSomatório das Forças Horizontais = 0AH = 0Somatório dos Momentos A = 0- 100*10*6*3 - 100*10*4 + 6*VB = 0VB = (18000 + 4000) / 6
VB = 3,67kNSomatório das Forças Verticais = 0VA - 100*10*6 - 100*10 + VB = 0VA = 6000 + 1000 - 3670VA = 3,3kNSomatória das Forças Horizontais no Corte = 0N = 0Somatório das Forças Verticais no Corte = 0VB + V - 100*10*1 = 0V = 1k - 3,67kV = -2,67kNSomatório dos Momentos B = 01*V + 0,5*100*10*1 + M = 0M = -0,5kN + 2,67kNM = 3,17kN.mMODULO 31-ADeve-se fazer o DCL e calcular o ay, bx, by da estrutura. E através do DCL dividir em trêstrechos a estrutura ecalcular a força cortante (V) em cada ponto.Ay= 17,5 ; bx= -25 ; by= 32,5.
Trecho 1: V = -10 KN
Trecho2: de 0 a 1 : V= -10 KNde 1 a 2 : V = -22,5 KN
Trecho 3: V = 10 KN2- CDeve-se fazer o DCL e calcular o ax, ay e Momento na estrutura. Em seguida dividir em2 trechos a estrutura e calcular a normal (N), força cortante (V) e o momento (M).
Ax= 20 KN ; ay= 10KN ; M= 80 KN
Trecho 1: N= 20; V= 10 KN; M(0)= 80 KNm ; M(4)= 40 KNm.
Trecho 2: N= -10; V= -20; M(0)= 0; M(2)= 40KNm.3- EDeve-se fazer o DCL e calcular o ax= 0; ay= 70KN; by= 50 KN. Em seguida dividir em 4trechos a estrutura e calcular a normal (N), força cortante (V) e o momento (M).
Trecho 1: N= O; V= 70 KN; M= 70x; M(0)=0; M(1)= 70KNm
Trecho 2: N= O; V= 30 KN; M= 30x + 70
Trecho 3: N= O; V= 0; M= 100 KNm4- CDeve-se fazer o DCL e calcular o ax= 4 tf; ay=-2 tf; bx= -1 tf. Em seguida dividir em 3 trechos aestrutura e calcular a normal (N) ), força cortante (V) e o momento (M).Trecho 1: N= - 4 tf; V= -2 tf; M= -2x; M(0)=0; M(3)= 6tfm.Trecho 2: N= O; V= 1 tf; M= -x.Trecho 3: N= -5 tf; V= 0; M= 3 tfmTrecho 4: N= O; V= -50 KN; M= 100 – 50x
5-AFazendo o somatório de forças, sabe que a reação dos apoios à carga aplicada no centro é de 25kN, cada um.Fazendo um corte no centro da viga calcula-se que o momento fleto para aquela situação enaquela seção é de 750 kN.6) ASomatório das Reações Horizontais = 0AH = 0Somatório dos Momentos A = 010k*6*3 - BV*6 = 0BV = 180kN / 6BV = 30kNSomatório das Reações VerticaisAV - 60kN + BV = 0
AV = 60kN - 30kNAV = 30kN7) ESomatório das forças horizontais = 0AH + 100k + 100k = 0AH = -200kNSomatório dos Momentos em A = 0-200*200kN -200*100kN + 400*BV = 0BV = (40M + 20M) / 400BV = 50kNSomatório das forças Verticais = 0AV - 200k BV = 0AV = 200k - 50kAV = 150kNTem um esforços positivo de apoio.8) CReações de Apoio:Forças Horizontais = 0AH = 0Somatório dos Momentos A = 0-0,5*9500 + 1,5*BV - 2,75*4000 = 0BV = (4750 + 11000)/1,5BV = 10,5kNForças Verticais = 0AV - 9500 + BV - 4000 = 0AV = 9500 + 4000 - 10500AV = 3kNCorte 0,5cmForça = 0AV = VV = -3kNMomento A = 0M - V*0,5 = 0M = -3k*0,5M = -1,5kN.m.Módulo 41)A
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer somatório de momento eforças.∑M=0M+5+2.2+6.5-1.7=0M= -32 kNm∑x= 0Rx+2=0Rx= -2 kN∑y= 0Ry+1-6=0Ry= 5 kNSegundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento, a forçacortante e a normal em cada um. Escolher o lado mais simples para o cálculo. E por fimsubstituindo os valores de x nas equações consegue determinar as linhas de estado.Trecho 1 (0<=x<=2)N=0V=2 kNM= 2xTrecho 2 (0<=x<=3)N= 2 kNV= 5 kNM= 32-5xTrecho 3 (0<=x<=1)N= 0V= -1M= -xTrecho 4 (1<=x<=3)N=0V= 5M= x-3.x²/2Trecho 5 (3<=x<=4)N=0V=5 kNM= 23-5x
2)AApoio fixo A – Apoio móvel BO primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer∑m e ∑y e ∑x
∑m= 010.2+4.5-By.4=0By= 10kN∑x=0Ax=0∑y=0Ay-10+By-4=0Ay= 4kNSegundo passo é dividir a estrutura em trechos, faz er cortes e calcular o momento, aforça cortante e anormal em cada um. E por fim substit uindo os valores de x nas equações conseguedeterminar as linhasde estado.Trecho 1 (0<=x<=2)N=0V=4 kNM= -4xTrecho 2 (0<=x<=0)N=0V= -6 kNM= 6x-8Trecho 3 (0<=x<=2)N=0V= 2xM= x²3) DO primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer∑m e ∑y e ∑x∑m =0M+4-4.1-5.2=0M= 10kNm∑x =0Rx=5∑y =0Ry= 4kNSegundo passo é dividir a estrutura em trechos, f azer cortes e calcular o momento, aforça cortante e a normal em cada um. E por fim substit uindo os valores de x nasequações consegue determinar as linhasde estado.
Trecho 1 (0<=x<=2)N=5 kNV= -2xM= x²Trecho 2 (0<=x<=0)N=5V= -4 kNM= 4x+4Trecho 3 (0<=x<=2)N= 4kNV= -5kNM= 5x-18Trecho 4 (0 <=x<=2)N=-5kNV= 4 kNM= -4x-104) CO primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer∑m e ∑y e ∑x∑m =0-M+16.2-3.8=0M= 8 kNm∑x=0Rx=0∑y =0Ry+3-16=0Ry= 13 kNSegundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento a forçacortante e a normal em cada um.Trecho 1 (0<=x<=4)N=0V= -4x+13M= 2x²-13x+8Trecho 2 (0<=x<=4)N=0V= -3 kNM= -3x5)B
O primeiro passo é fazer o DCL(Diagrama d e Corpo Livre) e somatório de forças emomento para descobrir as reações dos apoios na estrutura.Segundo passo é dividir aestrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento fletor, a força cortante e a força normalem cada seção. Após os cálculos, descob re-se que para essa estrutura a maior força cortanteque irá atuar na asa e o maior momento fletor e a seção onde eles ocorre são: 30 kN e 25 kNna seção do meio vão entre os apoios.
6) ASomatório das forças horizontais = 0AH + 10k = 0AH = -10KN
Somatório dos Momentos em A = 0-2*10kN - 3*4kN + 4*BV = 0BV = (20kN + 12kN)/4BV = 8kN
Somatório das forças Verticais = 0AV - 10kN - 4kN + BV = 0AV = 6kNCorte H(2m) de A:
Força H = 0AH + VH = 0VH = -AHVH = 10kN
Momento A = 02*VH + M = 0M = -20kNAlém disso, sabemos que em cagas distribuídas, o diagrama do momento fletor é uma curva.
Portanto, com a informação sobre M e a relação diagrama x tipo de carga, podemos dizer que Aestá correto.
7) B
Somatório dos momentos A = 0-6k*3 + BV*4 = 0BV = 4,5kN
Somatório das Forças Verticais = 0AV - 6k + BV = 0AV = 6k - 4,5kAV = 1,5kN
Análise Cisalhante e FletoraCorte 01 (1/2 da barra)AV - V = 0V = -1,5kNM + 1,5k*2 = 0M = 3kN.m
Corte 02 (3/4 da barra)AV - 3k + V = 0V = 3k - 1,5kV = 1,5kNM - 3k*2,5 + 1,5k*3M = 3kN
Note que em 1/2 e em 3/4 da barra os valores para o momento fletor são iguais. Sabemos que,em cargas distribuídas, o diagrama do momento fletor é uma parábola. Assim sendo e com basenos cálculos podemos afirmar que o maior momento fletor acontece no ponto médio entreos cortes 01 e 02, ou seja, a 1,5 metros da extremidade direita.
8) DSomatório das forças Horizontais = 0VC + 10kN = 0VC = -10kN
Somatório dos momentos A = 0-10k*2 - 6k*3 + BV*4 = 0BV = 9,5kN
Somatório das Forças Verticais = 0AV - 6kN +9,5kN = 0AV = -3,5kN
Análise dos Momentos e FletoraCorte 01: 2m a direita de AAV - Vv = 0Vv = -3,5kNM = 3,5*2Mc = 7kN.m
Corte 02: Logo a direita da linha 2mAV - Vv = 0Vv = -3,5kNM -3,5k*2 + 10k*2 = 0M = 20kN
Corte 03: Logo a esquerda de BAv - 6k + Vv = 0Vv = 6k + 3,5kNVv = 9,5kNM - 10k*2 - 3*6kN + 4*9,5 = 0M = 0
Módulo 51)BO primeiro passo é fazer o diagrama dos esforços solicitantes. Nessa estrutura só existe forçanormal
Trecho AB tração (100 kN)Trecho BD compressão (- 200 kN)Trecho DE compressão (- 100kN)
Depois fazer o cálculo das áreas:Aab= 0,04 m²Abd= 0,085 m²Ade= 0,044 m²
Depois calcular as tensões em cada trecho ( Tensão= F/A)Tab = 100.10³ / 0,04Tab = 2,5 MPa
Tbd= -200.10³ / 0,085Tbd= -2,35 MPa
Tde = -100.10³ / 0,044Tde = -2,27 MPa
As tensões extremas são: Tab = 2,5 MPa e Tbd= -2,35 Mpa
2) AAB – trecho comprimido (-30 kN)BC – trecho tracionado (20 kN)
.ABTensão = tensão rup/ FSTensão = 200 MPa/2
Tensão = 100 MPa
Tensão = F/A100.10^6 = 30 .10³ / AA= 3.10^(-4) m²
A= Pi.D²/4D= 0,0195 m ou 19,5 mm
.BCTensão = tensão rup/ FSTensão = 120 MPa/2Tensão = 60 MPa
Tensão = F/A60.10^6 = 20.10³ / AA= 3,33.10^(-4) m²
A= Pi.D²/4D= 0,02059 m ou 20,6 mm
Como a barra é prismática o mínimo diâmetro que satisfaz a condição de esforço e economia éde 20,6mm, aproximadamente 21 mm.
3) DPrimeiro passo é encontrar a tensão admissível. A tensão admissível (Tadm) é a tensão deescoamento sobre o fator de segurança.Tesc= 2400.104 kgf/m² Fs= 3
Tadm=2400.104 / 3Tadm= 800.104 kgf/m²
Depois encontrar a força total que age no sistema.
A força total que o cabo aguenta é a carga (640 kgf) somado ao peso de sua cabina (260 kgf)Ft= 640+260Ft= 900 kgf
O próximo passo é calcular a área e por fim encontrar o diâmetro. Pela fórmula (Tensão =F/A), consigo encontrar a área para calcula o diâmetro do cabo. 800.104= 900 / AA= 1,125.10-4 m²
A= (Pi).D² / 41,125.10-4 = (Pi).D² / 4D= 0,00119 m ou D= 12 mm
*Condição de deslocamento.Para satisfazer esta condição, se deve lembrar que o degrau na parada é consequênciada variação de posição provocada pela entrada ou saída de carga no elevador; assim, omaior degrau acontece com a aplicação da carga máxima permitida (640kgf). Destaforma, a força normal que deve ser usada para a satisfação dessa condição, é estacapacidade de carga do elevador. Lembrando que, aumentando o comprimento cresce avariação no comprimento provocada pela força normal, se faz necessário usar ocomprimento máximo desenrolado (48m) para satisfazer esta condição.
Deslocamento = F . L / E. A0,010 = 640 . 48 / 2,1 .10^10 . AA= 1,46.10^(-4) m²
O diâmetro do cabo deve ser:D= 14 mm
4) Ea) O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de corpo livre) e calcular o momento
Somatório de momento em A é igual a 0 ( horário positivo)F.4-80.2=0
F= 40 kN (tensão no cabo)
Tensão Adm = Tesc/FSTensão Adm = 215 MPa
Depois pela fórmula (Tensão = F/A), calcular a área e por fim encontrar o diâmetro do cabo.215.106 = 40.103 / AA= 1,86.10^(-4) m²
A= (Pi).D² / 41,86.10^(-4) =(Pi).D² / 4D= 0,01539 m ou D= 15,4 mm
b)Para calcular o deslocamento, o primeiro passo é encontrar a deformação pela fórmula:
Tensão = Deformação . EDeformação= 215.106 / 210.109Deformação= 1,02.10^(-3)
Enfim o deslocamento calcula-se pela fórmula: Deformação = variação L / L1,02.10^(-3) = variação L / 3,8 mVariação L= 3,89.10^(-3) m ouDeslocamento= 3,9 mm
5) BO primeiro passo é descobrir qual é a tensão admissível na estruturaT = F/A
A força é dada no problema, falta a área que dá pra calcular pela fórmula: A = (Pi).D² /4Obs: como é um elo, são duas áreas.
A= 2.(Pi).0,005² / 4A= 3,92.10^(-5) m²
Depois só calcular a tensão:T= 2.5.10³ / 3,92.10^(-5)T = 63,66 MPa
Agora para cada material utilizamos a fórmula:Tadm = Tesc / FS“FS = Tesc / Tadm”
Material AFS = 200 MPa / 63,66 MPaFS= 3,14
Material BFS = 480 MPa/63,66 MPaFS = 7,54
Material CFS = 600 MPa/63,66 MPaFS= 9,42O material que tem o coeficiente de segurança mais próximo do especificado é o B
6) ATensão Normal = Força Axial / ÁreaTN = 235kN / 0,015*0,1*2TN = 78,33MPa ou 100Mpa
7) CForça Axial = Massa * GravidadeFax = 75Kg * 10m/s^2Fax = 750 N5 Vezes o seu peso: 750*5 = 3,75kN
Área da Tíbia = 0,25*3,14*(Dex^2 - Din^2)Atib = 0,25*3,14*(0,045^2 - 0,025^2)Atib = 1,099E-3 m^2
Tensão Axial = Força Axial / ÁreaTax = 3,75k / 1,099E-3Tax = 3,4Mpa
8) BÁrea AB = 0,25*3,14*0,004^2Aab = 1,25E-5Área BC = 0,25*3,14*0,006^2Abc = 2,82E-5
Somatório das Forças em (X)AB = BCx
Somatório das Forças em (Y)8kN = BCyTensão BCy = 8kN / 2,82E-5Tensão BCy = 0,28GPa
Teste Tensão AB = 8kN / 1,25E-5Teste Tensão AB = 0,64GPa0,28GPa / 0,64Pa = 0,4375CosTETA = 0,4375TETA = 63,6º
Módulo 61) BO primeiro passo é fazer somatório de forças e momento na estrutura, dessa forma ficaremoscom duas equações e três incógnitas. Para encontrar a terceira equação faz um cálculo de
variação do (L) do cabo B menos o do cabo C esta para a variação do (L) do cabo A menos docabo C, como 1 esta para 3. Fica assim:(Variação LB – Variação LC) / 1 = (Variação LA – Variação LC) / 3
Obs: analisando a figura, com a concentração do cabo no centro da barra, a variação do (L) nocabo A, é maior que a variação do (L) no cabo B que é maior que a variação do (L) no cabo C.
Depois é só substituir as variações do L pela fórmula: L.F/A.E, por fim conseguimos encontrar aterceira equação, o que nos permite encontrar as reações dos 3 cabos. A força que irá atuar nocabo da direita é: 1,73 kN
2) EEfeito térmico = Efeito MecânicoAlfa.L.Variação da temperatura = F.L / A.E.Como o L tem nas duas equações, pode cortar
F= Alfa.Variação da temperatura.A.EF= 1,2.10^(-5) . 20.5.2100F= 2,52 tf
No trecho AB a barra sofre tração (+), e no trecho CD a barra sofre compressão ( -)
Trecho ABFR = força que atua no trecho + Força causada pelo efeito térmico.FR=2,52tf + 10 tfFR= 12,52 tf
Trecho CDFR = força que atua no trecho – Força causada pelo efeito térmico.FR = 10tf – 2,52 tfFR= 7,48 tf
3) A
O primeiro passo é calcular a força de tração do cabo. .Força de tração = 50 kN
Para calcular a área usa a fórmula:Tensão = E. Deformação ; entãoF/A = E. Variação de L / LA = F.L / E. variação L
E é só substituir os valores dado no problema:
A= 50.10³.5 / 200.10^6 . 2.10^(-3)A= 0,000625 m² ou 625mm²
4) CA barra horizontal sofre compressão, então para calcular a área usa a tensãoadmissível decompressão.A força encontra-se pela análise da estrutura.A força é de aproximadamente 52 kN
Tensão = F/A150.10³ kPa = 52 kN / AA= 0,000346 m²
Pela fórmula da área do círculo, calcula-se o diâmetro:D= 21mm
5) EVariação do Comprimento por Dilatação + Variação do Comprimento por Tração = 0(a * L * T) - (N*L / E*A) = 0N = a*A*T*EN = 1,1E-5*4E-4*50*200E-9N = 44kN
6) CA barra não sofrerá esforço de compressão, apenas alongamento e tração. = 07) D(N*L)/(E*A) = DN = D*E*A/LN = 5E-4*200E9*(0,25*3,14*0,02^2)/0,8N = 382N
8) B(N*L)/(E*A) = DD = (10E3*0,6)/(200E9*(0,02*0,03)D = 0,552m
Módulo 7
1) ADados:T = 4,5 kN.md = 75 mmL = 1,2 m
τ = (T x R) / ItIt = π x d^4 / 32It = π x 0,075^4 / 32It = 3,1 x 10^-6τ = (T x R) / Itτ = (4,5 x 10^3 x 0,0375) / 3,1 x 10^-6τ = 54,32 Mpa
2) C
Mt = 4,5 kN.m = 4,5.103N.mD = 75mm = 0,075m
L = 1,2mG = 27GPa = 27.109Pa
.Calcular o ângulo de torção:θ = Mt x L / Jp x G (I)
.Calcular o momento polar de inércia do círculo: Jp =∏ x d4 / 32 (II)
.Substituir II em I tem se:θ = 32 x Mt x L / ∏ x d4 x Gθ = 32 x 4,5.103 x 1,2 / ∏ x (0,075)4 x 27.109θ = 0,064 rad
3) B∅a + ∅b=0.. – .. =0Ta.La.G.Ipb=Tb.Lb.G.IpaTa= . . . .. . .Ta=Tb. =5.103. ≅1,7KN.m
4) Aω = 2πf = 2π. 20 = 40π rpmP = T. ωT = Pω = 30. 1040π = 254,65N. mτmax = T. rIp = 254,65.0,009π. 0,01832 = 221 Mpa∅ = T. LG. Ip = 254,65.0,675. 10 . π. 0,0832
∅ = 0,1977 = 11,33
5) C∅ = 40.180. 10 π. (0,02 − 0,015 )32 = 0,0466 radAssumindo deslocamento vertical como δ:δ = ∅. Ld = 0,0466.300mm = 13,98mm ≅ 14mm
6) AM = 0600.0,075-T=0T=45N.mτmax = .. = ..( , ) = 1,5 Mpa
7)dAB = 200mm = 0,02mdAB =17mm=0,017mIp , , , .Tab = F. d = 75.0,15 = 11,25 N. m
dBC = 25mm = 0,025mdBC = 22mm = 0,022mIp , , , .Tab = F. d = 75.0,2 = 15 N. mτmax = TAB + TBC = 26,25N. mτmax = Tmax. Re = 26,25.0,017,508. 10 = 34,96Mpa ≅ 35Mpaτmax = Tmax. Re = 26,25.0,01251,535. 10 = 21,38Mpa ≅ 21,4Mpa
8)= . . = . . . , ≅ 3,37 . resposta certa é (d)3,37Módulo 81) BΘ = ( T x L) / G x It)² + ( T x L) / G x It)¹ = -250 x 10³ Nmm x 400mm/77x10³N/mm²xπ(30mm)^4/32 + 1750x10³Nmm x 80mm/77x10³N/mm²x π x(50mm)^4/32Θ = 0,00133 rad = 0,76º
2) AΘ = ( T x L / G x It)² + ( T x L / G x It)¹ = -T2 X 400mm / 77 x 10³ N/mm² x π x (30mm)^4 /32 + (2000 x 10³Nmm – T2)x800mm / 77 x 10³ N/mm² x π x (50mm)^4 / 32-T2 x 400mm / (30 mm)^4 + (2000 x 10³Nmm – T2) x 800 mm / (50mm)^4T2=41,2Mpa3) C .. ( ) + ( − ). ( − ). ( ) = 0+ = = = 2 , r :2 .. ( ) + − 2 . ( − ). ( ) = 0
( ) = . (30 )32 = 79521,6
( ) = . ((50 ) − (30 ) )32 = 534071
79521,6 = ( − )5340716,72a=L-a
7,72a=L = 0,13
4) B= = 16. ( − )
600 = 3000 . 100016.40 ((40 ) − )
(40 ) − = 3000 . 100016.40 . 600
(40mm) − 3000N . 1000mmπ16.40mm . 600Nmm
d= ( ) .. .d=35mm5)D∅bc = Tab. LabG. Ip = 85.0,2575. 10 π. (0,02 − 0,03 )32 = 0,018 rad∅bc = Tab. LabG. Ip = 85.0,2575. 10 π. (0,02 − 0,03 )32 = 0,003298 rad∅ad = ∅ab + ∅bc + ∅cd, como ∅cd, então∅ad = 0,018 + 0,003298 + 0,018∅ad = 0,039rad ≅ 0,04 rad
6)∅ab = .. = , . . ,. . , = 0,00631 rad = 0,36° ≅ 0,4° resposta certa é (B) 0,8°
7) C∅bc = Tbd. LbcG. Ip = 636.0,1584. 10 π. 0,0332 = 0,01428 rad = 0,82° ≅ 0,9°8) NÃO A JUSTIFICATIVA PORQUE NÃO HÁ EXERCÍCIO PARA RESOLVER APENAS ASALTERNATIVA.