ED 5º sem - Estatica nas estruturas UNIP

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EXERCÍCIOS DE ED 
*Módulo 1 
1) C 
Apoio fixo – 2 reações 
Apoio móvel – 1 reação na vertical 
 
Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo) 
8.2-By.4-3.6= 0 
By = -0,5 tf 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Ax= 0 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ay-8+By+3=0 
Ay= 5,5 tf 
 
2) A 
Apoio fixo – 2 reações 
Apoio móvel – 1 reação da vertical 
Carga distribuída é aplicada no centro (8tf) 
 
Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo) 
8.2-By.4-3.6= 0 
By = -0,5 tf 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Ax+20=0 
Ax= -20tf 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ay-8+By+3=0 
Ay= 5,5 tf 
 
3) C 
Apoio fixo – 2 reações 
Apoio móvel – 1 reação na vertical 
Carga distribuída é aplicada no centro (40 kN) 
 
Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo) 
5+10.2-40.1-10.2+Ay.2=0 
Ay= 17,5 kN 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
10+Bx+15=0 
Bx= -25 kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ay-40+By-10=0 
By= 32,5 kN 
* Resposta correta é: VA= 17,5 kN , HB= -25 kN, VB= 32,5 kN 
 
4) D 
Apoio móvel A – 1 reação na horizontal e momento 
Apoio móvel B – 1 reação na vertical 
Carga distribuída dividida em um triângulo e um retângulo. (10 tf e 20 tf respectivamente) 
 
Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo) 
MA – By.2 +20.3 +10.2-10.4=0 
MA= By.2-73,4 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Ax= 10kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
By-20-10+10=0 
By=20kN 
 
MA=-33,4 kNm 
 
5) E 
Apoio fixo – 2 reações 
Apoio móvel – 1 reação em ângulo de 30°, dividida em 2 reações (horizontal e vertical) 
Carga distribuída é aplicada no centro (40 kN) 
 
Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo) 
5+Bx.2+15.2-By.2+40.3=0 
Bx= -77,5 + By 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
15+Bx+10-RAx = 0 
25+Bx-RA.sen30=0 
25+(-77,5+By)-RA.sen30=0 
By= 52,5+RA.sen30 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
RAy-10+By-40=0 
RA.cos30+52,5+RA.sen30-50=0 
RA= -1,82 kN 
 
By= 51,59 kN 
 
Bx= -25,91kN 
 
*Módulo 2 
 
1) A 
Engaste – 2 reações e o momento 
Carga distribuída é aplicada no centro (4 kN) 
 
Somatório de Momento no engaste é igual a 0 (horário positivo) 
M+5.2+4-4.1=0 
M= -10 kN.m 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Rx= -5kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ry=4 kN 
 
*Seção 1 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-2,4.0,6=0 
M= 1,44 kN.m 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= -5kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V= -2,4 kN 
 
*Seção 2 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-4.3=0 
M= 12 kN.m 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= -5kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V= 4 kN 
 
*Seção 3 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
5.2+4.2-10+M=0 
M= -8 kN.m 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V= 5 kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
N= -4 kN 
 
*Seção 4 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10+4.2=0 
M= 2 kN.m 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 5kN 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V= - 4 kN 
 
2) C 
Apoio fixo B – 2 reações 
Apoio móvel A – 1 reação na vertical 
Carga distribuída é aplicada no centro (40 kN) 
 
Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo) 
5+10.2-40.1-10.2+Ay.2=0 
Ay= 17,5 kN 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
10+Bx+15=0 
Bx= -25 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ay-40+By-10=0 
By= 32,5 kN 
 
*Seção 1 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=0 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V+10=0 
V= -10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
17,5+N=0 
N= - 17,5 kN 
 
*Seção 2 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10.1,2=0 
M= 12 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V+10=0 
V= -10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
17,5+N=0 
N= - 17,5 kN 
 
*Seção 3 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10.2=0 
M=20 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V+10=0 
V= -10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
17,5+N=0 
N= - 17,5 kN 
 
*Seção 4 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+40.1-32,5.2+10.4=0 
M= 15 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
- N-25+15=0 
N = - 10kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V-40+32,5-10=0 
V= 17,5 kN 
 
*Seção 5 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+10.2=0 
M= 20 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N+15-25=0 
N= -10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V+32,5-10=0 
V= -22,5 kN 
 
*Seção 6 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+10.2=0 
M= 20 kN 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
-N+15=0 
N= 15 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V-10=0 
V=10 kN 
 
3) E 
Apoio móvel A – 1 reação na horizontal e momento 
Apoio móvel B – 1 reação na vertical 
Carga distribuída dividida em um triângulo e um retângulo. (10 tf e 20 tf respectivamente) 
 
Somatório de Momento em A é igual a 0 (horário positivo) 
MA – By.2 +20.3 +10.2-10.4=0 
MA= By.2-73,4 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Ax= 10kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
By-20-10+10=0 
By=20kN 
 
MA=-33,4 kNm 
 
*Seção 1 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=0 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V= 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
N= - 10 kN 
 
*Seção 2 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+10.2=0 
M= 20 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V= 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
N= - 10 kN 
 
*Seção 3 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+10.2=0 
M= 20 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= - 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V= - 10 kN 
 
*Seção 4 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-33,4-10.0,5-2,5.0,33+20.1=0 
M= 19,22 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= - 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V-10-2,5+20=0 
V= -7,5 kN 
 
*Seção 5 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-33,4=0 
M= 33,4 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= - 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
- V+20 = 0 
V= 20 kN 
 
*Seção 6 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-33,4=0 
M= 33,4 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= - 10 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V=0 
 
4) B 
Apoio fixo B – 2 reações 
Apoio móvel A – 1 reação na vertical 
Carga distribuída é aplicada no centro (40 kN) 
 
Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo) 
-10.4+Ay.2-40.1+10.2=0 
Ay= 30kN 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Bx= 0 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
-10-40-10+Ay+By=0 
By=30kN 
 
*Seção 1 
Somatóriode momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=0 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
V+10=0 
V=-10 kN 
 
*Seção 2 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10.2=0 
M=20 kN.m 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
V+10=0 
V= -10 kN 
 
*Seção 3 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10.2=0 
M= 20 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
V-30+10=0 
V= 20 kN 
 
*Seção 4 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-10.3+30.1-20.0,5=0 
M= 10 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
-V+10-30+20=0 
V=0 kN 
 
*Seção 5 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+10.2=0 
M= 20kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
-V+10=0 
V= 10 kN 
 
*Seção 6 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=0 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N= 0 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra baixo positivo) 
-V+10=0 
V= 10 kN 
 
5) A 
Apoio fixo B – 2 reações em ângulo, dividir horizontal e vertical 
Apoio móvel A – 1 reação na vertical 
Forças em ângulo, dividir em horizontal e vertical (H= 3 kN, V= 4kN) 
 
Somatório de Momento em B é igual a 0 (horário positivo) 
20.2-Ay.8+20+4.4+3.4=0 
Ay= 11kN 
 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
3-15+Bxh+Byh=0 
Bxh+Byh=12 
Bxh=12-Byh 
 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
-4+Ay-20+Byv-Bxv=0 
Byv-Bxv=13 
 
Bxh = Bxcos30 = 6 kN 
Bxv= Bxsen30 = 3,46 kN 
Byh= Rycos60 = 6 kN 
Byv= Rysen60 = 10,39 kN 
 
Substiruindo: 
Bxh = 12- Byh 
Bx= (12-0,5By) / 0,866 
 
Byv-Bxv=13 
0,866By – ((12-0,5By)/0,866).0,5=13 
By= 12 
Bx= 6,92 
 
*Seção 1 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=0 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N=-12 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V= 7kN 
 
*Seção 2 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+7.2=0 
M=14 kN 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N=-12 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V-20+7=0 
V= -13kN 
 
*Seção 3 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=20 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
-N-15=0 
N=-15 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V=0 
 
*Seção 4 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M=20 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
-N-15=0 
N=-15 kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V=0 
 
*Seção 5 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M+3.4-11.4=0 
M= 32kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V+3=0 
V= 3kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
N+4-11=0 
N= 7kN 
 
*Seção 6 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+3.2=0 
M= 6kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V+3=0 
V= 3kN 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
-N-4=0 
N= -4kN 
 
*Seção 7 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
M-11.4=0 
M= 44kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
N=0 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
V+11=0 
V= -11kN 
 
6) C 
Apoio fixo – 2 reações 
G= 2 kN 
 
Somatório de Momento no apoio é igual a 0 (horário positivo) 
M+2.2,5=0 
M= -5 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
Rx=0 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ry-2=0 
Ry= 2kN 
 
*Corte 
Somatório de momento no corte é igual a 0 (horário positivo) 
-M+2.2,5=0 
M= 5 kNm 
Somatório de forças no eixo x é igual a 0 (direito positivo) 
V=0 
Somatório de forças no eixo y é igual a 0 (pra cima positivo) 
N+2=0 
N= -2kN 
 
* Módulo3 
 
1-A 
Deve-se fazer o DCL e calcular o ay, bx by da estrutura. E através do DCL dividir em três trechos a estrutura e 
calcular a força cortante (V) em cada ponto. 
Ay= 17,5 ; bx= -25 ; by= 32,5. 
 
Trecho 1: V = -10 KN 
 
Trecho2: de 0 a 1 : V= -10 KN 
 de 1 a 2 : V = -22,5 KN 
 
Trecho 3: V = 10 KN 
 
2- C 
Deve-se fazer o DCL e calcular o ax, ay e Momento na estrutura. Em seguida dividir em 2 trechos a estrutura e 
calcular a normal (N), força cortante (V) e o momento (M). 
 
Ax= 20 KN ; ay= 10KN ; M= 80 KN 
 
Trecho 1: N= 20; V= 10 KN; M(0)= 80 KNm ; M(4)= 40 KNm. 
 
Trecho 2: N= -10; V= -20; M(0)= 0; M(2)= 40KNm. 
 
3- E 
Deve-se fazer o DCL e calcular o ax= 0; ay= 70KN; by= 50 KN. Em seguida dividir em 4 trechos a estrutura e 
calcular a normal (N) ), força cortante (V) e o momento (M). 
 
Trecho 1: N= O; V= 70 KN; M= 70x; M(0)=0; M(1)= 70KNm 
 
Trecho 2: N= O; V= 30 KN; M= 30x + 70 
 
Trecho 3: N= O; V= 0; M= 100 KNm 
 
Trecho 4: N= O; V= -50 KN; M= 100 – 50x 
 
4- C 
Deve-se fazer o DCL e calcular o ax= 4 tf; ay= -2 tf; bx= -1 tf. Em seguida dividir em 3 trechos a estrutura e calcular 
a normal (N) ), força cortante (V) e o momento (M). 
 
Trecho 1: N= - 4 tf; V= -2 tf; M= -2x; M(0)=0; M(3)= 6tfm. 
 
Trecho 2: N= O; V= 1 tf; M= -x. 
 
Trecho 3: N= -5 tf; V= 0; M= 3 tfm 
 
5-A 
Fazendo o somatório de forças, sabe que a reação dos apoios à carga aplicada no centro é de 25 kN (cada um). 
 
Fazendo um corte no centro da viga calcula-se que o momento fletor para aquela situação e naquela seção é de 750 
kN. 
 
* Módulo 4 
 
1)A 
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer somatório de momento e forças 
 
Somatório de momento é igual a 0 (horário positivo) 
M+5+2.2+6.5-1.7=0 
M= -32 kNm 
 
Somatório de forças na horizontal é igual a 0 (Direita positivo) 
Rx+2=0 
Rx= -2 kN 
 
Somatório de forças na vertical é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ry+1-6=0 
Ry= 5 kN 
 
Segundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento, a força cortante e a 
normal em cada um. Escolher o lado mais simples para o cálculo. E por fim substituindo os valores de x 
nas equações consegue determinar as linhas de estado. 
 
Trecho 1 (0<=x<=2) 
N=0 
V=2 kN 
M= 2x 
 
Trecho 2 (0<=x<=3) 
N= 2 kN 
V= 5 kN 
M= 32-5x 
 
Trecho 3 (0<=x<=1) 
N= 0 
V= -1 
M= -x 
 
Trecho 4 (1<=x<=3) 
N=0 
V= 5 
M= x-3.x²/2 
 
Trecho 5 (3<=x<=4) 
N=0 
V=5 kN 
M= 23-5x 
 
2)A 
Apoio fixo (A) – Apoio móvel (B) 
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer somatório de momento e forças 
 
Somatório de momento (no apoio fixo) é igual a 0 (horário positivo) 
10.2+4.5-By.4=0 
By= 10kN 
 
Somatório de forças na horizontal é igual a 0 (Direita positivo) 
Ax=0 
 
Somatório de forças na vertical é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ay-10+By-4=0 
Ay= 4kN 
 
Segundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento, a força cortante e a 
normal em cada um. E por fim substituindo os valores de x nas equações consegue determinar as linhas de 
estado. 
 
Trecho 1 (0<=x<=2) 
N=0 
V=4 kN 
M= -4x 
 
Trecho 2 (0<=x<=0) 
N=0 
V= -6 kN 
M= 6x-8 
 
Trecho 3 (0<=x<=2) 
N=0 
V= 2x 
M= x² 
 
3) D 
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer somatório de momento e forças 
 
Somatório de momento é igual a 0 (horário positivo) 
M+4-4.1-5.2=0 
M= 10kNm 
 
Somatório de forças na horizontal é igual a 0 (Direita positivo) 
Rx=5 
 
Somatório de forças na vertical é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ry= 4kNSegundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento, a força cortante e a 
normal em cada um. E por fim substituindo os valores de x nas equações consegue determinar as linhas de 
estado. 
 
Trecho 1 (0<=x<=2) 
N=5 kN 
V= -2x 
M= x² 
 
Trecho 2 (0<=x<=0) 
N=5 
V= -4 kN 
M= 4x+4 
 
Trecho 3 (0<=x<=2) 
N= 4kN 
V= -5kN 
M= 5x-18 
 
Trecho 4 (0 <=x<=2) 
N=-5kN 
V= 4 kN 
M= -4x-10 
 
4) C 
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre) e fazer somatório de momento e forças 
 
Somatório de momento (no apoio fixo) é igual a 0 (horário positivo) 
-M+16.2-3.8=0 
M= 8 kNm 
 
Somatório de forças na horizontal é igual a 0 (Direita positivo) 
Rx=0 
 
Somatório de forças na vertical é igual a 0 (pra cima positivo) 
Ry+3-16=0 
Ry= 13 kN 
 
Segundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento a força cortante e a 
normal em cada um. 
Trecho 1 (0<=x<=4) 
N=0 
V= -4x+13 
M= 2x²-13x+8 
 
Trecho 2 (0<=x<=4) 
N=0 
V= -3 kN 
M= -3x 
 
5)B 
O primeiro passo é fazer o DCL(Diagrama de Corpo Livre) e somatório de forças e momento para descobrir 
as reações dos apoios na estrutura. 
Segundo passo é dividir a estrutura em trechos, fazer cortes e calcular o momento fletor, a força cortante e 
a força normal em cada seção. 
Após os cálculos, descobre-se que para essa estrutura a maior força cortante que irá atuar na asa e o maior 
momento fletor e a seção onde eles ocorre são: 30 kN e 25 kN na seção do meio vão entre os apoios. 
 
* Módulo 5 
 
1)B 
O primeiro passo é fazer o diagrama dos esforços solicitantes. Nessa estrutura só existe força normal 
 
Trecho AB – tração (100 kN) 
Trecho BD – compressão (- 200 kN) 
Trecho DE – compressão (- 100kN) 
 
Depois precisa fazer o cálculo das áreas: 
Aab= 0,04 m² 
Abd= 0,085 m² 
Ade= 0,044 m² 
 
Enfim calcular as tensões em cada trecho ( Tensão= F/A) 
Tab = 100.10³ / 0,04 
Tab = 2,5 MPa 
 
Tbd= -200.10³ / 0,085 
Tbd= -2,35 MPa 
 
Tde = -100.10³ / 0,044 
Tde = -2,27 MPa 
 
As tensões extremas são: Tab = 2,5 MPa e Tbd= -2,35 MPa 
 
2) A 
AB – trecho comprimido (-30 kN) 
BC – trecho tracionado (20 kN) 
 
*AB 
Tensão = tensão rup/ FS 
Tensão = 200 MPa/2 
Tensão = 100 MPa 
 
Tensão = F/A 
100.10^6 = 30 .10³ / A 
A= 3.10^(-4) m² 
 
A= Pi.D²/4 
D= 0,0195 m ou 19,5 mm 
 
*BC 
Tensão = tensão rup/ FS 
Tensão = 120 MPa/2 
Tensão = 60 MPa 
 
Tensão = F/A 
60.10^6 = 20.10³ / A 
A= 3,33.10^(-4) m² 
 
A= Pi.D²/4 
D= 0,02059 m ou 20,6 mm 
 
Como a barra é prismática o mínimo diâmetro que satisfaz a condição de esforço e economia é de 20,6mm, 
aproximadamente 21 mm. 
 
3) D 
Primeiro passo é encontrar a tensão admissível. A tensão admissível (Tadm )é a tensão de escoamento sobre 
o fator de segurança 
Tesc= 2400.104 kgf/m² Fs= 3 
 
Tadm=2400.104 / 3 
Tadm= 800.104 kgf/m² 
 
Depois encontrar a força total que age no sistema. 
A força total que o cabo aguenta é a carga (640 kgf) somado ao peso de sua cabina (260 kgf) 
Ft= 640+260 
Ft= 900 kgf 
 
O próximo passo é calcular a área e por fim encontrar o diâmetro. 
Pela fórmula (Tensão = F/A), consigo encontrar a área para calcula o diâmetro do cabo. 
800.104= 900 / A 
A= 1,125.10-4 m² 
 
A= (Pi).D² / 4 
1,125.10-4 = (Pi).D² / 4 
D= 0,00119 m ou D= 12 mm 
 
*Condição de deslocamento. 
Para satisfazer esta condição, se deve lembrar que o degrau na parada é conseqüência da variação de posição 
provocada pela entrada ou saída de carga no elevador; assim, o maior degrau acontece com a aplicação da 
carga máxima permitida (640kgf). Desta forma, a força normal que deve ser usada para a satisfação dessa 
condição, é esta capacidade de carga do elevador. Lembrando que, aumentando o comprimento cresce a 
variação no comprimento provocada pela força normal, se faz necessário usar o comprimento máximo 
desenrolado (48m) para satisfazer esta condição. 
 
Deslocamento = F . L / E. A 
0,010 = 640 . 48 / 2,1 .10^10 . A 
A= 1,46.10^(-4) m² 
 
O diâmetro do cabo deve ser: 
D= 14 mm 
 
4) E 
a) O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de corpo livre) e calcular o momento 
 
Somatório de momento em A é igual a 0 ( horário positivo) 
F.4-80.2=0 
F= 40 kN (tensão no cabo) 
 
Tensão Adm = Tesc/FS 
Tensão Adm = 215 MPa 
 
Depois pela fórmula (Tensão = F/A), calcular a área e por fim encontrar o diâmetro do cabo. 
215.106 = 40.103 / A 
A= 1,86.10^(-4) m² 
 
 A= (Pi).D² / 4 
1,86.10^(-4) =(Pi).D² / 4 
D= 0,01539 m ou D= 15,4 mm 
 
b)Para calcular o deslocamento, o primeiro passo é encontrar a deformação pela fórmula: 
 
Tensão = Deformação . E 
Deformação= 215.106 / 210.109 
Deformação= 1,02.10^(-3) 
 
Enfim o deslocamento calcula-se pela fórmula: Deformação = variação L / L 
1,02.10^(-3) = variação L / 3,8 m 
Variação L= 3,89.10^(-3) m ou 
Deslocamento= 3,9 mm 
 
5) B 
O primeiro passo é descobrir qual é a tensão admissível na estrutura 
T = F/A 
 
A força é dada no problema, falta a área que dá pra calcular pela fórmula: A = (Pi).D² /4 
Obs: como é um elo, são duas áreas. 
 
A= 2.(Pi).0,005² / 4 
A= 3,92.10^(-5) m² 
 
Depois só calcular a tensão: 
T= 2.5.10³ / 3,92.10^(-5) 
T = 63,66 MPa 
 
Agora para cada material utilizamos a fórmula: 
Tadm = Tesc / FS 
“FS = Tesc / Tadm” 
 
Material A 
FS = 200 MPa / 63,66 MPa 
FS= 3,14 
 
Material B 
FS = 480 MPa/63,66 MPa 
FS = 7,54 
 
Material C 
FS = 600 MPa/63,66 MPa 
FS= 9,42 
 
O material que tem o coeficiente de segurança mais próximo do especificado é o B 
 
*Módulo 6 
 
1) B 
O primeiro passo é fazer somatório de forças e momento na estrutura, dessa forma ficaremos com duas 
equações e três incógnitas. 
Para encontrar a terceira equação faz um cálculo de semelhanças, ou seja, a variação do (L) do cabo B 
menos o do cabo C esta para a variação do (L) do cabo A menos do cabo C, como 1 esta para 3. 
Fica assim: 
(Variação LB – Variação LC) / 1 = (Variação LA – Variação LC) / 3 
 
Obs: analisando a figura, com a concentração do cabo no centro da barra, a variação do (L) no cabo A, é 
maior que a variação do (L) no cabo B que é maior que a variação do (L) no cabo C. 
 
Depois é só substituir as variações do L pela fórmula: L.F / A.E , por fim conseguimos encontrar a terceira 
equação, o que nos permite encontrar as reações dos 3 cabos. A força que irá atuar no cabo da direita é: 
1,73 kN 
 
2) E 
Efeito térmico = Efeito Mecânico 
Alfa.L.Variação da temperatura = F.L / A.E (Como o L tem nas duas equações, pode cortar) 
F= Alfa.Variação da temperatura.A.E 
F= 1,2.10^(-5) . 20.5.2100 
F= 2,52 tf 
 
No trecho AB a barra sofre tração (+), e no trecho CD a barra sofre compressão (-) 
 
Trecho AB 
FR = força que atua no trecho + Força causada pelo efeito térmico 
FR=2,52tf + 10 tf 
FR= 12,52 tf 
 
Trecho CD 
FR = força que atua no trecho – Força causada pelo efeito térmico 
FR = 10tf – 2,52 tf 
FR= 7,48 tf 
 
3) A 
O primeiro passo é calcular a força de tração do cabo. Para isso usa o Somatório de momento no apoio 
Força de tração = 50 kN 
 
Para calcular a área usa a fórmula: 
Tensão = E. Deformação ; então 
F/A = E. Variação de L / L 
A = F.L / E. variação L 
 
E é só substituir os valores dado no problema: 
 
A= 50.10³.5 / 200.10^6 . 2.10^(-3) 
A= 0,000625 m² ou 625mm² 
 
4) C 
A barra horizontal sofre compressão, então para calcular a área usa a tensão admissível de compressão. 
A força encontra-se pela análise da estrutura. 
A força é de aproximadamente 52 kN 
 
Tensão = F/A 
150.10³ kPa = 52 kN / A 
A= 0,000346 m² 
 
Pela fórmula da área do círculo, calcula-se o diâmetro: 
D= 21mm 
 
*Módulo 7 
 
1) A 
Primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. Neste exercício meio 1/4 de círculo e um 
triângulo. Depois consultar tabelas de centróides de figuras conhecidas e que se enquadrem nas figuras 
simples. 
Depois montar uma tabela com as informações tiradas da figura e das tabelas de centróides. 
Figura 1 (1/4 de círculo) 
Área = 452,39 mm² 
Alfa= 19,18 mm 
Beta= 1,81 mm 
 
Figura 2 (triângulo) 
Área= 144 mm² 
Alfa=13 mm 
Beta= 8 mm 
 
Por fim pra calcular a posição do centro da gravidade no eixo Alfa, pega a A.Alfa(1/4 círculo) e subtrai a 
A.Alfa( do triângulo) e divide pela área do ¼ círculo menos a área do triângulo 
Alfa= 21,7 mm 
 
Para calcular a posição do centro da gravidade no eixo Beta, o processo é o mesmo, só que usa o A.Beta 
Beta= 2,2 mm 
 
2) D 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. Neste exercício em um retângulo e dois 
triângulo retos. Depois consultar tabelas de centróides de figuras conhecidas e que se enquadrem nas figuras 
simples e montar uma tabela com as informações tiradas da figura. Escolher uma referência para os eixos, 
no caso vértice inferior. 
 
Figura 1 (retângulo) 
Área = 544 cm² 
X = 17 cm 
Y= 8 cm 
A.X=9248 cm 
A.Y=4352 cm 
 
Figura 2 (primeiro triângulo) 
Área=44 cm² 
X= 14,33 cm 
Y= 3,67 cm 
A.X= 630,52 cm 
A.Y= 161,48 cm 
 
Figura 3 (Segundo triângulo) 
Área= 44 cm² 
X= 19,66 cm 
Y= 3,67 cm 
A.X= 865,04 cm 
A.Y=161,48 cm 
 
Por fim pra calcular a posição do centro da gravidade no eixo x, pega a A.X(retângulo) e subtrai a A.X( dos 
triângulos) e divide pela área do retângulo menos as áreas dos triângulos 
 
X= (9248 – 630,52 – 865,04) / 456 
X= 17 cm 
 
Para calcular a posição do centro da gravidade no eixo y, o processo é o mesmo, só que usa o A.Y 
 
Y = (4352-161,48-161,48) / 456 
Y= 8,8 cm 
 
3)A 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. Neste exercício em 3 retângulos. Depois 
consultar tabelas de centróides de figuras conhecidas e que se enquadrem nas figuras simples e montar uma 
tabela com as informações tiradas da figura. Escolher uma referência para os eixos, no caso vértice superior 
esquerdo. 
 
Figura 1 (primeiro retângulo) 
Área = 228 m² 
X = 19m 
Y= 3m 
A.X= 4332m 
A.Y= 684m 
 
Figura 2 (segundo retângulo) 
Área= 156m² 
X= 35m 
Y= 19 m 
A.X= 5460m 
A.Y= 2964m 
 
Figura 3 (terceiro retângulo) 
Área= 192m² 
X= 54m 
Y= 29m 
A.X= 10368m 
A.Y=5568m 
 
Por fim pra calcular a posição do centro da gravidade no eixo x, soma a A.X dos retângulos e divide-se pela 
soma das áreas dos retângulos 
 
X= (4332+5460+10368)/576 
X= 35m 
 
Para calcular a posição do centro da gravidade no eixo y, o processo é o mesmo, só que usa o A.Y 
 
Y = (684+2964+5568) / 576 
Y= 16m 
 
4) B 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. Neste exercício em 1 retângulo, 2 
triângulos e dois semi círculos. Depois consultar tabelas de centróides de figuras conhecidas e que se 
enquadrem nas figuras simples e montar uma tabela com as informações tiradas da figura. Escolher uma 
referência para os eixos, no caso vértice inferior esquerdo. 
 
Figura 1 (triângulo) 
Área = 740 
X = 10 
Y= 18,5 
A.X= 7400 
A.Y= 13690 
 
Figura 2 (primeiro semi círculo) 
Área= 39,27 
X= 2,12 
Y= 15 
A.X= 0 
A.Y= 589,05 
 
Figura 3 (segundo semi círculo) 
Área= 39,27 
X= 17,87 
Y= 15 
A.X= 785,4 
A.Y=589,05 
 
Figura 4 (primeiro triângulo) 
Área= 85 
X= 6,67 
Y= 31,33 
A.X= 566,95 
A.Y= 2663,05 
 
Figura 5 (segundo triângulo) 
Área= 85 
X= 16,67 
Y= 31,33 
A.X= 1416,95 
A.Y= 2663,05 
 
Por fim pra calcular a posição do centro da gravidade no eixo x, pega a A.X(retângulo) e subtrai a A.X( dos 
triângulos e dos semi círculos) e divide pela área do retângulo menos as áreas dos triângulos e semi círculos 
X= (7400-0-785,4-566,95-1416,95) / 491,6 
X= 9,42 
 
Para calcular a posição do centro da gravidade no eixo y, o processo é o mesmo, só que usa o A.Y 
Y = (13690-589,05-589,05-2663,05-2663,05) / 491,6 
Y= 14,62 
 
5) B 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. 
Consulta-se tabelas de centróides de figuras conhecidas e que se enquadrem nas figuras simples e montar 
uma tabela com as informações tiradas da figura. 
Escolher uma referência para os eixos, neste caso vértice inferior 
Para este exercício a posição do centro de gravidade é: 23,3mm e 18,3 mm 
 
*Módulo 8 
 
1) C 
O primeiro passo é consultar tabelas de momento de inércia de figuras planas. Lá mostrará como calcular 
cada termo da equação do momento centrífugo. Prestar bastante atenção na referência dos eixos. 
Será preciso calcular também a área do semicírculo. 
Por fim é só substituir, os valores encontrados na tabela, na fórmula do momento. 
Para esta figura o momento centrífugo encontrado foi de: -148750 mm4 
Obs: o negativo é pela referência dos eixos dada no exercício. 
 
2) B 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. 
Depois é preciso consultar tabelas de momento de inércia de figuras planas. . Lá mostrará como calcular 
cada termo da equação do momento de inércia. Deve-se observar a referência dos eixos adotada. 
Será preciso calcular também a área da figura complexa. 
Por fim é só substituir os valores calculados conforme a tabela, na equação do momento de inércia para o 
eixo j. 
Neste exemplo o momento de inércia calculado foi de: 183250 cm4 
 
3) B 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. 
Depois é preciso consultar tabelas de momento de inércia de figuras planas. . Lá mostrará como calcular 
cada termo da equação do momento de inércia. Deve-se observar a referência dos eixos adotada. 
Será preciso calcular também a área da figura complexa. 
Por fim é só substituir os valores calculados conforme a tabela, na equação do momento de inércia para 
cada eixos. 
Para esta figura o momento de inércia calculado para o par de eixos foi de: 185961 mm4 e 36390mm4 
 
4) E 
O primeiro passo é dividir a figura complexa em figuras simples. 
Depois é preciso consultar tabelas de momento de inércia de figuras planas. . Lá mostrará como calcular 
cada termo da equação do momento centrífugo. Deve-se observar a referência dos eixos adotada. 
Será preciso calcular também a área da figura complexa. 
Por fim é só substituir os valores calculados conforme a tabela, na equação do momento centrífugo em 
relação ao par de eixos. 
Para esta figura o momento centrífugo calculado foi de: 4140 mm4 
 
5) 
 
*Conteúdo 10 
 
1) E 
Para descobrir o centro de gravidade de uma figura complexa, é preciso dividir esta em figuras simples e 
encontrar a posição relativa dos centros de gravidade de cada figura. Depois de achar essas posições, faz a 
integral, adotando um eixo de referência. 
 
2) C 
O primeiro passo é consultar tabelas de centroides e calcular a área do trapézio 
Com essas informações já é possível calcular a abscissa do centro de gravidade do trapézio. Lembrar que 
a origem dos eixos de referência é no canto inferior esquerdo do trapézio. 
Neste exemplo a abscissa do centro de gravidade vale: 0,777.a 
 
3) C 
O primeiro passo é fazer o DCL (Diagrama de Corpo Livre), aplicando a carga distribuída no centro e 
desenhando as reações dos apoios. 
O segundo passo é fazer o somatório de momento no polo onde há mais incógnitas. 
Terceiro passo é fazer somatório de forças em x e por último somatório de forças em y. 
 
Com esses passos calculou-se as reações que são: 
RA= 72,33 kN 
RB= 55,67 kN 
 
4) D 
O momento crítico de um dado elemento submetido à flexão depende de vários fatores que influenciam o 
seu valor. Exemplo: 
-o tipo de carregamento, diagrama de momento fletores. 
- As condições de apoio 
- o nível de aplicação do carregamento, se acima ou abaixo do centro de corte, ou no centro de corte. 
 
É necessário o cálculo do momento crítico quando a força cortante é nula em um ponto do trecho. 
 
5) E 
Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades 
rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas (nós). 
 
6) A 
Analisando a figura conclui-se que o apoio da esquerda tem uma reação que está inclinada 60° com a 
horizontal (eixo x)