Aula_02

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Universidade Paulista
Estática Das Estruturas
Aula 02 
Curso Engenharia Mecânica
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Força
Segunda Lei de Newton: Se a resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma 
aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido. 
𝒂
m
𝑭
https://www.google.com.br/url?sa=i&url=http://www.procrie.com.br/2010/03/10/formacao-de-professores-ii-1642&psig=AOvVaw0Y0KMnhiiEN-YMJeoZ15TF&ust=1585341264297000&source=images&cd=vfe&ved=0CAIQjRxqFwoTCJi8zdf-uOgCFQAAAAAdAAAAABAL
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Resultantes
Estática ෍𝐹 = 0
Ԧ𝐹1
Ԧ𝐹2
𝑌
𝑋
𝑂
Regra do Paralelogramo para Adição de Forças: Estabelece que duas forças atuando numa partícula 
(forças concorrentes) podem ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida traçando 
a diagonal do paralelogramo que tem por lados as duas forças dadas. 
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Principio da Transmissibilidade
Principio da Transmissibilidade: Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um 
corpo rígido não se alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra força 
com a mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do corpo, desde que 
ambas as forças possuam a mesma linha de ação.
F
F’
https://www.google.com.br/url?sa=i&url=http://azcolorir.com/figuras-de-carro&psig=AOvVaw3cfGxMoU1npGzH136JLmZG&ust=1585334760119000&source=images&cd=vfe&ved=0CAIQjRxqFwoTCODTrrXmuOgCFQAAAAAdAAAAABAb
https://www.google.com.br/url?sa=i&url=http://azcolorir.com/figuras-de-carro&psig=AOvVaw3cfGxMoU1npGzH136JLmZG&ust=1585334760119000&source=images&cd=vfe&ved=0CAIQjRxqFwoTCODTrrXmuOgCFQAAAAAdAAAAABAb
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Componentes Vetoriais
Estática ෍𝐹 = 0
Ԧ𝐹1
Ԧ𝐹2
𝑌
𝑋
𝑂
Ԧ𝐹𝑥 = Ԧ𝐹1 × 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + Ԧ𝐹2 × 𝑐𝑜𝑠𝜃2
Ԧ𝐹𝑦 = Ԧ𝐹1 × 𝑠𝑒𝑛𝜃1 + Ԧ𝐹2 × 𝑠𝑒𝑛𝜃2
𝜃1
𝜃2
Ԧ𝐹1
𝑌
𝑂
𝜃1
𝑋Ԧ𝐹1 × 𝑐𝑜𝑠𝜃1
Ԧ𝐹1 × 𝑠𝑒𝑛𝜃1
Ԧ𝐹2
𝑌
𝑂
𝜃2
𝑋Ԧ𝐹2 × 𝑐𝑜𝑠𝜃2
Ԧ𝐹2 × 𝑠𝑒𝑛𝜃2
𝑋
𝑂
𝑌
𝜃𝑅
𝐹𝑅𝑥
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅𝑥
𝐹𝑅𝑦
Ԧ𝐹𝑅
2
= 𝐹𝑅𝑥
2 + 𝐹𝑅𝑦
2
Ԧ𝐹𝑅 =
2
𝐹𝑅𝑥
2 + 𝐹𝑅𝑦
2
𝜃𝑅 = tan
−1
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅𝑥
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Forças Concorrentes e Não Concorrentes
o Forças Concorrentes Centradas:
✓ Podem induzir apenas a Translação
o Forças Concorrentes Não Centradas e Forças Não Concorrentes :
✓ Podem induzir Translação e/ou Rotação
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Momento Estático
o Uma força aplicada num corpo cria, em relação a um ponto de referência, uma tendência de giro em 
torno de um eixo perpendicular ao plano formado pelo vetor raio e o vetor força, cuja intensidade é dada 
por:
M = F d 
onde F é a intensidade da força e d é o braço de alavanca (distância do ponto de referência à linha de 
ação da força).
𝑂
𝑑
𝑀
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Teorema de Varignon
o O momento gerado por um sistema de forças concorrentes pode ser calculado somando-se os 
momentos de cada força ou avaliando-se o momento da força resultante equivalente
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Binário
Definição: Sistema particular de duas forças de mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos 
opostos.
As duas forças não irão transladar o corpo sobre o qual atuam, mas tenderão a fazê-lo girar
O vetor momento representativo da tendência de giro é perpendicular ao plano das 
forças (regra da mão direita). 
A intensidade do momento, independente do ponto de referência, é dada pelo produto da intensidade da 
força pelo braço de alavanca, ou seja, M = F·d
𝑑
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Binário
Substituição de uma força por uma força e um momento: 
Veremos como modificar a linha de ação de uma força mantendo os mesmos efeitos sobre o corpo que 
atua:
𝑂
𝐴
𝑂
𝐴
𝑂
𝐴𝑑
𝑀
Força aplicada no 
Ponto A
Adicionando a Força +F e –F no ponto O, a 
resultante atuante no corpo não se altera
Temos o momento de binário 
causado pela força +F e – F (Azul)
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Exercicios Resolvidos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.5) - Se o homem em B exerce uma força P= 150 N sobre sua corda, determine a 
intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire; ou seja, para que o 
momento resultante em relação a A devido às duas forças seja zero.
1,8 m
3,6 m
O momento gerado pela componente 
horizontal das força P e F em relação 
ao ponto A deve ser igual a zero logo: 
෍𝑀𝐴 = 0
𝑃 × 𝑠𝑒𝑛 45° × 5,4 − 𝐹 ×
4
5
× 3,6 = 0
150 × 𝑠𝑒𝑛 45° × 5,4 − 𝐹 ×
4
5
× 3,6 = 0
572,8 − 𝐹 ×
4
5
× 3,6 = 0
𝐹 = 198,9 𝑁
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Exercicios Resolvidos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.10) – O cubo de roda pode ser conectado ao eixo com deslocamento negativo 
(esquerda) ou com deslocamento positivo (direita). Se o pneu está sujeito às cargas normal e radial conforme 
mostrado, determine o momento resultante dessas cargas em relação ao ponto O no eixo para os dois casos.
Assumindo que o momento seja positivo no sentido anti-
horário, tem-se que o momento para o caso 1 será:
𝑀1 = −4000 × 0,05 + 800 × (0,4)
𝑀1 = 120 𝑁
Assumindo que o momento seja positivo no sentido anti-
horário, tem-se que o momento para o caso 2 será:
𝑀2 = 4000 × 0,05 + 800 × (0,4)
𝑀2 = 520 𝑁
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.7) – Se o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A é 10 kN.m no 
sentido horário, determine o ângulo ϴ, onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 90°.
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.7) – Se o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A é 10 kN.m no 
sentido horário, determine o ângulo ϴ, onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 90°.
Para determinar um momento gerado pela força é necessário determinar a distância do ponto A até o 
ponto de atuação da força onde os momentos serão aplicados. Assim os eixos XY serão considerados 
respectivamente a linha horizontal e a linha vertical.
Logo, para a componente horizontal da força a distância até o braço do momento será de:
E para a componente vertical da força será de:
𝑦 = 0,45 𝑚
𝑥 = 3 𝑚
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.7) – Se o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A é 10 kN.m no 
sentido horário, determine o ângulo ϴ, onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 90°.
A distância do ponto A para o ponto O é de:
O ângulo que o vetor que sai de A e vai até o ponto de aplicação da força faz com a horizontal é: 
Assim o ângulo entre o vetor posição e o vetor força é: θ - 𝛼
𝑑 = 0,452 + 32
𝑑 = 3,034 𝑚
𝛼
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
0,45
3
𝛼 = 8,53 °
𝛼
θ - 𝛼 = θ - 8,53
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.7) – Se o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A é 10 kN.m no 
sentido horário, determine o ângulo ϴ, onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 90°.
O momento então é dado por:
𝑀 = 𝐹 ∗ 𝑟𝑂𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 − 8,53)
𝑀
𝐹 ∗ 𝑟𝑂𝐴
= 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 − 8,53)
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑀
𝐹 ∗ 𝑟𝑂𝐴
= 𝜃 − 8,53
𝜃 = 8,53 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑀
𝐹 ∗ 𝑟𝑂𝐴
𝜃 = 8,53 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
10
4 ∗ 3,034
𝜃 = 64,02 °
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.14) – Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando um jogador de futebol americano 
é atingido na proteção do rosto de seu capacete da maneira mostrada, causando um mecanismo de guilhotina. 
Determine o momento da força do joelho P = 250 N em relação ao ponto A. Qual seria a intensidade da força do 
pescoço F de modo que ela forneça o momento neutralizante a A.
250 N
100 mm
150 mm
50 mm
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.14) – Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando um jogador de futebol americano 
é atingido na proteção do rosto de seu capacete da maneira mostrada, causando um mecanismo de guilhotina. 
Determine o momento da força do joelhoP = 250 N em relação ao ponto A. Qual seria a intensidade da força do 
pescoço F de modo que ela forneça o momento neutralizante a A.
250 N
100 mm
150 mm
50 mm
Para determinar o momento gerado pela força é necessário 
determinar a distância do ponto A até o ponto de atuação da 
força onde os momentos serão aplicados e, então, utilizar o 
princípio dos momentos.
Para a componente vertical da força a distância até o braço do 
momento será de:
E para a componente horizontal da força será de:
Desta forma, considerando que os momentos positivos agem no sentido horário, tem-se que:
𝑦 = 0,1 𝑚
𝑥 = 0,05 𝑚
𝑀𝐴 = 250 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60 ∗ 0,1 − 250 ∗ cos 60 ∗ 0,05
𝑀𝐴 = 15,4 𝑁.𝑚
+
𝐶𝑂
𝐶𝐴
60°
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.14) – Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando um jogador de futebol americano 
é atingido na proteção do rosto de seu capacete da maneira mostrada, causando um mecanismo de guilhotina. 
Determine o momento da força do joelho P = 250 N em relação ao ponto A. Qual seria a intensidade da força do 
pescoço F de modo que ela forneça o momento neutralizante a A.
250 N
100 mm
150 mm
50 mm
Agora, o momento gerado pela força F deverá ter a mesma 
magnitude (mesmo módulo) gerado pela força P afim de 
neutralizá-lo. Logo:
Obs: nesta parte, apenas uma componente de F gera o 
momento pelo fato de que a linha de ação da outra componente 
passa pelo ponto de referência,
𝑀𝐹 = 𝑀𝐴 = 15,4 = F ∗ cos 30 ∗ 0,15
F = 118,55 N
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.17) – Os dois garotos empurram o portão com forças de FB = 250 N e FA = 150 N como 
mostrado. Determine o momento de cada força em relação a C. Em que sentido o portão girará, horário ou anti-
horário? Despreze a espessura do portão.
1,8 m 0,9 m
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.17) – Os dois garotos empurram o portão com forças de FB = 250 N e FA = 150 N como 
mostrado. Determine o momento de cada força em relação a C. Em que sentido o portão girará, horário ou anti-
horário? Despreze a espessura do portão.
1,8 m 0,9 m
Para determinar o valor do momento gerado por cada força é 
necessário determinar as distâncias do ponto C até os pontos 
de atuação das forças e aplicar o produtos entre a intensidade 
da força e a distância do braço do momento.
Ainda, para saber em que sentido o portão girará, deve-se 
somar o valor do momento de cada força.
Desta forma, supondo que um momento positivo atue no sentido anti-horário, para força em A:
E para força em B:
𝑀𝐴𝐶 = −150 ∗
3
5
∗ (1,8 + 0,9)
𝑀𝐴𝐶 = −243 𝑁.𝑚
+
𝑀𝐵𝐶 = 250 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60 ∗ (1,8)
𝑀𝐵𝐶 = 389,7 𝑁.𝑚
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.17) – Os dois garotos empurram o portão com forças de FB = 250 N e FA = 150 N como 
mostrado. Determine o momento de cada força em relação a C. Em que sentido o portão girará, horário ou anti-
horário? Despreze a espessura do portão.
1,8 m 0,9 m
Agora, somando os 2 momentos , tem-se que:
Logo, o portão girará no sentido anti-horário, pois um momento de maior intensidade rua no sentido anti-
horário.
𝑀𝑅𝐶 = 𝑀𝐴𝐶 +𝑀𝐵𝐶
𝑀𝑅𝐶 = −243 + 389,7
𝑀𝑅𝐶 = 146,7 𝑁.𝑚
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.18) – Dois garotos empurram o portão conforme mostrado. Se o garoto em B exerce um 
força FB = 150 N, determine a intensidade da força FA que o garoto em A precisa exercer para impedir que o 
portão gire. Despreze a espessura do portão.
1,8 m 0,9 m
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.18) – Dois garotos empurram o portão conforme mostrado. Se o garoto em B exerce um 
força FB = 150 N, determine a intensidade da força FA que o garoto em A precisa exercer para impedir que o 
portão gire. Despreze a espessura do portão.
1,8 m 0,9 m
Para determinar o valor de a força é necessário determinar as 
distâncias do ponto C até os pontos de atuação das forças e 
aplicar o princípio do momento
Ainda, como se deseja que o portão não gire, isso disse que o 
momento resultante entre as forças deve ser nulo. 
Desta forma, supondo que um momento positivo atue no sentido anti-horário, tem-se que :
𝑀𝐵 = 𝑀𝐴
𝑀𝑅𝐶 = 0 = 150 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60 ∗ 1,8 − 𝐹𝐴𝐶 ∗
3
5
∗ 2,7
∴
𝐹𝐴𝐶 = 144,34 𝑁
0 = 150 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60 ∗ 1,8 − 𝐹𝐴𝐶 ∗
3
5
∗ 2,7
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.26) – A região do pé está sujeita à contração dos dois musculos plantarflexor. Determine 
o momento de cada força em relação ao ponto A no chão.
100 mm
F1 =100 N
F2 =150 N
87,5 mm
25 mm
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.26) – A região do pé está sujeita à contração dos dois musculos plantarflexor. Determine 
o momento de cada força em relação ao ponto A no chão.
100 mm
F1 =100 N
F2 =150 N
87,5 mm
25 mm
Os momentos gerados pelas forças podem ser determinado 
Aplicando o princípio dos momentos, fazendo a soma dos 
produtos entre as componentes de cada força e as distancias 
dos braços de momento em relação ao ponto A de referência, 
tal que M = F * d
A partir disso, os momentos em relação ao ponto A podem ser 
encontrados. Supondo que um momento positivo seja dado no 
sentido horário:
𝑀𝐴1 = 𝐹1 ∗ 𝑐𝑜𝑠 30 ∗ 0,025 + 0,0875 + 𝐹1 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30 ∗ 0,1
𝑀𝐴1 = 100 ∗ 𝑐𝑜𝑠 30 ∗ 0,025 + 0,0875 + 100 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30 ∗ 0,1
𝑀𝐴1 = 14,74 𝑁.𝑚
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Exercicios Propostos
(Hibbeler 12ªed. – Ex 4.26) – A região do pé está sujeita à contração dos dois musculos plantarflexor. Determine 
o momento de cada força em relação ao ponto A no chão.
100 mm
F1 =100 N
F2 =150 N
87,5 mm
25 mm
𝑀𝐴2 = 𝐹2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 70 ∗ 0,1 + 𝐹2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 70 ∗ 0,0875
𝑀𝐴2 = 17,46 𝑁.𝑚
𝑀𝐴2 = 150 ∗ 𝑐𝑜𝑠 70 ∗ 0,1 + 150 ∗ 𝑠𝑒𝑛 70 ∗ 0,0875
𝐶𝑂
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FIM !