7a lista 20171211 transit RL RC entr const

Prévia do material em texto

1 
 
 
EMC/UFG 
Circuitos Elétricos 2 
7
a 
Lista de Exercícios: Análise de Circuitos Elétricos RL e RC com Entrada Constante, Fonte 
em Degrau Unitário e Chaveamento Sequencial 
Professor Enes – Site: www.emc.ufg.br 
E-mails: enes.gm@gmail.com; enes@ufg.br 
01) Sejam os circuitos elétricos equivalentes de primeira ordem Norton e Thévenin mostrados 
a seguir. Determine as equações diferenciais dos circuitos RL e RC para obter em cada caso 
)(ti e )(tv . As condições iniciais dadas em seguida são iguais a )0(i e )0(v . 
 
a) b) 
 
Para exemplificar o emprego das equações diferenciais obtidas, resolva os circuitos 
considerando os dados apresentados a seguir: 
a) AII Nsc 10 ;  2NR ; mHL 5,0 ; Ai 0)0(  . 
b) VVV Thoc 100 ;  2000ThR ; mFC 1,0 ; Vv 20)0(  . 
02) Dados os circuitos elétricos de primeira ordem, a partir dos terminais do elemento 
armazenador determine o circuito equivalente que for mais conveniente, Thévenin ou Norton. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
)(tiL 
0t 
1001R 
1502R mHL 4,2 V5 
 
V010
 


)(tv F16
1  603R 
101R 
 604R 
0t 
 302R 
C 


)(tv 
ThR 
ocV )(ti NR scI L 
http://www.emc.ufg.br/
mailto:enes.gm@gmail.com
mailto:enes@ufg.br
 
2 
 
c) R1 = 12Ω; R2 = 9Ω; L = 60mH. 
 
 
 
 
 
 
03) Determine o circuito equivalente de Norton a partir dos terminais do elemento 
armazenador do circuito da figura para t>0. 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
04) Considere a curva v(t)×t da resposta completa de um circuito de primeira ordem mostrada 
no gráfico ilustrado a seguir. A partir da curva, determine a função exponencial de v(t) para 
t≥0 supondo que em t = 0 a tensão v(0) é igual a 2V e que Vv 8)(  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Calcule a tensão para o instante t = 4τ, v(t = 4τ), e também o quanto falta em % para a 
tensão alcançar o regime estacionário (atenção ao definir o valor referencial para calcular essa 
porcentagem). 
 0,05F 
IN = – 2A RN = 3Ω C = 0,05F 
5,79 
t (segundos) 
(volt) 
v(t) 
τ = 0,015 
 
3 
 
(b) Quanto tempo terá decorrido desde o instante zero para que o erro da resposta de regime 
permanente seja inferior a 0,5%? (obs.: responda em termos da constante de tempo, isto é, 3τ, 
4τ, etc.). 
05) Obtenha pelo método de sua preferência as soluções das equações diferenciais ordinárias 
lineares cujas condições iniciais são dadas: 
a) 8
3

v
dt
dv
, com Vv 14)0(  ; b) tei
dt
di 248  , com Ai 2)0(  . 
Para cada resposta obtida, esboce o gráfico das funções )(tv e )(ti versus tempo. 
 
06) Faça o download do Scilab em www.scilab.org e instale em seu computador. Utilize a 
função ode “Solucionador de equações diferenciais ordinárias” para resolver as equações 
diferenciais do exercício precedente. Observe o script a seguir para a solução da EDO 
85  v
dt
dv
, com Vv 1)0(  e tome como modelo: 
// Código em Scilab para resolver uma eq. diferencial de primeira ordem 
// exemplo de solução da ODE dv/dt=-5*v + 8, v(0)=1 
function vdot=f(t, v), 
 vdot=-5*v + 8, 
endfunction 
v0=0; // condição inicial 
t0=0; 
t=0:0.1:0.9; // vetor com valores do tempo 
v = ode(v0,t0,t,f) 
plot(t, v, ‘red-‘) 
07) O circuito da figura está no regime estacionário até o instante t = 0 quando a chave é 
aberta. Determine a corrente no indutor, i(t), para t ≥ 0. 
 
 
 
 
 
Sugestão: Obtenha a solução completa aplicando a expressão 
t
eiiiti

 )]()0([)()( . 
Resposta: teti )3/2(3)(  A para t ≥ 0. 
08) O circuito linear da figura possui uma fonte constante (CC ou DC) de 30V. O interruptor 
indicado permanece aberto por longo tempo e no instante 0t é fechado. 
 
 
 
 
 
Determine a resposta no tempo para a tensão no capacitor desde o instante zero até alcançar o 
regime permanente, ou seja, a função )(tv para 0t . Após obter a tensão faça um esboço 


)(tv 
k
3
4
 
F200 
k8 
k4 
V30 
0t 
http://www.scilab.org/
../../../Users/Baleeiro/Documents/baleeiro/circuitos_semestral/exercicios_2013/plot.html
 
4 
 
gráfico dessa resposta no sistema de eixos vt  . Sugestão: utilize a forma da resposta válida 
para entrada constante 
t
exxxtx

 )]()0([)()( , para 0t . 
09) (adaptado de Dorf & Svoboda, 7
a
 ed., pág. 298) No circuito da figura, o interruptor 
permanece fechado por longo tempo até que é aberto em t = 0. 
 
 
 
 
 
Determine: (a) as correntes )0(1
i , )0(2
i e )0(
i ; 
(b) as correntes )0(1
i , )0(2
i e )0(
i ; 
(c) a resposta completa de )(ti para 0t . 
Resposta: 
teti 50546,06,0)(  A, t ≥ 0. 
10) (Dorf & Svoboda, 7
a
 ed., cap. 8) No circuito da figura tem-se um chaveamento sequencial 
com duas chaves operadas em instantes diferentes. O circuito encontra-se em regime 
estacionário quando a primeira chave fecha em t = 0. Depois de transcorridos 51ms do 
fechamento da primeira chave, uma segunda chave é aberta. Determine a corrente i no resistor 
de 12Ω para 0t como indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Corrente )(ti no resistor de 12 : 










mstAe
mstAe
ti
t
t
51,47,1
510,
)(
)051,0(14
6
3
2
 
 
11) (adaptado de Dorf&Svoboda, 7
a
 ed.) A tensão da fonte do circuito da figura é definida 
pela função )5,1(20)1(20)(  tututvS V, cujo gráfico é mostrado na figura subsequente. 
 
)(1 ti )(2 ti 
)(ti 
0t 
)(tv )(tvS 
30 
30 
60 
mF20 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a resposta completa )(tv para t ≥ 0. O tempo t está expresso em segundos. 
12) (adaptado de Nilsson & Riedel, LTC, 6
a
 edição) A fonte no circuito gera o sinal de 
corrente cuja forma de onda é mostrada. Não há nenhuma energia armazenada no capacitor 
em t = 0. Determine a expressão da tensão )(0 tv para t > 0 como indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
13) (adaptado de P8.6.-7, Dorf & Svoboda, 7
a
 ed., pág. 332) Um circuito eletrônico pode ser 
usado para substituir as molas e alavancas normalmente usadas para disparar uma arma de 
fogo (Jurgen, 1989). O gatilho elétrico eliminaria a necessidade de puxar o gatilho com força, 
que, às vezes, prejudica a pontaria. O gatilho proposto utiliza um imã permanente e um 
solenoide (indutor) para gerar um pulso de corrente. A figura mostra o circuito equivalente do 
gatilho elétrico, onde a fonte é AtututiS )]001,0()([40)(  . Determine a tensão no resistor 
de 20Ω, )(tv , para st 3,00  . Em seguida, “plote” a tensão no plano )(tvt  . 
 
 
 
 
 
 
)(tiS )(tv 
20
)(mst 
Si 
)(mA 
0 5,0 0,1 
20 


)(0 tv 
k2 
k6 nF100 Si
 
 
6 
 
Resposta: 








mstVe
mstVe
tv
t
t
1,303
1,)1(480
)(
)001,0(1000
1000
 
14) Considere o circuito da questão anterior com os mesmos dados e condições. Solucione o 
circuito para obter a tensão na resistência de 20Ω, )(tv , para st 3,00  , porém, seguindo os 
passos indicados a seguir: (i) obtenha a equação diferencial para )(tv ; (ii) a partir das relações 
obtidas das Leis de Kirchhoff, obtenha a condição inicial da tensão, )0(
v ; (iii) solucionea 
equação diferencial pela aplicação da Transformada de Laplace. Lembrete: 
)()}({ sVtvL  , )0()(
)( 






vssV
dt
tdv
L , 
s
tuL
1
)}({  , 
s
e
atuL
as
 )}({ e 




s
eL t
1
}{ 
Respostas: )]001,0()([000.480000.1  tutuv
dt
dv ; 0)0( v ; 
)001,0()1(480)()1(480)( )001,0(10001000   tuetuetv tt V. 
15) (P8.6.-5, Dorf & Svoboda, 7ªed., pág. 332) A fonte de tensão do circuito da figura tem a 
forma de pulso retangular com amplitude 4V, como mostra a equação de Sv . 
 









stV
stV
stV
vS
20
214
10
 
Determine a tensão nos terminais do capacitor, tal como está no circuito. Sugestão: você pode 
resolver o exercício usando 
t
exvxtx

 )]()0([)()( ou por superposição supondo como 
entrada dois degraus deslocados no tempo com amplitudes 4 e –4 volts, ou de forma direta. 
Resposta: 











2,53,2
21,44
1,0
)(
)2(
)1(
tVe
tVe
tV
tv
t
t 
 
16) (adaptado de Dorf & Svoboda, 7
a
 ed.) A tensão da fonte é constante, sendo igual a 6V 
desde –∞ até o instante zero e, a partir de zero, o seu valor é 18V. Nesse caso, a expressão da 
forma de onda da fonte é Vtututvs )(18)(6)(  , de modo que 






00
01
)(
t
t
tu . 
Determine a tensão )(tv para 0t . 
 
 
 
 
7 
 
Resposta: 0,69)( 33,333   tVetv t . 
17) O capacitor do circuito da figura é carregado pelas fontes constantes de 30V e 10V de 
polaridades distintas. A chave inicialmente desconectada dos pontos 1 e 2 permanece na 
posição 1 entre os instantes t = 0 e t = 1,5s. Em t =1,5s, a chave passa para a posição 2. 
Determine a expressão da tensão )(tv . Esboce o gráfico no plano )(tvt  . 
 
 
 
 
18) (Nilsson & Riedel, 6
a
ed., pág. 205) A chave do circuito da figura foi mantida na posição a 
por longo tempo. Em t = 0, a chave é deslocada da posição a para a posição b. A chave é do 
tipo make-before-break, isto é, a ligação com terminal b é estabelecida antes que a ligação 
com o terminal a seja desfeita, o que impede que a corrente no indutor seja interrompida. 
a) Determine a expressão de )(ti para 0t . 
b) Qual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a chave é colocada na 
posição b? 
c) Esta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito? Construa um 
argumento para justificar. 
d) Quantos milissegundos depois que a chave é colocada na posição b a tensão entre os 
terminais do indutor atinge 24V? 
e) “Plote” os gráficos )(ti e )(tv em função de t. 
 
Respostas: 0,2012)( 10   tAeti t ; Vv 40)0(  ; ms08,51 . 
19) (Nilsson & Riedel, 6
a 
ed., pág. 214) As duas chaves da figura foram mantidas fechadas 
por um longo tempo. A chave 1 é aberta em t = 0; a chave 2 é aberta 35ms mais tarde. 
Determine: 
mF1
 
V30 V10 
100 500 


)(tv 
 
8 
 
a) )(tiL para mst 350  ; 
b) )(tiL para mst 35 ; 
c) a tensão nos terminais do resistor de 18Ω; 
d) a potência )(18 tp dissipada no resistor de 18Ω; 
e) a porcentagem da energia inicialmente armazenada no indutor que é dissipada no resistor 
de 18Ω? 
 
 
 
 
 
Respostas: 








mstAe
mstAe
ti
t
t
L
3548,1
3506
)(
)035,0(60
40
 
stVetv tL 035,00,36)(
40   ; 
stWetp t 035,00,72)( 8018 
 
20) Em t = 0
−
, a chave está desligada, isto é, nem em 1 e nem em 2. Em t = 0, a chave é 
levada para 1. A chave permanece em 1 até 1,5s. Em t=1,5s, a chave é levada para a posição 
2. Determine a corrente )(ti para t > 0 como indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 









stmAe
stmAe
ti
t
t
5,1,108,4
5,10,4
)(
)5,1(
 
 


)(tvF200
 kR 50t

 
V20
5,1t 
1 
2 )(ti
V5