VT DE CALCULO

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Introdução
Funções compostas e a regra da cadeia
A regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas ou mais funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx). A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.
Estudo de variação das funções crescente e decrescentes 
Vamos ver do que consiste a função crescente e decrescente,suas regras e exemplos diversos.
Maximos e mínimos relativos.
Funções compostas e a regra da cadeia
A regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas ou mais funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx). A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.
A regra da cadeia afirma que:
(f.g)’(x)= (f(g(x)))’ = f’ (g(x))g’(x). que em sua forma sucinta é escrita como :
 (f.g)’=(f’.g).g’
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra de cadeia é
df/dx = df/dg .dg/dx
Na integração,a reciproca da regra da cadeia é a regra de substituição.
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO 
Fermat, em 1963, divulgou um novo método para determinação de tangentes, estudo que levaria aos máximos e mínimos. Em aplicações simples, raramente precisa-se provar que certo valor crítico é um máximo ou um mínimo, porém para ter um embasamento teórico observe as seguintes definições:
Dada uma função ƒ: I → ℝ, um ponto Xo ϵ I é chamado de: 
 Ponto de máximo relativo (ou local) da função, quando ƒ(Xo) ≥ ƒ(X) para todo X ϵ I.
 Ponto de mínimo relativo (ou local) da função, quando ƒ(Xo) <= ƒ(X) para todo X ϵ I.
 O valor ƒ(Xo) é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de ƒ e
(Xo,ƒ(Xo)) são as coordenadas dos pontos de máximo ou de mínimo relativo de ƒ. 
Diz-se que um ponto Xo é um ponto crítico para a função ƒ quando ƒ é definida em Xo mas não é derivável em Xo,ou ƒ’.(Xo)= 0
Segundo Flemming, Luz e Wagner (2006), o uso da derivada para determinar os máximos e mínimos de uma função pode-se utilizar dois critérios enunciados por dois teoremas:
Teorema 1: Seja y = f(x) uma função contínua em [a,b] e possui derivada em todos os pontos do intervalo (a,b), exceto possivelmente num ponto c ∈ (a,b). (a) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo x > c, então y = f(x) tem um máximo relativo em c. (b) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo x > c, então y = f(x) tem um mínimo relativo em c.
 Teorema 2: Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo (a,b), e c ∈ (a,b) é um ponto crítico da função. Se y = f(x) admite derivada de segunda ordem em (a,b), assim:
(a) Se f ’’(x) < 0, y = f(x) tem um valor máximo relativo em c. (b) Se f ’’(x) > 0, y = f(x) tem um valor mínimo relativo em c. Conforme Leithold (1994), quão grande foi à contribuição de Pierre de Fermat, pois dentre as aplicações mais notáveis do cálculo estão aquelas que buscam valores de máximos ou mínimos de funções. Pois, dentre as importantes aplicações de máximos e mínimos destacamos os problemas que têm na sua estrutura o valor máximo ou mínimo de algumas variáveis tais como: área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo, dentre outros.
Variação de Funções ( Crescentes e decrescente).
Dada a função real do 1º grau y = ax + b, pode-se determinar:
a) Domínio e o conjunto imagem são o próprio conjunto dos reais: D = R e Im = R.
b) Raiz  y = 0, logo, ax + b = 0  x =   Raiz = 
c) Se a > 0  a função é sempre crescente para qualquer valor de x (isto é, os valores de y aumentam conforme o x aumenta).
d) Se a < 0  a função é decrescente para qualquer valor de x(isto é, os valores de y diminuem conforme o x aumenta).
e) Se a > 0 
e) Se a < 0 
Exemplo
Estude a função y = x + 1, determinando:
a) Domínio e Conjunto Imagem
D = R, Im = R
b) Raiz da função
y = x + 1  x + 1 = 0  x = -1
Raiz = {-1}
c) Gráfico da função
			x
	y
	0
-1
	1
0
	
d) Intervalo onde f (x) > 0 (os valores de y são sempre positivos)
f (x) > 0  x > -1
e) Intervalo onde f (x) < 0 (os valores de y são sempre negativos)
f (x) < 0  x < -1
f) Intervalo onde f (x) é crescente
f (x) é sempre crescente (a > 0)
g) Intervalo onde f (x) é decrescente
f (x) nunca é decrescente
Problemas envolvendo derivadas
PROBLEMA1. Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno. 
SOLUÇÃO 1 : As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32 m3, tem-se:
V = a2 ∙ y = 32	
32
y = a2
A área total de revestimento da piscina de base quadrangular é A = 4 ∙ a ∙ y + a2 , pois se sabe que a área total de um prisma de base quadrangular fechado é A = 4 ∙ a ∙ y + 2 ∙ a2, todavia a piscina não é fechada confirmando a primeira expressão. Substituindo o valor de y.
 (
2
)A = 4 ∙ a ∙ 32 + a2	
a
128 ∙ a + a4
A =	a2
128 + a3
A =	a
2	3
18
Ar = 3 ∙ a
∙ a − (128 + a
a2
). 1
 (
3
)Ar = 2 ∙ a
− 128
= 0
2 ∙ a3 − 128 = 0
a = 4 e y = 2
Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m.
2 ∙ a3 − 128 = 0
a = 4 e y = 2
Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m.
PROBLEMA 2. Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima? Ilustração na Figura 4.
SOLUÇÃO:
A variável a ser maximizada é a área do cercado. Aqui, A= x∙y, onde x é o
comprimento do cercado e y a largura. Mas existem 1500m de grade, e o perímetro do Cercado é dado por 2p= 2∙x + 2∙y, daí, 2∙x + 2∙y = 1500. Resolvendo esta equação y = 750 - x , que será substituída na equação A= x.y para obter:
A= x∙(750-x) = 750∙x - x2	
Assim A= F(x), onde F(x) = 750∙x – x2. Visto que as dimensões x e y do cercado não podem ser negativas, pois x ≥ 0 e 750 – x ≥0 , isto é, 0 ≤ x ≤ 750. Na realidade, procura-se o valor de x que é o máximo de F(x) = 750∙x – x2 no intervalo [0, 750]. Aqui, F’(x)
= 750 – 2∙x, logo x = 375 dá o único ponto crítico no intervalo aberto (0, 750). Logo, F(x) atinge um valor máximo quando x = 375m e y = 750 – x = 750 – 375= 375m.
Logo, as dimensões são 375m por 375m e cuja área é máxima é de 140625
m2.
Problema da horta
PROBLEMA 3.Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado?
SOLUÇÃO:
Como ainda não é conhecida a largura da horta, foi adotado x para representar essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 – x, de tal forma que ao calcular o perímetro do retângulo será mantido os 20m de tela. Circunstância ilustrada pela Figura 5.
Como o perímetro é de 20m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x.
Calculando a área do retângulo, obtêm-se:
A(x) = x∙(10 – x)	
A(x) = 10∙x – x2
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero.
A’(x) = 10 – 2∙x	
Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2∙x = 0, logo x = 5.
Para que seja possívelter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área útil de 25m2.
Problema do reservatório de água
PROBLEMA 4. Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com
comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3.
SOLUÇÃO:
se-á a Figura 6:
Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, obter-
O volume desta caixa é dado por V = 3 ∙ x ∙ x ∙ y = 3 ∙ x2 ∙ y e então,
V = 3 ∙ x2 ∙ y , V = 36 m3	
 (
2
)3 ∙ x2 ∙ y = 36 , y = 36
3∙s
, ou seja,
 (
=
)y	12 s2
A área total da caixa é A = ( 3 ∙ x ∙ x + 2 ∙ x ∙ y + 2 ∙ 3 ∙ x ∙ y), logo a área
é dada por:
A = 3 ∙ x2 + 8 ∙ x ∙ y	
Substituindo y na área,
A(x) = 3 ∙ x2 + 8 ∙ x ∙ 12 = 3 ∙ x2 + 96
s2	s
A(x) =
3 ∙ x3 + 96
x
Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar
à zero, assim:
A′(x) = (9∙s
2)∙s–(3∙s
s2
3+96)∙1
Ar(s) =
−3 ∙ x3 + 9 ∙ x3 − 96
x2	=
6 ∙ x3 − 96
x2
A′(x) = 0,
Ar(x) = 6 ∙ x3 − 96 = 0
x = 3√16 = 23√2
≌ 2,52 metros.
 (
3
)Para calcular a altura é só substituir a medida x em y = 12 , y = 12 , logo,
s2	√16
y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m.
Problema do suco
PROBLEMA 5. O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?
SOLUÇÃO:
A área total do cilindro é A = 2 ∙ n ∙ R ∙ H + 2 ∙ n ∙ R2 e seu volume é
V = n ∙ R2 ∙ H, ilustrado na Figura 7.
V = 800 cm3
n ∙ R2 ∙ H = 800
 (
=
)H	8OO
n∙R2
Substituindo na fórmula da área a altura tem-se o seguinte:
A = 2 ∙ n ∙ R ∙ 8OO + 2 ∙ n ∙ R2 = 16OO∙n∙R + 2 ∙ n ∙ R2	
n∙R2	n∙R2
1600	2
A =	R	+ 2 ∙ n ∙ R
A(R) =
1600 + 2 ∙ n ∙ R3 R
Derivando a área em relação ao raio e depois igualando a zero,
2	3
 (
=
)A′(R)	(6.n.R )∙R–(16OO+2∙n∙R )∙1
R2
 (
3
)Ar(R) = 4 ∙ nR
− 1600
= 0
R2
3
R = J
1600
4. n
 (
4OO
)3
R = J	cm e para encontrar a altura só substituir em H =
n
8OO n.R2
, assim:
 (
H =
) (
∙
)8OO
 	 2
3 4OO
n.[ J u ]
J4OO
 (
3
)u
3 4OO
J
u
 (
3
)H = 2 ∙ J4OO cm.
n
	
 (
4OO
)3
Logo, as medidas do raio e da altura serão, respectivamente, J
n
3
cm e 2 ∙ J
4OO
n
cm, que
equivalem a 5,03cm e 10,06cm , ou seja, H = 2 ∙ R
Problemas envolvendo limites
1.
 = = = 
2.
3
4.
5. 
 
Conclusão
Neste trabalho Abordamos o assunto da dERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA E VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação e a variação de funções são aplicações simples, raramente precisa-se provar que certo valor crítico é um máximo ou um mínimo, porém para ter um embasamento teórico observe as seguintes definições
bibliografia http://www2.anhembi.br/html/ead01/matematica/lu08/lo2/index.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/uni04_funcao_composta_02.html
www.ifba.edu.br/dca/corpo_docente/mat/esb/Derivada_da_Funcao_Composta