Derivadas-7

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18/06/2020 Derivadas
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Lição 07
Derivadas
Matemática
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1. Introdução
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função
que está presente no cotidiano das pessoas, por meio, por exemplo, da determinação da taxa de
crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução
da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos
em movimento, enfim, poderíamos mostrar vários exemplos que apresentam uma função variando
e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.
As aplicações das derivadas na administração estão fortemente relacionadas à economia e, na
maior parte das vezes, são problemas que envolvem a minimização de custos ou a maximização de
lucro.
Numa linguagem mais especifica de administradores e economistas, podemos afirmar que o custo
marginal, que é a variação do custo total de produção em função da quantidade unitária produzida,
pode ser expresso por meio da derivada do custo total pela quantidade produzida.
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Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vejamos a definição matemática da derivada de
uma função em um ponto:
As aplicações das derivadas na administração estão fortemente relacionadas à economia.
Para você conhecer um pouco mais da história da derivada de uma função, sugiro que acesse o link
abaixo e leia o texto.
(p. 7 -10)
2. Derivada
Para facilitar o entendimento, elencamos algumas etapas no cálculo da derivada de uma função.
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Exemplo 01: Utilizando a definição estudada acima, calcule a derivada da função f(x)=3x.
Resolução:
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)= 3(x +h)= 3x + 3h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= 3x + 3h – 3x= 3x – 3x + 3h= 3h.
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= 3x é f “ (x)=3
Exemplo 02: Calcule a derivada da função f(x)= x2 + 3x
Solução:
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)=( x+ h) +3(x +h)= x + 2xh + h + 3x + 3h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h + 3x + 3h – (x + 3x).
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h + 3x + 3h - x - 3x = x - x + 2xh + h + 3x - 3x + 3h 
f(x+h) – f(x)= 2xh + h = h( 2x + h)
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= x + 3x é f “ (x)=2x
Para conhecer um pouco mais sobre a origem do Conceito de derivada de uma função, acesse o
site.
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https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php
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2.1. As possíveis interpretações de derivadas
Exemplo 03: Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada
por s(t) = t - 6t, onde s(t) é a medida em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade em um instante t=a (a é um número real qualquer);
b) Determine a aceleração em um instante t=a (a é um número real qualquer).
Solução:
Para resolver este exemplo, faremos uma adaptação na definição de derivada, assim: f(x)= s(t) e
h=a.
a) Lembrando que velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo teremos:
1ª etapa: Calcule s(t+ a).
s(t+a)=( t+ a) -6(t +a)= t + 2ta + a –6t–6a
2ª etapa: calcule s(t+a) – s(t).
s(t+a) – s(t)= t + 2ta + a – 6t–6a – (t – 6t).
s(t+a) – s(t)= t + 2ta + a – 6t–6a – t + 6t.=2ta + a –6a
s(t+a) – s(t)=a(2t + a – 6)
4ª etapa: Resposta.
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Veículos
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A velocidade em um instante t=a é dada pela função v(t)=2t-6 (em m/s)
Lembre-se que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo e que, no item,
obtivemos v(t)=2t-6. Para resolver este exemplo, faremos uma adaptação na definição de derivada.
Assim f(x)= v(t) e h=a.
1ª etapa: Calcule v(t+ a).
v(t+a)=2( t+ a)- 6= 2t + 2a – 6
2ª etapa: calcule v(t+a) – v(t).
v(t+a) – v(t)= 2t + 2a – 6 – (2t – 6)
v(t+a) – v(t)= 2t + 2a – 6 – 2t + 6= 2a
v(t+a) – v(t)=2a
4ª etapa: Resposta.
A aceleração em um instante t=a é dada pela função a(t)=2 m/s
Exemplo 04: no decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de
vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta
uniformemente, qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido em relação à variação
do raio, quando o raio for igual a 5cm?
Solução:
Lembrando que a área de um região circular pode ser calculada por A=πr , onde A é a área da
região e r é o raio e que taxa de variação da área pode ser interpretada como a derivada da área em
relação ao raio, teremos:
f(x)=A(r) e h=a é a variação do raio
1ª etapa: Calcule A(r+ a).
A(r+ a).= π (r+ a) = π(r + 2ra + a )
2ª etapa: calcule A(r+a) – A(r).
A(r+a) – A(r).= π (r + 2ra + a - r )= π (2ar + a )
A(r+a) – A(r).= 2a πr + πa
4ª etapa: Resposta.
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A taxa de variação da área será obtida quando r=5cm. Neste caso, teremos:
A “ (r)=2rπ
A ” (r)=2*5π=10π cm
Em Matemática, a derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular
(inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) (veja imagem abaixo). 
Considere a seguinte situação: dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos
um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a),
onde m é o coeficiente angular da reta. Desta forma, basta que conheçamos o coeficiente angular m
da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas, como obter m, para que r seja
tangente à curva em P (Bonetto e Murolo-2016)?
Exemplo 05: Seja f(x) = x2, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto P(3, 9).
Solução:
Vamos calcular o coeficiente angular, isto é m=f “ x)
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)=( x+ h) = x + 2xh + h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h – x = 2xh + h
f(x+h) – f(x)=2xh + h = h( 2x + h)
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= x + 3x é f “ (x)=m=2x
Agora, basta substituir os valores de P(3; 9) em f ” (x)=m=2x que teremos o coeficiente angular.
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Reta tangente a uma curva.
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f “ (2)=m=2*3=6
Encontrando a equação da reta tangente, lembre-se que: a=3 e f(3)= 9
y - f(a) = m (x - a)
y – 9 = 6(x -3); y – 9 = 6x – 18; y = 6x – 18 + 9
y = 6x –9
Resposta:a equação procurada é y = 6x –9.
Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função
marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Partindo desse
ponto de vista, podemos pensar na função marginal de f(x) como a função derivada de f(x). Assim, a
função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da
função receita e assim por diante (Medeiros-2010).
Considere os exemplos a seguir:
Exemplo 06: Considere C(x)= – x + 300x + 100. Determine o custo marginal para produzir 10
unidades.
Solução:
1ª etapa: Calcule C(x+ h).
C(x+h)= -(x +h) +300(x +h) +100 = -x – 2xh – h + 300x + 300h + 100
2ª etapa: calcule C(x+h) – C(x).
C(x+h) – C(x)= -x – 2xh – h + 300x + 300h + 100 – (– x + 300x + 100).
C(x+h) – C(x)=-x – 2xh – h + 300x + 300h + 100 + x - 300x - 100).
C(x+h) – C(x)= -2xh – h + 300h = h( -2x – h + 300)
4ª etapa: Resposta.
O custo marginal da produção de 10 unidades é C “ (10)= -2*10 + 300
C ” (10)=-20 + 300; C “ (10)=280 
Custos e Taxas.
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Apresentamos algumas regras de derivação. Agora, mostraremos a você algumas formas de derivar
outras funções como, por exemplo:
1. se f (x) = senx então f ´ (x) = cosx
2. se f (x) = cosx então f ´(x) = senx
3. se f (x) = a então f ´ (x) = a lna
4. se f (x) = e então f ´(x) = e
5. se f (x) = log x então f ´(x) = 1/xlna
6. se f (x) = lnx então f ´ (x) = 1/x
Existem outras derivadas e, para conhecê-las, leia Laurence e Bradley-2010.
x x
x x
a
3. Regras De Derivação
O processo de calcular derivada por meio da definição pode ser muito cansativo se f(x) é uma
expressão complicada. Nesta seção, apresentaremos fórmulas e técnicas gerais que nos permitem
determinar f´ (x) sem recorrer ao limite.
Exemplo 01: Use a 1ª regra para calcular a derivada de:
2ª Regra: Seja f: R → R uma função definida por f (x) = x , para todo n ∈Z e x ≠ 0 quando n ≤ 0.
Então df (x)/dx = nx .
Exemplo 02: Use a 2ª regra para calcular a derivada de f(x)= x :
n
n-1
10
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3ª Regra: Sejam X ⊆ R um intervalo aberto, f, g: X →R duas funções e c ∈R
uma constante. Se f e g são diferenciáveis em X, então:
Exemplo 03: Use a 3ª regra para calcular a derivada das funções dadas:
4ª Regra: Produto de funções.
5ª Regra: Quociente de funções.
Exemplo 05: Use a 5ª regra para calcular a derivada das funções dadas
a) f(x)= 2x e g(x)= 5x4 3
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Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: u(x) = (x + x + 1)1000 com as regras dadas.
Temos duas possibilidades: 1) desenvolver o trinômio e aplicar, sucessivamente, a regra da soma ou
2) escrever como produto de 1000 polinômios e usar a regra do produto. Como ambas as
possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja g(x) = x e f(x) = x + x +
1; é claro que u(x) = (g f)(x). Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema estará
resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g f em termos das
derivadas de f e g, que são mais simples (Hoffmann e Bradley- 2010).
6ª Regra: Regra da Cadeia.
Sejam f e g funções, tais que gof esteja bem definida. Se f é derivável em x e g é derivável em f(x),
então g f é derivável em x e:
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses da regra, temos
que (Stewart-2013):
Exemplo 06: Use a 6ª regra para calcular a derivada da função
v(x)= (x + x + 1) .
Solução
Seja f(x)= x + x + 1 e g(f(x))=f(x)
f “(x) = 9x + 6x =9x + 6x (I)
g” (f(x)) = 1000 f(x) =1000 f(x) =1000(9x + 6x ) (II)
Agora, vamos substituir (I) e (II) na definição da regra da cadeia
9 6
1000 9 6
0
0
0
9 6 1000
9 6 1000
9-1 6-1 8 5
1000-1 999 8 5 999
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Exemplo 07: Sabendo que y=g(x)= x + x +1 e x=x(t)= t +1, use a 6ªregra para calcular a derivada
de y em relação a t.
Solução
Lembre-se que y=g(x)= x + x +1 e x=x(t)= t +1
3 2
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4. Conclusão
O tópico discutiu Derivadas, Regras de derivação e Regra da Cadeia. Primeiramente, foram
discutidos os conceitos de derivada, usada em exemplos, e calculou-se a derivada de uma função
por meio da definição.
Seguindo a discussão, foi possível apresentar as principais regras de derivação de funções, as quais
foram aplicadas em exercícios. Ao longo do texto, mostramos que derivadas possuem aplicações em
áreas como Física, Matemática, Administração e em Economia. Além disso, ficou claro que dominar
o conteúdo deste tópico auxiliará muito o seu crescimento durante o curso, para ter a possibilidade
de analisar, de forma crítica e clara, situações já conhecidas anteriormente, além de auxiliá-los nos
tópicos seguintes.
5. Referências
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações.
Rio de Janeiro: LTC, 2010.
BONETTO, Giacomo Augusto. MUROLO, Afranio Carlos. Fundamentos de Matemática para
engenharias e Tecnologias. São Paulo, SP: Cengage Leraning, 2016.
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Origem do Conceito de derivada de uma função. Só Matemática. Virtuous Tecnologia da
Informação, 1998-2019. Disponível
em: <https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de Economia, administração e
ciências contábeis. 6ed. São Paulo: Atlas, 2010.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
SOUZA, Veriano Catinin. História do Cálculo Diferencial e Integral. In: SOUZA, Veriano Catinin. A
origem do Cálculo diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Universidade Candido Mendes,
2001. Disponível em:
http://www.avm.edu.br/monopdf/4/VERIANO%20CATININ%20DE%20SOUZA.pdf.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Definição formal e alternativa de
derivada / Matemática / Khan Academy. 7min.12seg. Disponível em:
<https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-2/v/alternate-
form-of-the-derivative>.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Definição formal e alternativa de
derivada / Matemática / Khan Academy. 7min.12seg. Disponível em:
<https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-
rule?
modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobCh
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