INTRODUCAO_A_PROBABILIDADE_E_ESTATISTICA_FISICA_CEDERJ_2020 1_APX2_Gabarito

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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP2 - gabarito 1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – GABARITO – 2020/1
Questão 1 [1,5 ponto] Uma urna contém 3 bolas amarelas, 7 bolas azuis e 2 bolas brancas. Uma
bola é escolhida da urna, ao acaso. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser azul ou branca.
Solução.
Na urna, há um total de 12 bolas, sendo 7 azuis e 2 brancas.
Consideremos os eventos: A - a bola retirada é azul e B - a bola retirada é branca.
Logo, a probabilidade de a peça retirada ser amarela ou branca é dada por
P (A ∪B) = P (A) + P (B) = 7
12
+
2
12
=
9
12
=
3
4
.
Questão 2 [2,5 pontos] Duas moedas M1 e M2 viciadas são tais que a probabilidade de se obter
coroa ao jogar a moeda M1 é o dobro da probabilidade de se obter cara, ao jogar essa mesma moeda,
e a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M2 é o triplo da probabilidade de se obter
cara, ao jogar essa mesma moeda. Escolhe-se, aleatoriamente, uma das duas moedas e a moeda
escolhida é lançada. Determine a probabilidade de que a moeda M1 tenha sido usada, sabendo que
o resultado obtido foi coroa.
Solução.
Para a moeda M1, consideremos p1 a probabilidade de se obter cara. Logo, a probabilidade de se
obter coroa é 2p1.
Portanto, p1 + 2p1 = 1⇒ p1 =
1
3
.
Logo, a probabilidade de se obter cara ao jogar a moeda M1 é
1
3
e a probabilidade de se obter coroa
é
2
3
.
Para a moeda M2, consideremos p2 a probabilidade de se obter cara. Logo, a probabilidade de se
obter coroa é 3p2.
Portanto, p2 + 3p2 = 1⇒ p2 =
1
4
.
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP2 - gabarito 2
Logo, a probabilidade de se obter cara ao jogar a moeda M2 é
1
4
e a probabilidade de se obter coroa
é
3
4
.
Consideremos os eventos:
E1 - a moeda M1 foi escolhida; E2 - a modea M2 foi escolhida; K - coroa foi obtida.
P (K) = P (K|E1)× P (E1) + P (K|E2)× P (E2) =
2
3
× 1
2
+
3
4
× 1
2
=
1
3
+
3
8
=
17
24
.
Observamos que P (E1) = P (E2) = 0, 5 pois a probabilidade de escolher a moeda M1 é a mesma
de escolher a moeda M2.
Usando a Regra de Bayes, temos P (E1|K) =
P (K|E1)P (E1)
P (K)
=
(2/3)× (1/2)
17/24
=
8
17
.
Questão 3 [2,0 pontos] Considere o conjunto de todos os números inteiros de 1 a 100, incluindo
o número 1 e o número 100. Escolhem-se, aleatoriamente, 6 números desse conjunto. Determine a
probabilidade de 4 dos números escolhidos serem múltiplos de 5.
Solução. No conjunto de 1 a 100, temos 20 múltiplos de 5.
Portanto, a probabilidade de um número escolhido do conjunto ser múltiplo de 5 é
20
100
=
1
5
.
Assim, pelo teorema binomial, a probabilidade desejada é dada por:
C(6, 4)
(
1
5
)4
×
(
4
5
)2
=
48
3.125
.
Questão 4 [2,0 pontos] Hamilton e Moisés resolveram juntar suas bolinhas de gude em uma
mesma caixa. Hamilton tinha dez bolinhas e Moisés vinte bolinhas. São retiradas, ao acaso, 3
bolinhas de gude da caixa, uma após a outra, sem reposição. Determine a probabilidade de pelo
menos uma das bolinhas retiradas ser de Hamilton.
Solução.
A cardinalidade do espaço amostral é C(30, 3) =
30× 29× 28
3× 2× 1
= 4060.
O número de possibilidades de as três bolinhas serem de Hamilton é C(10, 3) = 120.
Portanto, a probabilidade de as três bolinhas serem de Hamilton é
120
4060
=
6
203
. A probabilidade de
pelo menos uma das bolinhas ser de Hamilton pode ser obtida pela probabilidade do complementar,
1− 6
203
=
197
203
.
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP2 - gabarito 3
Questão 5 [2,0 ponto] Em uma competição de lançamento de dardos, um jogador lança duas
vezes um dardo em direção ao alvo. Sabe-se que a probabilidade de esse jogador acertar o alvo, a
cada lançamento, é
2
7
. Considere X a variável aleatória correspondente ao número de vezes em que
o jogador acertou o alvo. Determine o valor esperado da variável aleatória X.
Solução.
Temos três valores posśıveis para a variável aleatória X. São eles: X = 0, X = 1 e X = 2.
A distribuição de probabilidades da variável aleatória X é dada por
P (X = 0) =
(
5
7
)
×
(
5
7
)
=
25
49
,
P (X = 1) =
(
5
7
)
×
(
2
7
)
+
(
2
7
)
×
(
5
7
)
=
20
49
,
P (X = 2) =
(
2
7
)
×
(
2
7
)
=
4
49
.
Portanto, o valor esperado da variável aleatória X é dado por
E(X) = 0× P (X = 0) + 1× P (X = 1) + 2× P (X = 2) = 20
49
+ 2× 4
49
=
28
49
=
4
7
.
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