Aula_1_-_Introduo_e_conceitos_fundamentais

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UNIDADE 1 – 
AULA 1 – INTRODUÇÃO À 
MECÂNICA DOS FLUIDOS E 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
ECT2413 - Mecânica Dos Fluidos 
Prof.ª Camila Pacelly Brandão de Araújo 
 
 
 
 
 
1. POR QUE ESTUDAR MECÂNICA DOS FLUIDOS? 
 
A primeira grande pergunta que a maioria dos estudantes tem quando entra na sala de aula 
de Mecânica dos Fluidos é: “Porque é que eu devo estudar isso?”, a qual geralmente 
encontra um olhar de exasperação por parte do professor. Imagine só! O estudante está em 
contato com a Mecânica dos Fluidos desde antes do seu nascimento e não se dá conta! 
Quando falamos em líquido embrionário, respiração, fluxo sanguíneo, todos são fenômenos 
relacionados ao escoamento de fluidos no interior do corpo humano. 
Mas não só de fluidos corporais se faz a Mecânica dos Fluidos! 
Enquanto ciência, a Mecânica dos Fluidos passou a se desenvolver a partir da necessidade 
de conhecimento sobre fenômenos do cotidiano (abastecimento de água, navegação e 
construção de hidrelétricas) e permeou a evolução da civilização e as buscas por novos 
continentes! Imagine que a escavação de poços, a construção de canais para distribuição de 
água, o uso de rodas d'água como fonte de potência para moagem de grãos e a instalação 
dos famosos aquedutos em Roma, são todos exemplos de aplicações dos conhecimentos que 
iremos desenvolver juntos. A partir de Roma até os dias atuais, temos o desenvolvimento da 
navegação, da aeronáutica, da indústria aeroespacial e de automóveis, que encontra na 
Mecânica dos Fluidos a base para sua evolução. No infográfico 1 você vai encontrar algumas 
das aplicações mais recorrentes da Mecânica dos Fluidos na área de Engenharia. 
 
 
 
2. O QUE É UM FLUIDO? 
 
Já que já vimos que a Mecânica dos Fluidos é uma ciência plural e que abrange diversos 
aspectos da nossa vida cotidiana, podemos passar para a segunda grande questão que os 
alunos sofrem quando chegam à componente de Mecânica dos Fluidos: “O que é esse tal de 
fluido? ”. 
Então vamos tentar responder? 
Quando falamos sobre os estados da matéria, se costuma identificar o estado da matéria 
que um determinado corpo apresenta com base na força de coesão entre as moléculas que 
o constitui. É desta forma que atribuímos as designações de estado sólido, líquido ou gasoso 
aos materiais. A Figura 1 ilustra isso. As forças de coesão destes estados decrescem do sólido 
ao líquido e deste ao gasoso (Sólido>Líquido>Gás). 
Figura 1: Estados físicos da matéria e forças intermoleculares. 
 
Fonte: 
A questão é que do ponto de vista da mecânica dos fluidos, esta classificação não é boa o 
suficiente. Veremos que é o comportamento de um dado material frente à aplicação de 
esforços mecânicos que o classificará como sólido ou fluido. 
Vamos ver o que acontece quando aplicamos esforços mecânicos a sólidos? 
A Figura 2 ilustra um material submetido à tração, à compressão e a esforço tangencial (ou 
cisalhante). 
Figura 2: Alguns tipos de esforços mecânicos aplicados a um material. 
 
Fonte: Autoria Própria 
Quando um sólido é submetido a um esforço de tração a níveis abaixo de seu limite de 
ruptura e acima do limite elástico, por exemplo, observa-se que, mesmo cessado o esforço, 
o corpo deforma-se de maneira permanente não readquirindo seu formato original. Já 
líquidos e gases de forma geral, em função da baixa força de coesão molecular, não resistem 
a este tipo de esforço, por menor que ele seja. 
A compressão de sólidos também lhe impõe deformações permanentes, ao passo que nos 
líquidos e gases este esforço é mais ou menos resistido de acordo com a compressibilidade 
do fluido. Neste aspecto, os líquidos apresentam capacidade de compressão bem menor que 
os gases. 
Porém é quando sujeitos a esforços cisalhantes ou tangenciais que se apresentam grandes 
diferenças de comportamento entre sólidos e líquidos. O sólido deforma-se escoando até 
um novo estado onde volta a se comportar como sólido rígido não permitindo a continuidade 
da deformação. Já os fluidos (gases, líquidos e pastosos), por sua vez, não apresentam 
limitação na deformação e, enquanto o esforço permanecer, manter-se-á o escoamento 
fluido. A Figura 3 ilustra essa diferença em comportamento. 
DESTA FORMA, DEFINE-SE FLUIDO COMO TODO MATERIAL QUE SE DEFORMA 
CONTINUAMENTE QUANDO SUBMETIDO A ESFORÇOS TANGENCIAIS. 
Figura 3: Comportamento de sólidos e fluidos frente a um esforço cisalhante. 
 
Fonte: Adaptado de FOX (2008) 
 
 
 
 
3. EQUAÇÕES BÁSICAS 
 
Excelente! Agora que já sabemos o que é um fluido, podemos começar a entender melhor o 
que a Mecânica dos Fluidos faz. 
Vamos por partes? 
A palavra Mecânica diz respeito ao ramo da Física responsável pelo estudo do movimento 
dos corpos. Assim sendo, é responsável pela análise do movimento e repouso dos corpos, 
bem como a evolução desse movimento ao longo do tempo, ou o deslocamento de corpos 
sob a ação de forças. 
Fluidos, em adição, se refere a uma parcela da matéria, cujo comportamento segue a 
definição que já postulamos. 
Então, podemos entender a Mecânica dos Fluidos como o estudo do movimento e repouso 
de fluidos, mediante a ação de forças. 
Assim, para que possamos evoluir nesse estudo se faz necessário que você verifique se todos 
os seguintes termos e equações já fazem parte do seu vocabulário pregresso. 
Vamos checar no quadro abaixo? 
Tabela 1: Equações básicas para a Mecânica dos Fluidos 
Equações básicas Formulação tradicional 
Conservação da massa “Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma.” 
∆𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 0 
2ª Lei de Newton “A força resultante (soma vetorial de todas as forças 
aplicadas) é diretamente proporcional ao produto da 
aceleração de um corpo pela sua massa” 
F ⃗ = m. a⃗ 
1ª Lei da termodinâmica “A energia total transferida para um sistema na forma de calor 
ou trabalho é igual à variação de sua energia interna, ou seja, 
em todo processo natural, a energia do universo se conserva” 
∆U = Q − W 
O princípio da 
quantidade de 
movimento angular 
“O momento angular total do sistema é conservado se o 
torque total externo que age sobre ele é nulo” 
�⃗� = 𝑟 𝑥 �⃗�𝑚 
2ª Lei da Termodinâmica “A variação da entropia total de um sistema em um processo 
termodinâmico será sempre maior ou igual a zero” 
𝑑𝑆
𝑑𝑇
≥ �̇� 
 
É óbvio que as leis básicas com as quais lidaremos são as mesmas usadas na mecânica e na 
termodinâmica. A nossa tarefa será formular essas leis de modo adequado para resolver 
problemas de escoamento de fluidos e então aplicá-las a uma grande variedade de situações. 
Na forma tradicionalmente abordada dessas equações, você provavelmente utilizou o 
conceito de sistema fechado para chegar a uma ou outra delas. 
Vamos retomar esse conceito??? 
SISTEMA: É UMA QUANTIDADE DE MASSA FIXA E IDENTIFICÁVEL, SEPARADA DO 
AMBIENTE POR SUAS FRONTEIRAS, QUE SE ESCOLHE COMO OBJETO DE ESTUDO. 
Não existem fluxos de massa através das fronteiras que delimitam o sistema. As fronteiras 
que o definem podem ser físicas OU imaginárias e tudo que for externo ao sistema é 
chamado de vizinhança e, a depender do tipo de sistema, existe um tipo de interação entre 
eles. 
Sistemas isolados não permitem a troca nem que quantidades de energia, nem de massa, 
através de suas fronteiras. Já sistemas fechados permitem a transferência de energia, mas 
não de massa, através das fronteiras. Os sistemas ditos abertos permitem a transferência de 
energia e massa através de suas fronteiras e são chamados de volumes de controle. 
VOLUME DE CONTROLE: UM VOLUME ARBITRÁRIO NO ESPAÇO QUE SE DESEJA 
OBSERVAR. PODEM EXISTIR FLUXOS MÁSSICOS ATRAVÉS DE SUAS FRONTEIRAS. 
A sua superfície pode ser imaginária ou física, e é delimitada pela superfície de controle. 
Pode consultar os slides para obter esses conceitos de maneira mais visual! 
 
 
 
4. MÉTODOS DE ANÁLISE 
 
Agora que já sabemos que ferramentas teremos à mão para utilizar ao longo do nosso curso, 
podemos nos debruçar sobre o problema de como adaptar esse equacionamento paranossas necessidades analíticas em cada caso. 
A mecânica lida quase que exclusivamente com sistemas. Você já deve ter usado 
intensivamente as equações básicas aplicadas a uma quantidade de massa identificável e 
fixa. Já deve ter, por exemplo, calculado a força necessária para que uma bola de 5kg adquira 
uma dada aceleração. 
Por outro lado, ao tentar analisar dispositivos termodinâmicos, como bombas, válvulas, ou 
outros, você pode ter achado necessário usar um volume de controle (sistema aberto) para 
descrever seu problema. 
Claramente, o tipo de análise depende do problema em questão. 
Quando os elementos de massa identificáveis (ou a partícula fluida de interesse) é facilmente 
acompanhável, lançamos mão de um método de descrição que acompanha a partícula. 
Referimos a isso, usualmente, como o método de descrição Lagrangeano. 
Quando, ao contrário, é difícil de acompanhar as partículas individuais, a formulação em 
termos de volume de controle é a alternativa mais conveniente e dizemos estar usando um 
método de descrição Euleriano, no qual as propriedades do fluido são descritas na forma de 
campo, ou seja, possuem um valor determinado em cada ponto do espaço a cada instante 
de tempo. 
Você pode checar os infográficos das próximas páginas que esclarecem um pouco mais essas 
diferenças. 
 
 
5. FLUIDO COMO CONTÍNUO 
 
Imagine só como uma coisa leva a outra, e a outra e a mais uma, em seguida! 
Dissemos que a perspectiva Euleriana descrevia as propriedades do fluido seguindo um 
campo, de tal maneira que essas propriedades possuíam um valor determinado em cada 
ponto do espaço e a cada instante de tempo. Assim, propriedades como temperatura, massa 
específica, velocidade, etc. são consideradas funções da posição e do tempo. 
Se essas propriedades devem ser descritas a cada ponto, precisamos saber de que tamanho 
seria um ponto para os fins necessários aos nossos estudos e isso nos leva diretamente à 
hipótese do fluido como um meio contínuo. 
Veja bem! 
Sabemos claramente que a estrutura molecular dos fluidos não está distribuída de forma 
contínua no espaço, mas concentrada em moléculas que estão separados por regiões 
relativamente grandes de espaço. Isso é fácil de imaginar quando pensamos em uma massa 
de gás, por exemplo. Apesar disso, tratamos os fluidos (para os fins desse curso) como sendo 
suaves, ou seja, um meio contínuo. Nós não estamos interessados na natureza estatística e 
molecular do fluido e tratamos suas propriedades como funções matemáticas contínuas que 
variam suavemente de um ponto a outro. 
Tomemos, para efeito de exemplificação, a forma pela qual determinamos a massa 
específica de um dado fluido. 
A massa específica é a relação entre a massa contida em um dado volume do espaço. Se 
tomarmos uma região do espaço “preenchida” por um fluido estacionário (por exemplo, o 
ar em uma garrafa, tratado como um único gás) ele parecerá um meio contínuo, mas se 
ampliarmos um pequeno cubo da região, poderemos ver que a maior parte do espaço é 
vazia, com moléculas de gás espalhadas ao redor, se movendo a alta velocidade. Assim, qual 
deverá ser o mínimo volume, que um ponto C deve ter, de modo a podermos falar sobre 
propriedades de fluido contínuo tal como a massa específica? 
A Figura 4 apresenta essa relação. Podemos observar que diminuições excessivas do volume 
considerado para a determinação poderão levar a oscilações imprevisíveis da relação 
massa/volume, indicando a entrada ou saída de moléculas individuais de maneira discreta 
no nosso volume de controle. Nesse ponto, podemos perceber o limite da hipótese do 
contínuo. 
Para o ar nas CPPTs (condições padrão de temperatura e pressão) esse volume mínimo do 
volume de controle é aproximadamente de 0,001mm³ (aproximadamente o tamanho de um 
grão de areia). 
Figura 4: A hipótese do contínuo e a determinação da massa específica. 
 
Fonte: Adaptado de FOX (2008) 
 
6. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E SEUS CAMPOS 
 
Para caracterizar o estado de um fluido, segundo uma perspectiva Euleriana, portanto, é 
importante a definição de um número de campos de propriedades que o caracterize a cada 
instante de tempo dentro do domínio em estudo. 
Dentre os mais importantes para a mecânica dos fluidos, podem ser citados os campos de 
massa específica (e suas relações), o campo de velocidade e o estado de tensões do fluido. 
O campo de massa específica relaciona-se diretamente com a propriedade massa específica. 
Já o estado de tensões do fluido relaciona-se com a composição de tensões cisalhantes e 
viscosas, sendo uma relação tanto da pressão quanto da propriedade viscosidade. O campo 
de velocidades, por sua vez, não se relaciona diretamente a uma propriedade específica do 
fluido, mas será também elencado nessa seção por afinidade temática. 
 
6.1 CAMPO DE MASSA ESPECÍFICA 
 
A propriedade massa específica representa a relação entre a quantidade de massa ou 
matéria do fluido por unidade de volume e, para um volume V que contém uma massa m de 
fluido, pode ser definida como: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
 
que pode diferir da massa específica do fluido em cada ponto do volume V. 
𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
Como todas as quantidades envolvidas são escalares, o campo de massa específica também 
o é. Assim, não se faz necessária a informação de direção para o campo ser completamente 
descrito, apenas o valor da massa específica do fluido em cada ponto. 
Essa constatação, de que podem existir valores diferentes de massa específica em cada 
ponto de um domínio pode parecer estranha a princípio, mas podemos esclarecer 
rapidamente com o seguinte exemplo. 
Imagine uma sala de aula com 30 alunos (que saudade das aglomerações!!!!) dotada de um 
sistema de condicionamento de ar, conforme a figura abaixo. A razão pela qual os 
equipamentos de ar condicionado são instalados nas regiões mais altas das salas é devido ao 
fato de que o ar mais frio tem massa específica maior que o ar mais quente (podemos 
considerá-lo como um gás ideal) 
𝜌 =
𝑃
𝑅𝑇
 
Dessa forma, se tomarmos essa sala hipotética, podemos observar várias regiões com 
massas específicas do ar distintas, a depender da distribuição de temperatura do ambiente. 
Próximo às janelas, o calor irradiado do sol pode aquecer o ar local, mudando sua massa 
específica. Próximo à saída de ar condicionado, o ar com temperatura menor, apresentará 
massa específica maior. 
Além disso, como tanto a irradiação solar que entra no ambiente pela janela, quanto o 
funcionamento do ar condicionado apresentam variações ao longo de um dia, podemos 
entender esse campo de massa específica como dependente do tempo, também. 
Figura 5: Sala de aula hipotética e regiões de massa específica distintas no domínio. 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
PROPRIEDADES RELACIONADAS AO CAMPO DE MASSA ESPECÍFICA: 
Outras propriedades também interessantes ao estudo de Mecânica dos Fluidos e 
relacionadas com a massa específica são: 
 Densidade Relativa (DR): é a razão entre a massa específica de um fluido 
qualquer e a densidade da água a 4°C (1000kg/m³ ou 1g/cm³). Também pode ser 
encontrada como SG ou Specific Gravity, do inglês. Notem que, por ser uma relação entre 
massas específicas, a densidade relativa é adimensional. 
 𝐷𝑅 =
( ° )
 
 
 Peso Específico (): representa a relação entre o peso de um dado fluido em relação 
ao volume por ele ocupado. Pode ser compreendido como o resultado da ação da 
gravidade sobre a massa fluida por unidade de volume ou simplesmente o produto entre 
a massa específica do fluido e a aceleração da gravidade. 
𝛾 =
𝑊
∀
 
Ou 𝛾 =
∀
 
Ou 𝛾 = 𝜌𝑔 
 
 Volume Específico (v): representa o volume ocupado por cada unidade de massa 
do fluido. É a relação inversa da massa específica do fluido 
 𝑣 = ∀ = 
Vamos exercitar esses conceitos??? 
Abaixo vocês vão encontrar algumas questões relacionadas ao que vimos até agora. Elas têm 
gabarito disponível no final da unidade para que você possa avaliar se conseguiu fazer 
direitinho está bom?EXERCICIOS 
• 1 - Sabendo-se que 1500 kg de massa de uma determinada substância ocupa um volume 
de 2 m³, determine a sua massa específica (ρ), o peso específico (γ) e sua densidade 
relativa (d). Dados: ρH20 = 1000 kg/m3 e g = 9,81 m/s² 
• 2 - Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, sabendo-
se que ele se encontra totalmente preenchido de gasolina, determine a massa de gasolina 
presente no reservatório. Dados:  gasolina= 720kg/m³ 
• 3- A massa específica de uma determinada substância é igual a 740kg/m³, determine o 
volume (em L) ocupado por uma massa de 1102,3 lbm dessa substância. Dado: 1 
lbm=0,4536 kg e 1m³=1000L 
• 4- Sabe-se que 400kg de um líquido ocupa um reservatório com volume de 52,95 ft³, 
determine sua massa específica, seu peso específico e a sua densidade relativa nas 
unidades apropriadas do SI. Dados: 1 ft=0,3048m. 
• 5- Transforme os resultados do exercício anterior para o sistema inglês. Dado: 1 N = 
0,2248 lbf. 
 
6.2 VISCOSIDADE 
 
Agora que já sabemos como podemos expressar a propriedade massa específica do fluido, e 
como podemos descrever o campo de massa específica como uma função temporal e 
espacial, vamos começar a entender outra propriedade fundamental para o estudo de 
Mecânica dos Fluidos: a viscosidade. Essa propriedade vai estar diretamente relacionada 
com o campo de tensões ao qual um fluido está sujeito. Esse estado de tensões vai ser 
definido ainda nesse capítulo ok? 
Todos sabemos que gases são muito diferentes de líquidos, e que mesmo entre os líquidos 
existem fluidos com comportamentos muito distintos. O mel de abelha, por exemplo, é um 
líquido, mas é muito mais difícil de escoar do que a água, não é mesmo? Podemos fazer esse 
mesmo tipo de comparação entre vários fluidos e veremos que dificilmente encontraremos 
fluidos com a mesma “dificuldade para escoar”. Chamamos isso de comportamento 
reológico do fluido e o comportamento reológico de cada fluido depende da natureza do 
próprio fluido. 
O vídeo desse link (https://www.youtube.com/watch?v=YHqI5PKmG-A) mostra um 
experimento bastante simples para podermos observar essa natureza viscosa de vários 
fluidos. 
Viscosidade é a propriedade do material que mede sua resistência ao escoamento ou à 
deformação associada à ação de tensões cisalhantes. 
Já pensaram o que seriam essas tensões cisalhantes? 
Nós já definimos o que seriam esforços cisalhantes no início dessa unidade, lembram? 
Tensões são relações entre força aplicada e uma área de atuação. A pressão é um tipo de 
tensão que você provavelmente já ouviu falar antes, não é mesmo??? 
Existem dois tipos de forças que podem atuar sobre um meio fluido forças de superfície e 
forças de campo. 
Forças de superfície são geradas pela ação de forças de superfície (pressão, atrito) que atuam 
pelo contato com outras partículas ou com superfícies sólidas 
Por outro lado, forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética) agem 
através das partículas. 
A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por,𝜌𝑔𝑑𝑉 
no qual ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da 
gravidade. Portanto, a força de campo gravitacional por unidade de volume é 
�⃗� = 𝜌�⃗� 
E por unidade de massa é 
�⃗� = �⃗� 
Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões. O conceito de tensão 
é útil para descrever como é que forças, agindo sobre as fronteiras de um meio (fluido ou 
sólido), são transmitidas através do meio. 
Imagine um meio contínuo como o mostrado na Figura abaixo, no qual uma força resultante 
infinitesimal 𝛿�⃗� atua sobre um dado ponto C de área infinitesimal 𝛿�⃗�, cuja direção normal 
(perpendicular) é representada pelo vetor unitário 𝑛. Se decompusermos essa força 
resultante em duas direções: normal e tangencial à área 𝛿𝐴, teremos duas componentes da 
força, que poderemos denominar de 𝛿𝐹 com relação à componente na direção normal, e 
𝛿𝐹 com respeito à componente na direção tangencial. 
Figura 6: Forças atuantes sobre um meio contínuo. 
 
Fonte: FOX(2008) 
 
Então, podemos definir dois tipos fundamentais de tensão como sendo: 
𝜏 = lim
→
𝛿𝐹
𝛿𝐴
 
𝜎 = lim
→
 
Assim, tensões cisalhantes correspondem a ação de forças cisalhantes sobre um elemento 
fluido, enquanto tensões normais correspondem à ação de forças normais sobre um 
elemento fluido. 
 
 
Ainda de acordo com a Figura 6, poderíamos notar que a tensão cisalhante discriminada está 
relacionada com a força cisalhante, e que não foi feita qualquer menção sobre o fato de esta 
componente estar orientada de acordo com qualquer dos eixos coordenados. 
Se fizermos isso (orientarmos o elemento fluido com respeito aos eixos coordenados x,y,z) 
conforme a Figura 7, veremos que podemos ter mais de uma componente para a tensão 
cisalhante (τ): uma orientada segundo o eixo y, e uma orientada segundo o eixo z, e uma 
única tensão normal (σ). 
Além disso, convém destacar na Figura 7 a indicação da direção normal (em vermelho). O 
vetor unitário normal representante da área SEMPRE aponta na direção para fora da 
superfície de controle a qual se refere. 
Figura 7: Componentes da força e das tensões sobre o elemento de área orientado conforme os eixos coordenados x,y,z. 
 
Fonte: Adaptado de Fox(2008). 
Percebemos, portanto a necessidade de expressar o campo de tensões, ou o estado de 
tensão de um fluido por um tensor, um elemento matricial que representará todas essas 
componentes para uma partícula fluida tridimensional, conforme mostrado na Figura 8. 
Figura 8: Estado de tensões de uma partícula fluida e tensor de tensões. 
 
 
Perceba que o tensor de tensões emprega uma notação em índice duplo para identificar 
tanto a área em relação a qual a tensão é definida, como também a direção em que a mesma 
atua. Um primeiro índice indica a direção normal à área considerada e um segundo 
encarrega-se de definir a direção segundo a qual a tensão atua. Desta forma, a tensão τxy é 
a tensão tangencial que atua numa superfície cuja normal é paralela à direção x orientada 
segundo a direção y. 
A necessidade de a tensão estar correlacionada a uma área faz surgir uma nova entidade 
matemática denominada de tensor. Enquanto os vetores são completamente especificados 
pelo módulo, direção e sentido, os tensores necessitam ainda da área em relação a qual eles 
estão definidos para complementar sua informação. 
Ótimo! Agora sabemos que forças geram tensões e que estas podem ser normais ou 
cisalhantes a depender da orientação com respeito à área. Mas e a relação com a 
característica viscosa? 
Calma! Vamos chegar lá! 
COMPORTAMENTO REOLÓGICO DE FLUIDOS 
Dissemos anteriormente que, o critério de definição sobre a natureza fluida de um 
determinado material se baseia no seu comportamento quando submetido a esforços 
tangenciais. Este tipo de esforço impõe ao material deformações angulares que ocorrem de 
forma diferenciada para cada tipo de fluido. 
Imagine o seguinte experimento: 
Duas placas planas paralelas têm o espaço entre elas preenchido por um fluido. A placa 
inferior permanece fixa, enquanto a superior move-se com velocidade constante. Para que 
este movimento ocorra, uma força deve ser aplicada nesta placa de modo a vencer a 
resistência viscosa que o fluido impõe ao seu movimento. Essa força, portanto, agirá sobre 
uma área de atuação, gerando uma tensão cisalhante correspondente 
Figura 9: Escoamento de um fluido entre duas placas planas paralelas. 
 
Fonte: FOX (2008) 
Uma característica importante do comportamento de fluidos é que o fluido é solidário ao 
contorno que o limita, como assim? 
Foi verificado experimentalmente que a camada fluida imediatamente em contato com a 
superfície sólida encontra-se agregada a mesma e movimenta-se com a mesma velocidade 
desta superfície. Diz-se que o fluido obedece à CONDIÇÃO DE NÃO-ESCORREGAMENTO 
nesse ponto. Esta condição tem sido confirmada experimentalmenteem todas as situações 
onde a hipótese do contínuo pode ser admitida. 
Assim, podemos dizer que o fluido em contato com a placa superior desloca-se solidário à 
mesma, enquanto a camada fluida sobreposta à placa inferior permanece imóvel (também 
de maneira solidária a este contorno sólido). 
Queremos avaliar como que essa força aplicada para mover a placa se relaciona com a 
característica viscosa do fluido. Vamos lá? 
Sabemos, que a força se relaciona com a tensão cisalhante por: 
𝜏 = lim
→
𝛿𝐹
𝛿𝐴
=
𝑑𝐹
𝑑𝐴
 
Transferida pela placa superior para cada uma das camadas de fluido. 
A cada intervalo dt, o fluido deforma-se de um ângulo dα pelo fato de cada camada de fluido 
ser puxada na direção da força aplicada para movê-lo. A razão entre o quanto o fluido se 
deformou angularmente e o intervalo de tempo considerado é o que chamamos de taxa de 
deformação angular  . Obviamente, a velocidade de deformação verificada depende das 
características constitutivas do fluido entre as placas. Matematicamente podemos expressá-
la como: 
�̇� = lim
→
𝛿𝛼
𝛿𝑡
=
𝑑𝛼
𝑑𝑡
 
Pela geometria podemos também afirmar que, para ângulos pequenos: 
𝑡𝑔(𝑑𝛼) ≅ 𝑑𝛼 =
𝛿𝑙
𝛿𝑦
 
Sabendo que o deslocamento infinitesimal 𝛿𝑙 ocorreu em um intervalo dt, podemos calcular 
a velocidade relativa para ser: 
𝑑𝑢 =
𝛿𝑙
𝑑𝑡
 
Podemos obter a taxa de deformação angular para ser: 
𝑑𝛼
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
Esse resultado nos informa que, para determinar a taxa instantânea de deformação angular 
em qualquer ponto entre as duas placas, basta conhecer a maneira pela qual a velocidade 
varia ao longo da distância entre as placas, ou seja, a derivada do perfil de velocidades com 
respeito à espessura y. 
Quer tentar uma outra forma de visualizar esse conteúdo? 
Assista o vídeo a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=5wuockYfa7Y&list=PLf1lowbdbFICGuf8AgDT9Dy9ulN
wK7tVa&index=10&t=0s 
Formuladas a tensão e a deformação sofrida pelo fluido, resta conhecer qual a relação que 
existe entre elas. 
A reologia é o estudo de como se dá o comportamento viscoso de materiais e tem como 
objetivo estabelecer suas relações constitutivas onde as deformações angulares sofridas são 
associadas às tensões aplicadas. 
 
 
Fluidos Newtonianos 
A relação mais simples entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação é a que se verifica 
para os chamados fluidos Newtonianos, que são fluidos cuja relação é proporcional, ou seja: 
𝜏 𝛼 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
E a constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta do fluido. 
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
Nesse caso, a relação é linear e o fluido se deforma por menor que seja a tensão aplicada. 
Os fluidos incluídos nesta classificação (ar, água, glicerina, melaço, por exemplo) apresentam 
relação de proporcionalidade entre as tensões aplicadas e as deformações observadas. 
Observa-se, no entanto, que quando diferentes fluidos são submetidos a um mesmo esforço 
tangencial, taxas de deformação de valores distintos são verificadas. Este comportamento 
particular de cada fluido é associado, portanto, a uma propriedade física dos mesmos 
denominada de viscosidade absoluta ou dinâmica. 
𝜇 = A viscosidade absoluta, no S.I. tem unidades de Pa.s, enquanto no CGS a unidade 
é P (Poise). 
Para converter esses valores basta atentar-se que: 
1 𝑃𝑎. 𝑠 = 10 𝑃 
Ou 
 1𝑚𝑃𝑎. 𝑠 = 1𝑐𝑃 
Fluidos Não-newtonianos 
Qualquer fluido cujo comportamento reológico seja distinto daquele verificado para os 
fluidos newtonianos é dito fluido não-newtoniano. Os hidrocarbonetos de cadeias longas 
(derivados de petróleo, por exemplo), em sua maioria são exemplos deste tipo de fluido. 
Fluidos de perfuração de petróleo, pasta de dente, enfim, vários outros, são fluidos não 
newtonianos. 
Em boa parte dos casos, a relação tensão- taxa de deformação não segue a linearidade e as 
equações constitutivas apresentam-se da seguinte forma 
𝜏 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
Para que essa equação fique expressa de maneira semelhante àquela dos fluidos 
newtonianos podemos definir a viscosidade aparente para ser: 
η = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
tal que: 
𝜏 = 𝜂
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
Assim, a viscosidade aparente, diferentemente da viscosidade absoluta, representa uma 
propriedade dependente não somente da constituição física do fluido, mas também das 
características do escoamento (taxa de deformação). 
 
Dentre os fluidos não newtonianos podemos destacar os fluidos Plásticos de Bingham, cujo 
comportamento se assemelha ao apresentado pelos fluidos newtonianos uma vez que um 
determinado nível de tensão (mínima de escoamento) seja superado. Sua relação 
constitutiva pode ser expressa por: 
𝜏 = 𝜏 + 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
É o caso de pasta de dentes, suspensões de argila, tintas a óleo e fluidos de perfuração de 
poços. Nesse último caso, em particular, essa característica é fundamental para que os 
sólidos removidos durante a perfuração permaneçam em suspensão na coluna de 
perfuração, sem sedimentar. Dessa maneira é possível se realizar operações de 
subida/descida de elementos da coluna de perfuração. 
Além desse tipo de comportamento, outros fluidos do nosso cotidiano também são não-
newtonianos. Fluidos pseudoplásticos, por exemplo, apresentam diminuição da viscosidade 
aparente mediante o aumento da taxa de deformação. Se formos tentar traduzir esse 
comportamento, poderíamos imaginá-los tornando-se sucessivamente mais finos, na 
medida em que se aumenta a taxa de deformação. Dessa maneira, se observarmos a 
expressão para a viscosidade aparente, podemos verificar que o expoente n (ou índice de 
comportamento do fluido) deve ser menor que a unidade, gerando um valor exponencial 
sobre a taxa de deformação negativo. Como exemplo de pseudoplásticos, podem ser citadas 
as soluções polímeras, como graxa, tinta de impressão e BPF, soluções coloidais e a polpa de 
papel diluída em água. 
η = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
→ 𝑛 < 1 
Fluidos ditos dilatantes apresentam comportamento análogo e inverso aos fluidos 
pseudoplásticos. Assim, os fluidos dilatantes aumentam a resistência ao escoamento à 
medida que este ocorre, ou seja, sua viscosidade aparente cresce com a deformação. Desta 
forma, a equação constitutiva destes fluidos apresenta expoente (n) maior que a unidade, 
justificando o comportamento desse fluido se tornar aparentemente mais viscoso. Exemplos 
de fluidos dilatantes são as suspensões de amido e de areia, bem como o silicato de potássio. 
η = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
→ 𝑛 > 1 
O comportamento reológico desses fluidos pode ser visualizado nos gráficos abaixo. 
Figura 10: Comportamento reológico de fluidos newtonianos e não newtonianos. 
 
Fonte: FOX(2008). 
 
Outros fluidos, apresentam também comportamento variável com o tempo, podem ser 
citados os tixotrópicos, cuja viscosidade aparente diminui com o tempo sob um determinado 
nível de tensão, e os reopéticos, que apresentam comportamento oposto. Algumas tintas 
são classificadas no primeiro grupo e os materiais que contém solventes voláteis (como colas 
e vernizes) constituem exemplos do segundo. 
Esses comportamentos, contudo, estão além do escopo do nosso texto. 
FATORES QUE ALTERAM A VISCOSIDADE DE UM FLUIDO 
Agora que já sabemos como relacionar a ação de uma tensão cisalhante com a resposta do 
fluido, podemos trabalhar com alguns conhecimentos empíricos que já temos. 
O que acontece com a viscosidade de um fluido se o aquecermos? E se exercermos pressão 
sobre ele? Vamos verificar? 
Provavelmente você já aqueceu mel, por exemplo, e viu que ele passou a escoar bem mais 
facilmente não? É quase que intuitivo da nossa parte esperar que mediante um aumento de 
temperatura a viscosidade de um fluido diminua, porque estamos acostumados a ver isso no 
comportamento de vários líquidos. Mas isso não é verdade para todos os fluidos! CUIDADO! 
Quando falamos de líquidos, de fato, o efeito de um aumento de temperatura é o de diminuir 
a viscosidade. Isso ocorre porque ao ceder energia para as moléculas do líquido elas passam 
a se agitar mais, enfraquecendoas interações intermoleculares existentes. Para gases, 
porém, o efeito é inverso. Aumentando a temperatura verifica-se, também, um aumento da 
energia cinética das moléculas, porém, mediante esse aumento de energia cinética também 
ocorre um aumento do número de choques das moléculas na fase gasosa. Isso leva a um 
efeito líquido de aumento da viscosidade dos gases. A Figura 11 retrata esse fenômeno 
graficamente. 
Se tratarmos agora da segunda outra grande variável de processos e seu efeito sobre a 
viscosidade, verificaremos que a pressão, na realidade, não exerce qualquer mudança 
significativa na viscosidade absoluta de fluidos, sejam eles gases ou líquidos. 
Porém, se tomarmos a razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica, denominada 
viscosidade cinemática dos fluidos, veremos a dependência com a pressão surgir para o caso 
de gases. 
𝜈 =
𝜇
𝜌
 
Figura 11: Comportamento da viscosidade de fluidos em função da temperatura. 
 
Fonte: Autor desconhecido 
Essa dependência surge na medida em que a massa específica de uma massa gasosa depende 
da pressão ao qual ela está sujeita. 
Podemos nos recordar na equação dos gases ideais para verificarmos isso: 
𝜌 =
𝑃
𝑅𝑇
 
 
Vamos testar nossos conhecimentos a respeito da viscosidade e o comportamento reológico 
de fluidos?7 
EXERCICIOS 
 6 - Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada 
de líquido. Para uma pequena altura da camada, d, podemos supor uma distribuição linear 
de velocidade do líquido. A viscosidade do líquido é 0,65 centipoise e sua densidade 
relativa é 0,88. 
 
Determine: 
(a) Viscosidade absoluta do líquido em N.s/m² 
(b) Viscosidade cinemática do líquido em m2/s 
(c) Tensão de cisalhamento na placa superior em lbf/ft2 
(d) Tensão de cisalhamento na placa inferior em Pa 
(e) Sentido das tensões cisalhantes calculadas. 
 7 – Em relação ao comportamento reológico dos fluidos, analise as seguintes 
afirmativas: 
I) A viscosidade de um fluido sempre diminui com o aumento da temperatura 
II) Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é proporcional ao quadrado 
da taxa de deformação são ditos não newtonianos 
III) Um fluido plástico de Bingham não escoa quando submetido a uma tensão de 
cisalhamento inferior a um determinado valor limite 
IV) Há fluidos não newtonianos cuja viscosidade aparente varia com o tempo. 
Estão corretas SOMENTE: 
A) I e II 
B) II e III 
C) III e IV 
D) I, II e IV 
E) II, III e IV 
 8 – Analise o seguinte reograma e avalie as proposições feitas: 
 
i) X é um líquido 
ii) X é um fluido newtoniano 
iii) Y é um fluido dilatante 
iv) Z é um fluido pseudoplástico 
São verdadeiras SOMENTE: 
A) I E II 
B) II E III 
C) III E IV 
D) I E III 
 
6.3 TENSÃO SUPERFICIAL 
Você já deve ter se perguntado, em algum momento da sua vida uma das seguintes questões: 
por que as gotas são esféricas? Por que insetos conseguem andar por sobre as águas? 
A propriedade dos fluidos que explica esses fenômenos é a tensão superficial e a Figura 12 
ilustra alguns desses exemplos. 
Figura 12: Alguns exemplos de efeitos da tensão superficial. 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
A tensão superficial, diferentemente das tensões normais ou cisalhantes, representa a força 
por unidade de comprimento na superfície livre de um líquido em função de 
desbalanceamento de forças intermoleculares observada nesta região. 
𝜎 =
𝐹
𝑙
 
Sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases, ou com uma superfície 
gás/sólido, uma interface se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e 
criando tensão superficial. 
O surgimento dessa tensão superficial diz respeito às interações entre as moléculas do fluido 
e do outro meio com o qual ele se relaciona. 
Imagine só, uma molécula no seio da fase líquida tem a totalidade de suas interações 
intermoleculares satisfeitas por suas vizinhas mais próximas. Na superfície (ou na interface 
do líquido com o outro meio) as forças intermoleculares de uma molécula nessa posição não 
estão completamente satisfeitas. A Figura 13 ilustra essa situação. 
Figura 13: Forças não balanceadas na superfície de um líquido. 
 
Fonte: DUARTE (1997) 
Esse desequilíbrio de força intermoleculares entre as camadas acima e abaixo de uma 
molécula na superfície do líquido faz surgir uma força de atração desta para o interior da 
massa fluida. Esta atração faz com que estas moléculas se aglutinem umas em relação às 
outras formando uma espécie de membrana superficial. 
Esta membrana exibe duas características: o ângulo de contato θ e o módulo da tensão 
superficial σ (N/m). Ambas dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida (ou do 
outro líquido ou gás) com a qual ele compartilha uma interface. A Figura 14 indica o ângulo 
de contato para uma superfície molhada e não molhada pelo fluido. 
Figura 14: Ângulo de contato para avaliação da molhabilidade de um fluido sobre uma superfície. 
 
Fonte: FOX (2008) 
Em engenharia, o efeito provavelmente mais importante da tensão superficial é o 
surgimento de um menisco curvo nos tubos de leitura de manômetros ou barômetros, 
causando a (normalmente indesejável) ascensão (ou depressão) capilar. Esse fenômeno é 
particularmente importante na execução de experimentos químicos, e sempre que tubos de 
pequenos diâmetros são utilizados: tais como no caso da administração de drogas 
intravenosas, por exemplo. 
Na Figura 15 é mostrado como podemos estimar a altura de um menisco quando um dado 
fluido em um tubo fino. Para tanto a componente vertical da tensão superficial é igualada ao 
peso do fluido na coluna do menisco. 
Na Figura 16 é mostrado o efeito da capilaridade para tubos com água e com mercúrio. Pode 
ser observado que na medida em que o diâmetro da tubulação aumenta, torna-se menos 
importante esse efeito. 
 
Figura 15: Estimativa da altura de um menisco de um dado fluido. 
 
Fonte: Adaptado de FOX (2008) 
Figura 16: Efeito capilar para água e para o mercúrio. 
 
Fonte: FOX (2008) 
 
Obviamente essas não são todas as propriedades que os fluidos apresentam, mas com essas 
que apresentamos até aqui podemos dar seguimento com qualidade à nossa aventura na 
Mecânica dos Fluidos. Outras propriedades serão apresentadas na medida em que formos 
necessitando do seu conhecimento, ok? 
 
7. CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS 
 
Agora que já entendemos como algumas das propriedades dos fluidos se relacionam para 
produzir campos de interesse ao nosso estudo é importante que sejamos capazes de 
distinguir um tipo situação de outra no universo da Mecânica dos Fluidos. 
Inicialmente temos que fazer distinção entre os casos de estudo de fluidos em repouso 
(Estática, que será nosso próximo tópico de interesse) e escoando. 
Se um fluido está escoando, obviamente ele tem uma velocidade, ou, de maneira mais 
completa, uma distribuição espacial e temporal de velocidades. 
Isso nos leva diretamente ao conceito de campo de velocidade. Um fluido que escoa, por 
exemplo, entre as duas placas planas usadas no caso da explicação da viscosidade, apresenta 
uma distribuição espacial de velocidades. 
Como assim? 
Cada camada de fluido foi considerada como dona de um dado valor de velocidade tal que 
ao longo da espessura da camada fluida, a velocidade variava desde zero (na placa parada) 
até o valor máximo de U (na placa que se movia). Podemos perceber, portanto, que a 
velocidade do fluido num dado domínio do escoamento pode variar de um ponto a outro, 
sendo assim é uma função das coordenadas espaciais. 
Para além da dependência espacial, há que se considerar que num instante inicial as placas 
estavam paradas e, em seguida, uma delas inicia o seu movimento. Assim, a distribuição de 
velocidades também é uma função do tempo. 
Assim, podemos dizer: 
�⃗� = �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
Ou seja, o campo de velocidades é um campo vetorial, o qual requer tanto a informação do 
seu módulo, quanto da sua direção para sua completa descrição. Há que se notar queele se 
refere à velocidade da partícula que passa através do ponto de coordenadas x, y e z no 
instante de tempo t. Isso quer dizer que o ponto x, y, z não é a posição em curso de uma 
partícula individual, mas um ponto do domínio do escoamento que escolhemos olhar. 
O campo de velocidades pode ser descrito também em termos de suas componentes nas 
direções x,y,z, quais sejam u,v,w, respectivamente. 
Assim: 
�⃗� = 𝑢 𝚤̂ + 𝑣 𝚥 + 𝑤 𝑘 
Onde cada componente pode ser uma função das coordenadas espaciais x,y,z e temporais. 
�⃗� = 𝑢 𝚤̂ + 𝑣 𝚥 + 𝑤 𝑘 →
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑤 = 𝑤 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
 
Excelente! Em posse da informação do que seja um campo de velocidade, podemos agora 
iniciar a classificação do escoamento de fluidos. 
A configuração de um escoamento depende de uma série de parâmetros. Podemos destacar, 
por exemplo, a geometria do escoamento, o nível de velocidade, se o escoamento depende 
fortemente dos efeitos da viscosidade ou não, entre outras. 
De forma geral, os escoamentos podem ser classificados de acordo com os seguintes 
parâmetros: 
 
i) Número de Coordenadas do Problema 
Unidimensional: se somente uma única coordenada espacial é necessária para a descrição 
do campo de velocidades, o escoamento é dito unidimensional. Pode ser observado esse 
tipo de escoamento em tubos retilíneos de seção constante, por exemplo. 
Bidimensional: são necessárias duas coordenadas espaciais para a completa descrição do 
campo de velocidades. Em tubulações nas quais se observa diferenças de diâmetros, entre 
seções subsequentes é possível verificar esse tipo de escoamento. 
Tridimensional: todas as três coordenadas espaciais são necessárias para a descrição do 
campo de velocidades. Esse tipo de escoamento é o mais comum na realidade. 
A Figura 17 apresenta essas três classificações. 
Observação!!!! 
𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑆𝑃𝐴𝐶𝐼𝐴𝐿 ≠ 𝐶𝑂𝑀𝑃𝑂𝑁𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝑂 𝐶𝐴𝑀𝑃𝑂 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 
𝐶𝑂𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁𝐴𝐷𝐴𝑆 𝐸𝑆𝑃𝐴𝐶𝐼𝐴𝐼𝑆 → 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑟, 𝜃, 𝛼.. 
𝐶𝑂𝑀𝑃𝑂𝑁𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝑂 𝐶𝐴𝑀𝑃𝑂 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 → 𝑢, 𝑣, 𝑤.. 
Figura 17: Dependência do campo de velocidades e classificação com respeito às coordenadas espaciais 
 
Fonte: Autoria própria 
 
ii) Dependência temporal 
Escoamento em Regime Permanente: caracteriza-se pelo fato de todas as propriedades do 
fluido e do escoamento permanecerem constantes com relação ao tempo 
𝜕∅
𝜕𝑡
= 0 
Onde Φ pode representar qualquer propriedade (ρ,

V , T, P, etc.) Estas propriedades podem, 
no entanto, apresentar variação no domínio espacial do problema, ou seja, podem 
permanecer funções espaciais. 
∅ = ∅(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Escoamento Transiente: refere-se ao escoamento cujas propriedades apresentam variações 
temporais, sejam elas de massa específica, velocidade, pressão ou temperatura. Assim, 
haverá uma dependência desses campos em termos da variável tempo. 
 
iii) Efeitos viscosos: 
Escoamento Invíscido ou de Fluido Perfeito ou Ideal: Apesar de não existir fluido sem 
viscosidade, admite-se a hipótese de fluido de invíscido ou de viscosidade nula nesse tipo de 
escoamento. Apesar de não corresponder fielmente à realidade, esse tipo de análise 
permitiu importantes conclusões a respeito da natureza dos escoamentos fluidos. 
Escoamento Viscoso: quando os efeitos de viscosidade são percebidos e representam 
importante efeito no escoamento os escoamentos são chamados de viscosos. 
 
iv) Regime de Escoamento 
Verificou-se experimentalmente, usando o aparato mostrado na Figura 18, que existiam 
formas diferentes de um fluido escoar dentro de uma mesma tubulação. A essas formas 
distintas deu-se o nome de regimes de escoamento. O número de Reynolds, usado como 
parâmetro para avaliação dos regimes de escoamento é um dado pela razão entre forças 
inerciais e viscosas e pode ser representado conforme abaixo. Os limites apresentados na 
Figura 18 são relativos à escoamentos internos e diferem dos valores referentes aos 
escoamentos externos. 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐷
𝜇
 
Figura 18: Regimes de escoamento interno de fluidos. 
 
Fonte: Adaptado de Alé(2001) 
 
Escoamento laminar: o fluido escoa em camadas sobrepostas, deslizando umas sobre as 
outras, sem a ocorrência de qualquer tipo de mistura entre as partículas fluidas. Ocorre a 
baixos números de Reynolds. 
Escoamento Turbulento: caracteriza-se pelo movimento aleatório de partículas que 
apresentam, no entanto, uma determinada orientação de escoamento. Ocorre a elevados 
números de Reynolds. Um dos modelos de turbulência mais difundidos tem por base a 
subdivisão do campo de velocidade (u, por exemplo) em uma parcela responsável pelo 
movimento global na direção preferencial (u ) e uma parcela relacionada às flutuações e 
efeitos de vórtices e aleatoriedade do escoamento (u’), ou seja, u = u + u’. A maioria dos 
escoamentos reais acontecem de forma turbulenta. A Figura 19 ilustra essa diferença. 
Figura 19: Trajetórias de partículas em escoamentos laminar e turbulento unidimensionais. 
 
Fonte: FOX (2008) 
 
v) Efeitos de compressibilidade 
Escoamento Compressível: Escoamentos compressíveis se caracterizam pelas alterações na 
massa específica do fluido, seja ele um líquido ou um gás. Um parâmetro usado para avaliar 
se um escoamento é ou não incompressível é o número adimensional de Mach. 
𝑀𝑎 =
𝑣
𝑠
 
Onde v representa a velocidade do escoamento e s representa a velocidade do som. 
Podemos observar do gráfico apresentado na Figura 20 que variações significativas (>7%) de 
massa específica (ou peso específico conforme o eixo coordenado plotado) ocorrem para 
𝑀𝑎 ≥ 0,3 
Esse critério geralmente é empregado como limite entre os escoamentos compressível e 
incompressível. Em função de suas constituições, tais efeitos são mais frequentes em gases 
do que em líquidos. 
Escoamento Incompressível: As variações de massa específica do fluido podem ser 
desprezadas, sendo admitida constante em todo o domínio do problema. 
Figura 20: Razão de pesos específicos inicial e final com respeito ao Ma. 
 
Fonte: Alé (2001) 
vi) Existência de Superfície Limitante 
 
Escoamento Interno: existe um contorno sólido que limita a região através da qual o fluido 
escoa. Na maior parte dos casos esse contorno sólido é impermeável. Escoamentos no 
interior de tubos, dutos, bocais e difusores são exemplos desta categoria. 
Escoamento Externo: o fluido escoa livremente, sem limitação nem orientação imposta pela 
existência de paredes sólidas. Massas fluidas não limitadas interagindo com contornos 
sólidos são observadas, por exemplo, na análise da placa plana, aerofólios e outros corpos 
completamente imersos. 
Escoamento em Canal: algumas características dos escoamentos interno e externo são 
percebidas quando um fluido escoa através de uma tubulação ou canal aberto não 
preenchendo completamente a seção disponível para tal. O fluido além de interagir com uma 
parede sólida mantém interface com um outro fluido em sua superfície livre. Tubos não 
preenchidos e canais de uma forma geral estão incluídos neste item. 
A Figura 21 ilustra essas diferentes configurações do escoamento. 
Figura 21: Configurações espaciais do escoamento. 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
8. VISUALIZAÇÃO DOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS 
 
É melhor ver para crer não é mesmo? 
Essa última seção está voltada simplesmente para a visualização do escoamento. As vezes 
observar as equações que descrevem um campo de velocidades pode não ser suficiente para 
compreendermos completamente a forma pela qual as variáveis se relacionam. 
Então diversas formas de se observar o escoamento de fluidos foram desenvolvidas, cada 
uma delas dá origem a uma “linha” de visualização que caracteriza a forma pela qual o 
experimento foi conduzido. 
Modelos de escoamentos podem ser visualizados usando linhas de tempo, trajetórias, linhas 
de emissão ou linhas de corrente. 
Se, em um campo de escoamento, várias partículas fluidas adjacentes forem marcadas em 
um dadoinstante, formarão uma linha no fluido naquele instante; esta linha é chamada linha 
de tempo. Observações subsequentes da linha podem fornecer informações a respeito do 
campo de escoamento. A Figura 22 ilustra linhas de tempo para visualização de um 
escoamento. 
Figura 22: Linhas de tempo como forma de visualização de um escoamento 
 
Fonte: Adaptado de MeSalva! 
Linhas de trajetória são formadas quando observamos o percurso ou o caminho percorrido 
por UMA ÚNICA PARTÍCULA FLUIDA em movimento dentro do campo de escoamento. Para 
torná-la visível, a partícula fluida deve ser identificada por alguma marcação (de cor, por 
exemplo) em um dado instante e, em seguida, tiramos uma fotografia de exposição 
prolongada do seu movimento. A linha traçada pela partícula é sua linha de trajetória. Na 
Figura 23 é possível se observar linhas de trajetória para partículas de ar marcadas com 
fumaça de um cigarro bem como as linhas de trajetória de diversos carros passando por uma 
avenida. 
Figura 23: Linhas de trajetória. 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
De maneira ligeiramente similar ao realizado para se observar linhas de trajetória, linhas de 
emissão são formadas pela marcação de TODAS AS PARTÍCULAS que passam por um local 
fixo do escoamento. Após um curto período, teríamos certo número de partículas fluidas 
identificáveis no escoamento, e todas elas, em algum momento, passaram pelo mesmo local 
fixo no espaço. Na Figura 24 se pode visualizar linhas de emissão em um túnel de vento para 
teste aerodinâmico de um veículo e de maneira didaticamente ilustrada em uma seção 
convergente. 
Figura 24: Linhas de emissão 
 
Fonte: Adaptado de MeSalva! 
 
Linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um 
dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Como as 
linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo de 
escoamento, não pode haver fluxo de matéria através delas. O uso de linhas de corrente é 
uma das técnicas de visualização mais comumente utilizada. Elas são utilizadas, por exemplo, 
para estudar o escoamento sobre um automóvel em uma simulação computacional. A Figura 
25 ilustra as linhas de corrente e os vetores velocidade em cada ponto. Pode-se observar a 
direção do escoamento em cada ponto, bem como a intensidade da velocidade. 
Figura 25: Linhas de corrente desenhadas para uma região de um escoamento. 
 
Fonte: Cengel (2002) 
Em um escoamento bidimensional podemos escrever a seguinte relação, ilustrada na Figura 
26 para determinar as linhas de corrente de um dado campo de velocidade por semelhança 
de triângulos entre os vetores posição da partícula fluida (componentes dx e dy) e velocidade 
(componentes u e v). 
Figura 26: Ilustração de uma linha de corrente e sua relação com os componentes do campo de velocidades. 
 
Fonte: Adaptado de Çengel (2002). 
EXERCICIO 
 9 - O campo de velocidade é especificado como: �⃗� = 𝑎𝑥𝑦𝚤̂ − 𝑎𝑦 ̂Onde a= 0,3s-1. 
O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional? Por que? 
Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy. 
Trace a linha de corrente que passa no ponto (2,8). 
Determine o campo de velocidade no ponto (2,8). 
 
Ficaram dúvidas??? Entra em contato com a gente nos horários de atendimento! 
 
GABARITO 
EXERCICIO 1 
EXERCICIO 2 Resposta: 9047,8 kg 
EXERCICIO 3 Resposta: 675,67 
EXERCICIO 4 Resposta: 266,6; 2615,35 e 0,261 
EXERCICIO 5 Resposta: 16,6 e 16,64 
EXERCICIO 6 
EXERCICIO 7 C 
EXERCICIO 8 B